人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质优质课ppt课件

2.6.2　双曲线的几何性质

我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0，1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！[HS*9]

知识点1　双曲线的几何性质

1．能否用a，b表示双曲线的离心率？

[提示]　能．e＝＝＝．

2．离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？

[提示]　有影响，因为e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x． (　　)

(2)离心率越大，双曲线－＝1的渐近线的斜率绝对值越大． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√

[提示]　(1)×　由－＝1，得y＝±x，所以渐近线方程为y＝±x．

(2)√　由＝＝(e＞1)，所以e越大，渐近线y＝±x斜率的绝对值越大．

知识点2　等轴双曲线

实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率e＝．

2．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是(　　)

A．－＝1　　　 B．－＝1

C．－＝1   D．－＝1

B　[∵等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，

∴设等轴双曲线的标准方程为－＝1，a＞0，

且a2＋a2＝36，解得a2＝18．

故等轴双曲线的标准方程是－＝1．]

类型1　由双曲线的标准方程求其简单的几何性质

【例1】　(对接教材人教B版P145例1)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．

[解]　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，

即－＝1，

∴a＝3，b＝2，c＝，

因此顶点为A1(－3，0)，A2(3，0)，

焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，

实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，

离心率e＝＝，

渐近线方程y＝±x＝±x．

由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤

(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．

(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．

(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．

[跟进训练]

1．求双曲线－＝1的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程．

[解]　由题意知a2＝3，b2＝4，

所以c2＝a2＋b2＝3＋4＝7，解得a＝，b＝2，c＝．

因此，双曲线的实轴长2a＝2，虚轴长2b＝4．

顶点坐标为(－，0)，(，0)，

焦点坐标为(－，0)，(，0)．

离心率e＝＝＝，

由于该双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x．

类型2　由双曲线的几何性质确定标准方程

【例2】　根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程．

(1)过点P(3，－)，离心率e＝；

(2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)．

[解]　(1)依题意，双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下：

①若双曲线的焦点在x轴上，

设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

由e＝，得＝．①

由点P(3，－)在双曲线上，得－＝1．②

又a2＋b2＝c2，结合①②，得a2＝1，b2＝．

∴双曲线的方程为x2－＝1．

②若双曲线的焦点在y轴上，

设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

同理有＝，－＝1，a2＋b2＝c2，

解得b2＝－(不合题意，舍去)．

故双曲线的焦点只能在x轴上，

∴所求双曲线的方程为x2－＝1．

(2)法一：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x．

①当所求双曲线的焦点在x轴上时，

设标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

由题意，得解得a2＝，b2＝4．

∴双曲线的方程为－＝1．

②当所求双曲线的焦点在y轴上时，

设标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

由题意可得此方程组无解，

∴所求双曲线的方程为－＝1．

法二：∵所求双曲线与双曲线－＝1有共同的渐近线．

∴设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．

将点(－3，2)代入，得－＝λ，即λ＝，

∴双曲线的方程为－＝，即为－＝1．

求双曲线的标准方程的方法与技巧

(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．

(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程－＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．

拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧

(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．

(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．

(3)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2)．

(4)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．

(5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．

(6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．

[跟进训练]

2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为；

(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．

[解]　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，

∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，

故其标准方程为－＝1．

(2)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，

若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝．              ①

∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1． ②

由①②联立，无解．

若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝． ③

∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1． ④

由③④联立，解得a2＝8，b2＝32．

∴所求双曲线的标准方程为－＝1．

类型3　求双曲线的离心率

【例3】　已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，求E的离心率．

[解]　设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN中，|BN|＝a，|MN|＝a，故点M的坐标为M(2a，a)，代入双曲线方程得a2＝b2，所以e＝．

因为e＝，c＝，所以e＝．又＝，所以b2＝a2(e2－1)．因此，在双曲线的四个参数a，b，c，e中，只要知道其中两个，便可以求出其他两个．

[跟进训练]

3．已知双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则其离心率为________．

或　[若双曲线焦点在x轴上，依题意得，＝4，

∴＝16，即＝16，∴e2＝17，e＝．

若双曲线焦点在y轴上，依题意得，＝4．

∴＝，＝，即＝．

∴e2＝，故e＝，

即双曲线的离心率是或．]

类型4　求双曲线的渐近线方程

【例4】　如图，已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求双曲线的渐近线方程．

[解]　设F2(c，0)(c＞0)，P(c，y0)，

则－＝1，解得y0＝±．

∴|PF2|＝．

在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，则|PF1|＝2|PF2|．①

由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a．②

由①②，得|PF2|＝2a．

∵|PF2|＝，∴2a＝，即b2＝2a2．

∴＝．

∴渐近线方程为y＝±x．

1．双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．

2．若已知渐近线方程为mx±ny＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，可用下面的方法来解决：

方法一：分两种情况设出方程进行讨论．

方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．

显然方法二较好，避免了讨论．

[跟进训练]

4．双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若△AF1F2是顶角为120°的等腰三角形．求双曲线C的渐近线方程．

[解]　因为△AF1F2是顶点为120°的等腰三角形．

所以c＝b，所以c2＝3b2，即a2＋b2＝3b2，a2＝2b2，

解得＝，或＝．

所以双曲线的渐近线方程为y＝±x或y＝±x．

1．若0<k<a，则双曲线－＝1与－＝1有(　　)

A．相同的实轴　　　　 B．相同的虚轴

C．相同的焦点 D．相同的渐近线

C　[∵0＜k＜a，∴a2－k2＞0．

∴c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2．]

2．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　)

A．－＝1 B．－＝1或－＝1

C．－＝1 D．－或－＝1

B　[实轴长为10，虚轴长为6，所以a＝5，b＝3．

当焦点在x轴上时，方程为－＝1；当焦点在y轴上时，方程为－＝1．]

3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±x，则双曲线的离心率为(　　)

A． B．

C． D．

B　[由双曲线的渐近线方程是y＝±x知＝，所以b＝a，所以c2＝a2＋b2＝a2＋a2＝a2，所以e2＝＝，所以e＝．故选B．]

4．已知双曲线的渐近线方程为y＝±，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是________．

－＝1或y2－＝1　[若双曲线的焦点在x轴上，则＝，2b＝4，解得b＝2，a＝4，所以此时双曲线的标准方程为－＝1；若双曲线的焦点在y轴上，则＝，2b＝4，解得b＝2，a＝1，所以此时双曲线的标准方程为y2－＝1．综上可知，该双曲线的标准方程是－＝1或y2－＝1．]

5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．

－y2＝1　[双曲线右顶点为(a，0)，一条渐近线为x－y＝0，

∴1＝＝．

∴a＝2，

又＝，∴b＝，

∴双曲线方程为－y2＝1．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．如何用几何图形解释c2＝a2＋b2？a，b，c在双曲线中分别表示哪些线段的长？

[提示]　由于c2＝a2＋b2，则a，b，c就是图中Rt△OAB的三边长，其中a为半实轴长，b为半虚轴长，c＝．这从另一个角度反映了参数a，b，c的几何意义．

2．双曲线的渐近线确定时，其标准方程能确定吗？

[提示]　不能，每条双曲线对应唯一一组渐近线，但当渐近线确定时，它对应无数条双曲线且焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．

3．双曲线的焦点到渐近线的距离是否为定值？

[提示]　是．双曲线的焦点到渐近线的距离为b．

设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，一条渐近线为y＝x，

即bx－ay＝0，一个焦点为(c，0)，

则焦点到渐近线的距离

d＝＝＝b．

此结论在解题时可直接应用．