湖南省益阳市2022-2023学年高三数学下学期4月月考试题（Word版附解析）

这是一份湖南省益阳市2022-2023学年高三数学下学期4月月考试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了 已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省益阳市高三年级下学期4 月教学质量检测数学试卷1.  若复数z满足，则(    )A.  B.  C. 1 D. 52.  已知集合，，则为(    )A.  B. 或
C. 或 D. 或3.  双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，相对于三角函数，双曲函数具有良好的可解性.现有双曲正弦函数，双曲余弦函数，则是(    )A. 奇函数 B. 偶函数 C. 周期函数 D. 在R上单调递减4.  函数的部分图象大致是(    )A.  B.
C.  D. 5.  已知椭圆的焦点为，，直线与椭圆C相交于A、B两点，当三角形为直角三角形时，椭圆C的离心率e等于(    )A.  B.  C.  D. 6.  金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知，，，则下列结论正确的是(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知直线l与曲线相交，交点依次为D、E、F，且，则直线l的方程为(    )A.  B.  C.  D. 9.  给定事件A，B，C，且，则下列选项正确的是(    )A.
B. 若，且A，B互斥，则A，B不可能相互独立
C. 若，则A，B互为对立事件
D. 若，则A，B，C两两独立10.  如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且，，现将沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论正确的是(    )
 A.  B. 存在点P，使得
C. 存在点P，使得 D. 三棱锥的体积最大值为11.  如图，有一列曲线，，，，，且是边长为6的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边长为，周长为，则下列说法正确的是(    )A.  B.
C. 在中 D. 在中12.  定义在上的函数的导函数为，，，，则下列不等式中一定成立的是(    )A.  B.
C.  D. 13.  已知向量，，且，则__________.14.  甲乙两人要在一排六个空座上就坐，求甲乙中间有空位的概率为__________.15.  过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若，O为坐标原点，则三角形OAB的面积为__________.16.  已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是__________.17.  中，角 A， B， C的对边分别为a， b， c，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①
②
③的面积为求角A的大小;求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.  数列的前n项的和为，已知，，当时，求数列的通项公式设，求的前2m项和 19.  如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABFE为菱形，，，，证明：若M为线段AD的中点，求二面角的余弦值.20.  为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占
  数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理   不经常整理   合计   求图1中m的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数;根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关?用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈。求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.附： 21.  已知分别为双曲线的上、下焦点，其中坐标为点是双曲线上的一个点.求双曲线的方程;已知过点的直线与上支交于不同的A、B两点，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在某条定直线上. 22.  已知函数，若对成立，求实数a的取值范围;若，函数存在两个极值点，，记的最大值与最小值为M，m，求的值.
答案和解析 1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了复数的模，涉及复数的除法运算，属于基础题.【解答】解：因为，
所以，
所以
故选  2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了交集和补集混合运算，属基础题.【解答】解：，则，
因此，或  3.【答案】A 【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.根据题意，依次判断即可.【解答】解：由题可知：，定义域为R，且，，所以函数为奇函数.  4.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了函数图像的识别，属于中档题.【解答】解：因为，，
而，所以C，D错误.
令，所以，即单调递减，
当时，，即，
所以时，，
令，
所以时，，
而，即时，单调递减，
所以所以时，，在单调递增错误，B错误.
故选  5.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了求椭圆的离心率，属基础题.【解答】解：将代入椭圆方程，可得，则，
当三角形为直角三角形时，由，得，即，
亦即，解得  6.【答案】D 【解析】【分析】本题考查棱锥的表面积、球的体积，属于基础题.【解答】解：由题可知，最大球即为其内切球；
如图，设底面 ABCD中心为O，连接 CO， EO，由几何关系知，
在中BC边上的高，
又，设内切圆半径为r
由等面积法可知：，解得
则内切球体积为
   7.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了比较数的大小，属于中档题.【解答】解：因为，，
所以，
所以，
因为
令设，令，可得，且时，，
所以，即，可得，即
所以
故选  8.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了函数的对称性，涉及两点间的距离公式、求直线方程，属较难题.【解答】解：，
曲线的对称中心为，
由，可知点E为对称中心，故E的坐标为，
不妨设，
则由，得，
即，
令，则，
即，
，
当时，，
又l过，直线l的方程为，
当时，，
又l过，直线l的方程为
综上，直线l的方程为  9.【答案】AB 【解析】【分析】本题考查对立事件、互斥事件、独立事件、条件概率，属于基础题.【解答】对于①当A，B互斥时，          ②当A，B不互斥时，对于若，且A，B互斥，那么，故A，B不可能相互独立；
对于C，由，并不能得出A与B是对立事件;对D，若，则事件AB与C相互独立，但推导不出A，B，C两两独立，故D错误;  10.【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查了空间线线位置关系，锥体体积，属于基础题.【解答】解：由已知可得，，所以故A正确；
因为，若，则，不存在，故B错误；
因为，当时，，可得，故C正确；
当时，取最大值，此时，，所以，故D正确.  11.【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查了推理案例、向量的数量积的运算、等比数列等知识，属较难题.【解答】解：根据题意将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角
形，再将中间部分的线段去掉得到 ，
记曲线 的边长为，
数列是首项为6，公比为的等比数列，故A正确;
封闭曲线的周长为，则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，故B错误;
由题知，，可求得，
则，于是，
又，，，，
则，故C正确；
由题知，，，结合C可知，，
则
，故D正确.  12.【答案】BD 【解析】【分析】本题考查抽象函数单调性，属于中档题.【解答】解：由题意可设，则，
在上恒成立，则在上单调递增，

对于取，满足，但；
对于，，即，
①，
，，即，②，
由①+②得，故B正确;
对于取，则，，
，故C错误
对于①，
②，
由①-②得
，
，故D正确，
故选BD  13.【答案】3 【解析】【分析】本题考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.【解答】解：因为，
所以，可得  14.【答案】 【解析】【分析】本题考查了古典概型及其计算，涉及排列问题，属基础题.【解答】解：甲乙两人要在一排六个空座上就坐，则有种坐法，
而甲乙一定相邻的坐法有种坐法，
则甲乙中间有空位的概率为  15.【答案】 【解析】【分析】本题考查直线与抛物线位置关系，属于基础题.【解答】解：由题可知，设直线l方程为，，
联立方程可得：，消去x可得：，
故，又，可得：，
所以  16.【答案】 【解析】【分析】本题考查了利用导数求最值，属于拔高题.【解答】解：由题意，函数的大致图象如图所示，

由图象知，
由，关于对称，可得，
由，可得，
那么
构造新函数，
则，
则，在区间单调递减，
，
即在区间
所以在区间单调递减，
又因为，
所以在区间
所以在区间单调递增，
因为，，
所以的取值范围为  17.【答案】解：选择①由正弦定理，，因为，所以，即，因为，所以，所以，
所以，即选择②，由正弦定理，，因为，所以，即，因为，所以，所以，即选择③由，可得，即，所以，方法一：因为，所以，所以，所以，
即的取值范围为方法二：由余弦定理，，再由正弦定理，，因为，
所以，即，当且仅当时“=”成立.又因为，，所以，即的取值范围为 【解析】本题考查了正、余弦定理的综合应用、三角恒等变换的综合应用，属中档题.
 18.【答案】解：当时，即，
所以，，所以时也满足当时，当时，，也满足上式，所以 【解析】本题考查数列通项，前n项和，属于中档题.
 19.【答案】解：过点D作交AB于点O，连接OE，由已知条件可知：，得，同理，而，，即，，平面ABFE，平面ABFE，
 建立如图空间直角坐标系，
 可知：，，，平面ABF的法向量为，设平面MBF的法向量为，则，又，可取，，，依题意可知，二面角的余弦值为 【解析】本题考察了空间线线垂直的，利用空间向量求二面角，属于中档题.
 20.【答案】解：由题意可得，
解得，学生期中考试数学成绩的上四分位数为：分；数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，经常整理错题的有人，不经常错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则 数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理352560不经常整理152540合计5050 100零假设为数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于；
由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，
则，1，2，经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件，参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m人记为事件则，，，，，，
 ，，，
故X的分布列如下：X012P则可得X的数学期望为 【解析】本题考查了求百分位数、独立性检验、离散型随机变量的分布列与均值，属较难题.
 21.【答案】解由坐标为得，点在双曲线上得可以解得，双曲线方程为设直线与双曲线交于，点，由得且，，，代入坐标得：，整理得：①②得③同理④，⑤得⑥由于双曲线上的点满足⑥③得即有表示点在定直线上 【解析】本题考查双曲线中的定直线问题，双曲线方程，属于中档题.
 22.【答案】解：由对恒成立可知：，即令，当时，，单调递增，当时，令得，，且时，时，时，所以有单调递减，，与题设矛盾，不成立;所以实数a的取值范围为由题知：，由可知，有两个极值点，，则，，令，则，由，可知，设，则设，则，而，单调递增，可知，单调递增，可知，，可知单调递减，可知，， 【解析】本题考查了导数的综合应用，属于中档题.