2023上海市复旦大学附中高三下学期3月月考数学试题含解析

复旦附中2023届高三年级3月份教学质量检测数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分.第1-6题每题4分，第12题每题5分）

1. 已知集合，则___________．

2. 已知i为虚数单位，则复数的虚部为___________．

3. 已知幂函数图像过点，则的值为___________．

4. 已知，，则_______．

5. 已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是_______.

6. 已知为实数，函数在处的切线方程为，则的值为___________．

7. 若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是________．

8. 在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是________．

9. 下列说法中正确的是______．

①设随机变量X服从二项分布，则

②已知随机变量X服从正态分布且，则

③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则；

④，．

10. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A（点A在第一象限），B两点，且，则（O为坐标原点）的面积是______．

11. 已知数列满足，且对于任意的正整数n，都有．若正整数k使得对任意的正整数成立，则整数k的最小值为___________．

12. 已知对任意的，均有，则的最小值为___________．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分.第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13. 设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

14. 已知函数的图象关于点对称，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一个单调递增区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

15. 已知正实数a，b满足，则最小值为（    ）

A.  B. 3 C.  D.

16. 已知，函数的定义域为的值域为的子集，则这样的函数的个数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17. 已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，.

（1）求证：直线平面；

（2）求点到平面的距离.

18. 某学校为丰富学生课外活动，计划在校园内增加宣外活动区域（如所示）已知教学楼用直线表示，且，ED是过道，A是之间的一定点路口，并且点A到的距离分别为2，6，B是直线上的动点，连接AB，过点A作．且使得AC交直线于C，点B，C均在DE的右侧，设

（1）写出活动区域的面积S关于角的函数表达式，并写出定义域；

（2）求的最小值．

19. 携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其携号的各种服务．2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．

（1）完成列联表：

（2）并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关；

（3）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望；

附：

20. 椭圆的焦点是一个等轴双曲线的顶点,其顶点是双曲线的焦点，椭圆与双曲线有一个交点P，的周长为．

（1）求椭圆与双曲线的标准方程；

（2）点M是双曲线上的任意不同于其顶点的动点，设直线，的斜率分别为，求的值；

（3）过点任作一动直线l交椭圆于A、B两点，记．若在线段AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定曲线上运动？若是，求出该定曲线的方程；若不是，请说明理由．

21. 若函数图像上存在相异的两点P、Q，使得函数在点P和点Q处的切线重合，则称是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为的“双切线”．

（1）若，判断函数是否为“双切函数”，并说明理由；

（2）若，证明：函数是“双切函数”，并求出其“双切线”；

（3），求证：“”是“双切函数”的充要条件是“”