重庆市万州第二高级中学2022-2023学年高一下学期3月质量检测数学试卷（含答案）

重庆市万州第二高级中学2022-2023学年高一下学期3月质量检测数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知复数z满足(i为虚数单位)，则复数z在复平面上的对应点位于(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2、已知平面向量，，且，则(   )

A. B. C. D.

3、在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知，，，则B的大小为(   )

A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°

4、在中，若，则一定是(   )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上说法都不对

5、若，，，，则(   )

A. B. C. D.

6、小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为(   )

A.20m B.30m C.20m D.30m

7、已知平面向量，满足，，的夹角为，若，则的最小值为(   )

A. B. C. D.

8、若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、已知复数，则下列说法正确的是(   )

A.z的共轭复数是

B.z的虚部是i

C.

D.若复数满足，则的最大值是

10、下列说法错误的是(   )

A.若向量与向量共线，则

B.在平行四边形中，有向线段与有向线段相等

C.，为平面中两个不共线的单位向量，若，，则

D.一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就是力与位移所对应的向量的内积

11、在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则(   )

A.  B.向量，夹角的最小值为

C.内角A的最大值为 D.面积的最小值为

12、已知O，G分别为的外心和重心，N为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是(   )

A.

B.N为内心

C.

D.对于平面内任意一点P，总有

三、填空题

13、已知点和向量，若，则点B的坐标为__________.

14、小明在整理笔记时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知，，求边c.显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，则a的取值范围为________.

15、已知，为平面内任意两个非零向量，且他们夹角等于，若存在使得，则实数m的取值范围为___________.

16、年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一(图一).已知O为内一点，，，的面积分别为，，，则有，我们称之为“奔驰定理”(图二).已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，O为内的一点且为内心.若，则的最大值为___________.

四、解答题

17、已知向量，，.

(1)若，求实数m的值；

(2)若，求实数m的值.

18、O是平面直角坐标系的原点，，，记，.

(1)求在上的投影向量坐标；

(2)若向量，满足条件：与互补，求.

19、某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点(如图)，它们相距海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时.

(1)求B点到D点的距离；

(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间.

20、在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，，且.

(1)求A；

(2)若周长的范围.

21、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.

(1)已知的面积为，求；

(2)若G为三角形的重心，且，求的取值范围.

22、如图，A，B是单位圆上的相异两定点(O为圆心)，(为锐角)，点C为单位圆上的动点，线段AC交线段于点M(点M异于点O、B).

(1)求(结果用表示)；

(2)若.

①求的取值范围；

②设，记，求的最小值.

参考答案

1、答案：C

解析：因为，所以复数z在复平面上的对应点为，在第三象限.

故选：C.

2、答案：B

解析：因为，，且，所以，，

，故选B.

3、答案：A

解析：由正弦定理得，

即，

解得，

又B为三角形内角，所以或，

又因为，所以，即.

故选：A.

4、答案：D

解析：由，即，

又，则，即A为锐角，

但不能确定B、C的大小，它们中可能存在钝角或直角或都为锐角.

故选：D.

5、答案：C

解析：因为，，所以，

所以，.

又，所以.

所以，.

故选：C.

6、答案：D

解析：，

由题意知：，，所以，

在中，，

在中，由正弦定理得，

所以，

在中，.

故选：D.

7、答案：C

解析：因为，，的夹角为，

所以，

不妨设，，，则，，

则，解得或，

设，由得C在以B为圆心，1为半径的圆上，

所以的最小值为.

故选：C.

8、答案：C

解析：设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，

，，，

，，三者直接各自的夹角都为锐角，

，，，

，，即在上的投影为1，在上的投影为3，

，，如图，

，，

即，且，

则，

由基本不等式得，

，

与的夹角为锐角，

，

由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，

故选：C.

9、答案：AD

解析：对于A选项，因为，则，A对；

对于B选项，复数z的虚部为1，B错；

对于C选项，，C错；

对于D选项，令，，则，

即在圆心为半径为1的圆上，而表示圆上点到原点的距离，

由圆心到原点的距离为，结合圆上点到定点距离范围易知：的最大值为，D对.

故选：AD.

10、答案：ABC

解析：A.向量与向量共线，若与共线，则，A错误；

B.有向线段与向量是不相同的概念，有向线段具有三要素：起点､方向､长度，

向量完全由模和方向确定，并且有向线段与有向线段的方向相反，二者不相等，B错误

C.当时，，此时，C错误；

D.一个物体在力的作用下产生位移，那么力F所做的功为，为和的夹角，

则就是力与位移所对应的向量的内积，D正确，

故选：ABC.

11、答案：AC

解析：，，故A对；

，，当且仅当时取等，，，即，故B错，C对；

，故D错.

故选：AC.

12、答案：ACD

解析：A：由G为的重心，则，，，

所以，即，正确；

B：，由O为外心，所以，

即，同理，，故N为垂心，错误.

C：，所以，

因为，故，而，

所以，即，正确.

D：，所以，

因为，故，正确.

故选：ACD.

13、答案：

解析：设O为坐标原点，

因为，，

故，

故点B的坐标为.

故答案为：.

14、答案：

解析：由正弦定理，可得，

，则，

因为c只有一解，

所以，即；

故答案为：.

15、答案：

解析：，为平面内任意两个非零向量，且他们夹角等于，

，

，

则，

，

，

，

，

，，

，

，

故答案为：.

16、答案：或0.8

解析：O为的内心，，，

，

，，

即，，；

(当且仅当时取等号)，

，，(当且仅当时取等号)，

的最大值为.

故答案为：.

17、答案：(1)

(2)

解析：，

，

，，解得；

(2)，

，，解得.

18、答案：(1)

(2)

解析：(1)由题意可得，，，

则在上的投影向量坐标为.

(2)，

又与互补，

，

，化简整理可得，，

解得或，

显然时，，不符合题意，

故.

19、答案：(1)50海里

(2)2小时

解析：(1)由题意知：，，，

所以，

在中，由正弦定理可得：即，

所以海里，

(2)在中，，，，

由余弦定理可得：

，

所以海里，

所以需要的时间为小时，

所以B点到D点的距离海里，救援船到达D点需要的时间为2小时.

20、答案：(1)

(2)

解析：(1)由得：，

由正弦定理知：，又，，

，又，，，

，，，则，，解得：.

(2)由正弦定理得：，，，

；

为锐角三角形，，解得：，

，，，

即周长的取值范围为.

21、答案：(1)

(2)

解析：(1)因为的面积为，

所以

所以，

所以由正弦定理得，

因为，

所以.

(2)延长交于D，延长交于E，

因为G为的重心，

所以，

，

因为，所以，

所以，化简得，

所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以，

所以，

所以，所以，

所以，即的取值范围.

22、答案：(1)

(2)①

②

解析：(1)解：；

(2)解：①设，，

则，

，，

又，则.

②设，则，

因为，

所以，

所以，

因为，所以，即，

化简得，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为.