江苏省响水中学2022-2023学年高一数学下学期3月学情分析试题（Word版附解析）

江苏省响水中学2022-2023学年度春学期高一年级学情分析考试

数学试题

考生注意：

1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.

2.满分150分，考试试间为120分钟.

第Ⅰ卷  （选择题 共60分）

一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）

1. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合诱导公式与两角和的正弦公式即可求出结果.

【详解】

，

故选：D.

2. 下列向量组中，能作为基底的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】能作基底的两个向量不共线，判断各选项中的两个向量是否共线即可得解.

【详解】对于A，因，则有，与不能作为基底；

对于B，因，，则有与不共线，与可作基底；

对于C，因，则有，与不能作为基底；

对于D，因，则有，与不能作为基底.

故选：B

3. 已知，向量与的夹角为，则（    ）

A. 5 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知先求出，然后根据，代值即可求解.

【详解】∵，向量与的夹角为

∴

∴

故选：D.

4. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可求得，进而结合二倍角公式可求得，根据角的范围可进一步求得，，由，利用两角和差正弦公式可求得结果.

【详解】，，又，

，，

，解得：，

，

，，

，，

.

故选：B.

5. 已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件可知△ABC为直角三角形，向量在向量上的投影向量为．

【详解】如图，

由知为中点，

又为外接圆圆心，，，

，

，，，

∴在向量上的投影为：，

向量在向量上的投影向量为：．

故选：D．

6. 如图，已知两座建筑物，的高度分别是12m，20m，从建筑物的顶部A处看建筑物的张角，则建筑物，的底部B，D之间的距离是（ ）

A. 18m B. 20m C. 24m D. 30m

【答案】C

【解析】

【分析】过A作于E，则，设，利用两角和的正切公式可建立关于的关系式，即可解出．

【详解】如图，过A作于，设，

∵，记，则，

在中，,

∴,

在中，,

∴,

∴，

∴，

解得：或（舍去），

所以建筑物，的底部B，D之间的距离是24m.

故选：C.

7. 已知函数，则的值域是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用二倍角的余弦公式、诱导公式化简函数解析式为，利用二次函数的基本性质结合可求得原函数的值域.

【详解】由已知条件可得

，

因为，则，因此，.

故选：C.

8. 若向量，，，且，则在上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由得，进而根投影向量的概念求解即可.

【详解】解：因为，，且，

所以，解得.

所以，

所以在上的投影向量为.

故选：C

二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 下列式子等于的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】根据诱导公式，即可判断A，B不正确；根据三角恒等变换，即可判断C正确；根据余弦的二倍角公式，即可判断D正确，由此即可得到答案.

【详解】，故A不正确；

，故B不正确；

，故C正确；

，故D正确.

故选：CD.

10. 在中，边所对的角分别为，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】由余弦定理可得，求得，再由化简可得，求得，，即可得出结果.

【详解】，则由余弦定理可得，

，，

，，

即，，

，，则，

.

故选：BD.

11. 已知的重心为G，点E是边上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 若，则的面积是面积的

C. 若，，则

D. 若，，则当取得最小值时，

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据三角形重心的向量性质判断A，由向量的线性运算求得与的关系，判断B，由数量积的定义计算判断C，设，计算数量积后求最小值，从而可计算出判断D．

【详解】因为的重心为G，所以，所以，A错；

，B正确；

，， 是等腰三角形，，

是锐角，，

，

，C正确；

设，，

，

所以时，取得最小值，

此时， D正确．

故选：BCD．

12. 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】通过求，来判断出正确选项.

【详解】

，

所以，A错误.

，

所以，B正确.

.

所以，

由于，所以，

由于，所以，

所以由解得，

所以，C正确.

，所以D错误.

故选：BC

【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13 若锐角满足，则__________．

【答案】

【解析】

【详解】依题意有：，又为锐角，所以.

【点睛】本题主要考查：三角恒等变形.三角恒等变形主要包括：利用诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦（或正切、余弦）公式、二倍角公式等来对题目所给的式子进行变形.不但要记得公式本身，还要记得公式的变形.如本题中所给的已知条件就是两角和的正切公式的变形.

14. 如图所示，在的方格中，每个小正方形的边长为1，点，，，均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），则__________．

【答案】12

【解析】

【详解】分析：设水平向右和竖直向上的单位向量分别为和，用和表示和，再根据公式计算，即可求出答案.

详解：设水平向右和竖直向上的单位向量和，则和

      由图可知，，

      .

故答案为12.

点睛：本题考查向量运算在几何中的应用，向量的数量积以及向量的正交分解，考查计算能力以及转化思想，属于中档题.

15.
=_________.

【答案】##

【解析】

【分析】将化为，利用两角差的余弦公式结合诱导公式化简，即可求得答案.

【详解】

,

故答案为：

16. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，，点在弧上，则的最小值是___________.

【答案】

【解析】

【分析】取中点为，用表示目标向量，结合向量数量积的定义，结合的范围，即可求得结果.

【详解】连接，取其中点为，连接，如下所示：

在△中，，故可得

，

由图可知当且仅当重合时，取得最大值1，

此时取得最小值

故答案为：.

【点睛】本题考查平面向量数量积的范围问题，解决问题的关键是用表示目标向量，数形结合求解，属中档题.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知向量，.

（1）若，求的值；

（2）若，求及的值.

【答案】（1）2；    （2）

【解析】

【分析】（1）由可得，对进行展开即可得到答案；

（2）由可得的值，进而可求的值

【小问1详解】

因为，所以，即，

所以；

【小问2详解】

因为，所以，所以即，

所以

18. 在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满.

（1）求角A的大小；

（2）若，，求的周长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由二倍角的余弦公式和特殊角的三角函数值，可得所求值；

（2）由向量的数量积的定义和余弦定理，结合配方法，整理可得所求的周长．

【详解】（1），

即为，

可得，

解得舍去），

由，可得；

（2），即为，

可得，

由，

可得，

则的周长为.

【点睛】关键点睛：利用数量积与余弦定理构建方程组，通过整体思想得到结果.

19. 已知，为锐角，，.

（1）求，的值；

（2）求的值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据公式，求得结果；

（2）由条件求得，，从而由求得结果.

【详解】解：（1）因为，

所以，

.

（2）因为，所以，

因为，为锐角，所以.

又因为，所以，

因此，

因此，.

20. 已知在中，，，.

（1）求；

（2）已知点在线段上，且，求证：为的角平分线.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用余弦定理求出即可.

（2）求出，利用余弦定理求出，再利用余弦定理求出和，即可判断.

【详解】解：（1）在中，，，.

所以.

（2）证明：点在线段上，且，因为，所以，

由余弦定理,

，解得,

中，，

中，，

所以为的角平分线.

【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题.

21. 在中，，，是的角平分线.

（1）若，求的长；

（2）若，且点P满足，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用向量的运算可得，结合条件，两边平方利用向量的运算即可得解；

（2）如图先建立直角坐标系，以A为坐标原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，利用条件可得各点的坐标，，，设，由条件可得，则，利用函数、基本不等式和向量运算三种方法求最值即可得解.

【详解】（1）因为是的角平分线，所以，

则，

所以，

.

即的长为

（2）如图，以A为坐标原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，

因为，，，所以，，，

设，由得

即，

所以，

代入得.

方法一：

∵∴，

∴，

∴.

方法二：

∵，

由得，

∴.

方法三：

取中点M，中点N，连，

∵，∴为直角三角形，∴，

∵M，N为中点，∴ ，

∵ ，

.

当且仅当与反向取等号.

22. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.

（1）设函数，试求相伴特征向量；

（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；

（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在，点.

【解析】

【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可.

【详解】解：（1）

的相伴特征向量.

（2）向量的相伴函数为，

，.

，，.

.

（3）由为相伴特征向量知：

.

所以.

设，，

，，

又，.

，

，，

又，

当且仅当时，和同时等于，这时式成立.

在图像上存在点，使得.

【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题.