2023年湖北省黄冈市中考二模数学试题

2023年春季九年级二模考试

数学试题

（考试时间：120分钟    满分：120分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．大于，3且小于2的整数有（    ）

A．4个     B．5个     C．6个     D．7个

2．钓鱼岛是钓鱼岛列岛的主岛，是中国固有领土，面积，将4384000用科学记数法可表示为（    ）

A．   B．   C．   D．

3．如图几何体的主视图为（    ）

 A．   B．  C．  D．

4．如图，已知点D，E分别在的边，上，若，，由作图痕迹可得，的最小值是（    ）

A．2     B．3     C．6     D．12

5．下列运算正确的是（    ）

A．  B．  C．  D．

6．如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（    ）

A．平均数是6   B．众数是7   C．中位数是11   D．方差是8

7．如图所示，边长为2的正三角形的边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到三角形，则点的坐标为（    ）

A．    B．     C．    D．

8．如图，在正方形中，F为上一点，交对角线于点E，点G是上的一点且，连结，交于点H．满足，现给出下列结论：①；②；③若，则．其中正确的有（    ）个．

A．0     B．1     C．2     D．3

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9．分解因式：_________．

10．如图，有一个含有角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若，则的度数是_________．

11．若方程的两根分别为，，则的值为_________．

12．如图，在中，，D，E，F分别为，，的中点．若的长为10，则的长为_________．

13．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是_________．

14．某舰艇上午9时在A处测得灯塔C在其南偏东的方位上，然后以每小时10海里的速度沿南偏东的方向航行，11时到达B处，在B处测得灯塔C在其北偏东的方位上，则B处到灯塔C的距离是_________．

15．如图，，都是等腰直角三角形，其中点、在x轴上，点、、，在直线上，已知，则的长为_________．

16．如图甲，在梯形中，，，动点P从点C出发沿线段向点D运动，到达点D即停止，若E、F分别是、的中点，设，的面积为y，则y与x的函数关系的图象如图乙所示，则梯形的面积为_________．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17．（6分）先化简，再求值：，其中

18．（8分）国庆期间，某商家用3200元购进了一批纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用7200元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件贵了10元．

（1）该商家购进的第一批纪念衫单价是多少元？（4分）

（2）若两批纪念衫按相同的标价销售，最后剩下20件按标价八折优惠卖出，如果两批纪念衫全部售完利润不低于3520元（不考虑其他因素），那么每件纪念衫的标价至少是多少元？（4分）

19．（8分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据．

（1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；（3分）

（2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；（3分）

（3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，则最多补查了_______人。（2分）

20．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和B两点．

（1）求反比例函数的解析式；（3分）

（2）在第一象限内，当一次函数的值大于反比例函数的值时，写出自变量x的取值范围．（2分）

（3）求的面积．（3分）

21．（8分）如图，已知是的直径，C是上的一点，D是上的一点，于D，交于F，且．

（1）求证：是的切线；（4分）

（2）若，，圆的半径，求切线的长．（4分）

22．（11分）2019年11月20日，“美丽玉环，文旦飘香”号冠名列车正式发车，为广大旅客带去“中国文旦之乡”的独特味道根据市场调查，在文旦上市销售的30天中，其销售价格（元/公斤）与第x天之间满足函数（其中x为正整数）；销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示，如果文旦上市期间每天的其他费用为100元．

（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；（3分）

（2）求在文旦上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润日销售额日维护费）（4分）

（3）求日销售利润y的最大值及相应的x的值．（4分）

23．（11分）如图1，在中，，，，点，为边，的中点，连接，将绕点C逆时针旋转．

（1）如图1，当时，_________；，所在直线相交所成的较小夹角的度数是_________；（4分）

（2）将绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（4分）

（3）当绕点C逆时针旋转过程中，请直接写出的最大值，_________．（3分）

24．（12分）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线交于点M，与x轴交于点N．

（1）求抛物线的解析式；（4分）

（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（4分）

（3）D为的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4分）

2023年春季九年级二模考试

数学参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．C．    2．B．    3．C．    4．C．    5．B．    6．D．    7．B．

8．解：，

∴，

∵∠HAE=∠ADH，

∴△AHE∽△DHA，

∴∠HAE=∠ADH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，AC平分∠ADC，

∴∠ADH=45°，

∴∠HAE=∠EGA=45°，

∵AE=EG，

∴∠EAH=∠EGA=45°，

∴∠AEG=90°，

∴EG⊥AF，

∴①正确；

将△ADF绕点A顺时针旋转90°到△ABM，

∴△ADF≌△ABM，

∴AF=AM，DF=BM，∠DAF=∠BAM，

∵∠FAG=45°，∠DAB=90°，

∴∠DAF＋∠GAB=45°，

∴∠GAB＋∠BAM=45°，

∴∠FAG=∠MAG，

在△FAG和△MAG中，

，

∴△FAG≌△MAG（SAS），

∴FG=MG，

∴MB＋BG=FG，

∴BG＋DF=GF，

∴②正确；

设正方形的边长为4，BG=a，

，

∴DF=FC=BM=2，

∴CG=4﹣a，MG=GF=2＋a，

在Rt△FCG中，，

，解得：，

即，，

∴，

∴③错误．

正确的有2个．

故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9．x（x+3）（x﹣3）．    10．．    11．3．    12．10．    13．．

14．海里．

15．解：，

则，，

则，则，则，

，则，

…

则，

故答案为：．

16．解：∵E、F分别是AP、BP的中点

∴EF是△ABP的中位线

∴S△ABP=4S△PEF

∵当x=0时，点P与点C重合

∵当x=4时，点P与点D重合

=12＋8

=20

故答案为：20．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17．解：原式，

当时，原式．......................6分

18．解：（1）设该商家购进的第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是（x＋10）元，

根据题意得：，解得：x=80，

经检验x=80是分式方程的解，且符合题意，

则该商家购进的第一批纪念衫单价是80元；......................4分

（2）根据（1）得：第一批数量为40件，第二批为80件，

设每件纪念衫的标价是y元，

根据题意得：40y﹣3200＋60y＋20×80%y﹣7200≥3520，解得：y≥120，

则每件纪念衫的标价至少是120元．......................4分

19．解：（1）设阅读5册书的人数为x，由统计图可知：，

∴x=14，

∴条形图中丢失的数据是14，阅读书册数的众数是5，中位数是5；......................3分

（2）该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数为1200（人），

答：该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数是420人；......................3分

（3）设补查了y人，

根据题意得，12＋6＋y＜8＋14，

∴y＜4，

∴最多补查了3人．

故答案为：3.   ......................2分

20．解：（1）∵点A在一次函数图象上，

∴n=﹣1＋5=4，

∴A（1，4），

∵点A在反比例函数图象上，

∴k=4×1=4，

∴反比例函数解析式为；......................3分

（2）联立两函数解析式可得，解得：或，

∴B点坐标为（4，1），

结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为1＜x＜4；......................2分

（3）如图，设一次函数与x轴交于点C，

在y=﹣x＋5中，令y=0可求得x=5，

∴C（5，0），即OC=5，

．  ......................3分

21．解：（1）连接OC，

∵OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB，

∵DE⊥AB，

∴∠OBC＋∠DFB=90°，

∵EF=EC，

∴∠ECF=∠EFC=∠DFB，

∴∠OCB＋∠ECF=90°，

即∠ECO=90°，

∴OC⊥CE，

∴EC是⊙O的切线；  ......................4分

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵OB=5，

∴AB=10，

，

，

∴，

∴BF=5，

∴CF=BC﹣BF=3，

∵∠ABC＋∠A=90°，∠ABC＋∠BFD=90°，

∴∠BFD=∠A，

∴∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC，

∴△OAC∽△ECF，

∴，

．  ......................4分

22．解：（1）当1≤x≤10时，设n=kx＋b，由图知可知，解得：，

∴n=20x＋100，

同理得，当10＜x≤30时，n=﹣14x＋440

∴销售量n与第x天之间的函数关系式：；......................3分

（2）∵y=mn﹣100

；

整理得，； ......................4分

（3）当1≤x≤10时，

∵y=4x2＋60x＋100的对称轴，

∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大.

∴x=10时，y取最大值，则ymax=1100，

当10＜x≤15时，

的对称轴是直

∴当x=11时，y取得最大值，此时ymax=1101.2，

当15＜x≤30时，

的对称轴为直线，

∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小.

∵当x=15时，y=1050，故ymax＜1050，

综上，文旦销售第11天时，日销售利润y最大，最大值是1101.2元． ......................4分

23．解：（1）在Rt△ABC中，AC=1，

∵∠ACB=60°，

∴∠ABC=30°，

∴BC=2AC=2，

∵点A1为边AC的中点，

，

∵点A1，B1为边AC，BC的中点，

∴A1B1是△ABC的中位线，

∴A1B1∥AB，

∴∠B1A1C=∠BAC=90°，∠A1B1C=∠ABC=30°，

在Rt△A1B1C中，B1C=2A1C=1，

∴BB1=BC﹣B1C=2﹣1=1，

∴，

∵∠ACB=60°，

∴BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB=60°，

故答案为：2，60°；  ......................4分

（2）（1）中结论仍然成立，证明：延长AA1，BB1相交于点D，如图2，

由旋转知，∠ACA1=∠BCB1，

，B1C=1，

∵AC=1，BC=2，

∴，，

∴，

∴△ACA1∽△BCB1，

∴，∠CAA1=∠CBB1，

∴∠ABD＋∠BAD=∠ABC＋∠CBB1＋∠BAC﹣∠CAA1=∠ABC＋∠BAC=30°＋90°=120°，

∴∠D=180°﹣（∠ABD＋∠BAD）=60°；......................4分

（3）由题意，AC=1， ，，

当点A1落在AC的延长线上时，AA1最长，则△ABA1的面积最大，此时AA1=AC＋A1C，

∴最大值．

故答案为：．......................3分

24．解：（1）由题意得，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）、（0，8），

设抛物线的表达式为y=ax2＋bx＋c，则，解得：，

故抛物线的表达式为y=﹣x2＋2x＋8；  ......................4分

（2）存在，理由：

当∠CP′M为直角时，

则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴，

则点P′的坐标为（1，8）；

当∠PCM为直角时，

在Rt△OBC中，设∠CBO=α，则，则，，

在Rt△NMB中，NB=4﹣1=3，则，

同理可得，MN=6，

由点B、C的坐标得，，则，

在Rt△PCM中，∠CPM=∠OBC=α，

则，则，

则点P的坐标为，

故点P的坐标为（1，8）或；......................4分

（3）∵D为CO的中点，则点D（0，4），

作点C关于函数对称轴的对称点C′（2，8），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣4），

连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，

理由：G走过的路程=DE＋EF＋FC=D′E＋EF＋FC′=C′D′为最短，

由点C′、D′的坐标得，直线C′D′的表达式为y=6x﹣4，

对于y=6x﹣4，当y=6x﹣4=0时，解得：，当x=1时，y=2，

故点E、F的坐标分别为、（1，2）；

G走过的最短路程为.