2023年江西省抚州市金溪一中等八校中考数学第一次联考试卷+

这是一份2023年江西省抚州市金溪一中等八校中考数学第一次联考试卷+，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江西省抚州市金溪一中等八校中考数学第一次联考试卷
一、选择题（共6小题，共18分）
1．（3分）如图所示的工件，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．
2．（3分）一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围为（　　）
A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a＞﹣2且a≠2 D．a≥﹣2且a≠2
5．（3分）如图，AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
7．（3分）如果，那么＝　 　．
8．（3分）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝　 　．
9．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为　 　．

10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动如果点P、Q分别从点A、B同时出发问经过　 　秒时，△PBQ与△ABC相似．

11．（3分）如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k＝　 　．

12．（3分）已知如图AB＝1、BC＝6、CD＝4，P在线段BC上，AB⊥BC、CD⊥BC垂足分别为B、C；当△ABP与P、C、D三点组成的三角形相似时则BP＝　 　．

三、计算题（本大题共5小题，共30分）
13．（6分）解方程：
（1）x（x﹣3）＝2x﹣6；
（2）已知a：b：c＝2：3：4，且2a+3b﹣2c＝15，求a﹣2b+3c的值．
14．（6分）已知平行四边形ABCD对角线交于O，如果AD＝OD，求证：AC＝AB．

15．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边CD的中点，连接AE，过B作BF⊥AE交AE于点F，求BF的长．

16．（6分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A（m，3）、B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

17．（6分）如图是小正方形边长为1的8×8网格，其中A、B、D、E、F都在格点上．
（1）在AB上作一点C使得AC：BC＝3：2；
（2）作△DMN∽△DEF，两三角形面积比为4：9；其中M在DE上，N在DF上．

四、解答题（本大题共6小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（9分）有一项打扫卫生的工作需要甲乙俩同学去完成，一人完成时间紧，俩人去很轻松，现甲乙俩同学商量还是由一人去完成．
（1）俩同学商量选取扑克牌1、2、3、4、……、10，共10张．由中证人抽取，奇数甲去、反之乙去，写出甲去的概率是 　 　
（2）由于没找到扑克牌，改为用两人单手的手指，拳头代表0，两手指数之和为奇数甲去，反之乙去．这个游戏甲思考再三，认为对他不公平，他的解释是：0至10中有奇数5个，偶数6个所以P（奇数）＝小于0.5，你认同这个解释吗？如果不认同，请用表格法写出详细的解答过程．
19．（9分）如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将△FBE绕着点E顺时针旋转45°得到△GTE，连接CG、DE．
（1）求证：TG∥DE；
（2）当BF为多少时，CG的最小值且最小值是多少？

20．（9分）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
21．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．​
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根分别是等腰△ABC两边AB、AC的长，其中BC＝10，求k值．
22．（9分）已知：如图1，BD是△ABC的内角平分线．
（1）求证：；
（2）如图2，DE是在△ABC的内部截∠ADE＝∠ABC，E在AB上．求证：DE＝CD；
（3）如图3，已知四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，AB＝11，BC＝10，CD＝14，DA＝5；直接写出四边形ABCD的面积．

23．（9分）已知反比例函数（k＞0）和矩形OABC．
（1）如图若k＝2，OA＝2AB，如果B在反比例函数y＝的图象上，求B点坐标；
（2）如图若k＝2，OA＝2AB，AB和BC交反比例函数y＝（k＞0）的图象分别与N、M．求证：BN＝2BM；
（3）如图若AB和BC交反比例函数y＝（k＞0）的图象分别与N、M；OA＝kAB．求证：MN∥AC．



参考答案
一、选择题（共6小题，共18分）
1．（3分）如图所示的工件，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
2．（3分）一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，
∴两次都摸到白球的概率是：＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．（3分）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（　　）

A． B． C． D．
【分析】本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．
解：∵四边形为矩形，
∴OB＝OD＝OA＝OC，
在△EBO与△FDO中，
∵，
∴△EBO≌△FDO（ASA），
∴阴影部分的面积＝S△AEO+S△EBO＝S△AOB，
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，
∴S△AOB＝S△OBC＝S矩形ABCD．
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
4．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围为（　　）
A．a≥﹣2 B．a≠2 C．a＞﹣2且a≠2 D．a≥﹣2且a≠2
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
解：由题意可知：Δ＝16+4（a﹣2）≥0，
∴a≥﹣2，
∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴a≥﹣2且a≠2，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
5．（3分）如图，AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】过D作DH∥AC交BE于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：过D作DH∥AC交BE于H，
∴△DHG∽△AEG，△BDH∽△CBE，
，，
∴AE＝4DH，CE＝DH，
∴＝，
故选：A．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，准确作出辅助线是解题的关键．
6．（3分）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO＝a，CF＝a+1，CE＝（a+1），进而得出点B的横坐标．
解：∵点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．
点B的对应点B′的横坐标是a，
∴FO＝a，CF＝a+1，
∴CE＝（a+1），
∴点B的横坐标是：﹣（a+1）﹣1＝﹣（a+3）．
故选：D．

【点评】此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出FO＝a，CF＝a+1，CE＝（a+1），是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
7．（3分）如果，那么＝　　．
【分析】利用比例的基本性质进行计算即可解答．
解：∵＝，
∴5（a﹣b）＝3b，
∴5a﹣5b＝3b，
∴5a＝8b，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
8．（3分）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝　4　．
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到α2＝﹣3α+7，则α2+4α+β变形为α+β+7，再根据根与系数的关系得到α+β＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵α为方程x2+3x﹣7＝0的根，
∴α2+3α﹣7＝0，
∴α2＝﹣3α+7，
∴α2+4α+β＝﹣3α+7+4α+β＝α+β+7，
∵方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，
∴α+β＝﹣3，
∴α2+4α+β＝﹣3+7＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
9．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为　3cm2　．

【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，底面三角形的高为cm，三棱柱的高为3cm，所以，其左视图为长方形，长为3cm，宽为cm，面积为3×＝3（cm2），
故答案为3cm2．
【点评】本题考查了三视图，三视图是中考经常考查的知识内容，难度不大，但要求对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动如果点P、Q分别从点A、B同时出发问经过　1或2.5　秒时，△PBQ与△ABC相似．

【分析】设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，根据路程公式可得AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t，然后利用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可．
解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t，
当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB＝BQ：BC，
即（10﹣2t）：10＝4t：20，
解得t＝2.5（s）
当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB＝BP：BC，即4t：10＝（10﹣2t）：20，
解得t＝1．
所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似．
解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，则有，AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t
分两种情况：
（1）当BP与AB对应时，有，即，解得t＝2.5s
（2）当BP与BC对应时，有，即，解得t＝1s
所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似，
故答案为：1或2.5
【点评】此题考查相似三角形的判定，本题综合了路程问题和三角形的问题，所以学生平时学过的知识要会融合起来．
11．（3分）如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上且BC：CA＝1：2，双曲线y＝（x＞0）经过点C，则k＝　2　．

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．
解：连接OC，
∵点A在双曲线y＝（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴于点B，
∴S△OAB＝×6＝3，
∵BC：CA＝1：2，
∴S△OBC＝3×＝1，
∵双曲线y＝（x＞0）经过点C，
∴S△OBC＝|k|＝1，
∴|k|＝2，
∵双曲线y＝（x＞0）在第一象限，
∴k＝2，
故答案为2．

【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
12．（3分）已知如图AB＝1、BC＝6、CD＝4，P在线段BC上，AB⊥BC、CD⊥BC垂足分别为B、C；当△ABP与P、C、D三点组成的三角形相似时则BP＝　或或　．

【分析】根据题意可知：存在两种情况，一种是△ABP∽△DCP，一种是△ABP∽△PCD，然后分别计算出BP的值即可．
解：连接AP，DP，如图所示，
当△ABP∽△DCP时，
，
∵AB＝1、BC＝6、CD＝4，
∴，
解得BP＝；
当△ABP∽△PCD时，
，
∵AB＝1、BC＝6、CD＝4，
∴，
解得BP＝3±；
故答案为：或3+或3﹣．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三、计算题（本大题共5小题，共30分）
13．（6分）解方程：
（1）x（x﹣3）＝2x﹣6；
（2）已知a：b：c＝2：3：4，且2a+3b﹣2c＝15，求a﹣2b+3c的值．
【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程，此题得解；
（2）由a：b：c＝2：3：4，可设a＝2k，则b＝3k，c＝4k，根据2a+3b﹣2c＝15可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值，进而可得出a、b、c的值，将其代入a﹣2b+3c中即可求出结论．
解：（1）移项得，x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
即x﹣3＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝3，x2＝2；
（2）∵a：b：c＝2：3：4，
∴设a＝2k，则b＝3k，c＝4k．
∵2a+3b﹣2c＝15，
∴4k+9k﹣8k＝15，
解得：k＝3，
∴a＝6，b＝9，c＝12，
∴a﹣2b+3c＝6﹣18+36＝24．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程、解一元一次方程以及比例的性质，解题的关键是：（1）熟练掌握因式分解法解一元二次方程的解法；（2）根据比例关系结合2a+3b﹣2c＝15列出关于k的一元一次方程．
14．（6分）已知平行四边形ABCD对角线交于O，如果AD＝OD，求证：AC＝AB．

【分析】取AD的中点E，连接OE，根据AD＝OD，可得：＝＝，再由∠ADO＝∠ODE，可证得△ADO∽△ODE，得出＝＝，再利用平行四边形性质和三角形中位线定理推出：AC＝2OA，AB＝2OE，即可证得结论．
【解答】证明：如图，取AD的中点E，连接OE，

则DE＝AD，
∵AD＝OD，
∴＝，＝，
∵＝＝2×＝2×＝，
∴＝，
∵∠ADO＝∠ODE，
∴△ADO∽△ODE，
∴＝＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AC＝2OA，
∵O、E分别是BD、AD的中点，
∴AB＝2OE，
∴＝＝＝，
∴AC＝AB．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
15．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边CD的中点，连接AE，过B作BF⊥AE交AE于点F，求BF的长．

【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝90°，求得DE＝2，根据勾股定理得到AE＝2，证明△ABF∽△AED，列比例式即可解得答案．
解：在矩形ABCD中，∵CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝90°，
∵E是边CD的中点，
∴DE＝CD＝2，
∴AE＝＝＝2，
∵BF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAE＝∠DAE+∠AED＝90°，
∴∠BAE＝∠AED，
∴△ABF∽△AED，
∴，
即，
∴BF＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
16．（6分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A（m，3）、B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

【分析】（1）把A和B代入反比例函数解析式即可求得坐标，然后用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：（1）∵A（m，3），B（﹣3，n）两点在反比例函数的图象上，
∴m＝1，n＝﹣1．
∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）．
根据题意得：，
解得：，
∴一次函数的解析式是：y＝x+2；

（2）∵一次函数的解析式是y＝x+2；
∴直线AB与y轴的交点为（0，2），
∴S△AOB＝＝4．
【点评】此题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
17．（6分）如图是小正方形边长为1的8×8网格，其中A、B、D、E、F都在格点上．
（1）在AB上作一点C使得AC：BC＝3：2；
（2）作△DMN∽△DEF，两三角形面积比为4：9；其中M在DE上，N在DF上．

【分析】（1）取格点G，H，使AG：BH＝3：2，连接GH，交AB于点C，则点C即为所求．
（2）由题意得，△DMN与△DEF的相似比为2：3，取格点K，P，Q，使KD：EQ＝2：3，DP：FQ＝2：3，连接KQ交DE于点M，连接PQ交DF于点N，连接MN，即可得△DMN．
解：（1）如图，取格点G，H，使AG：BH＝3：2，连接GH，交AB于点C，
则AC：BC＝AG：BH＝3：2，
则点C即为所求.
（2）由题意得，△DMN与△DEF的相似比为2：3，
如图，取格点K，P，Q，使KD：EQ＝2：3，DP：FQ＝2：3，连接KQ交DE于点M，连接PQ交DF于点N，连接MN，
则△DMN即为所求．

【点评】本题考查作图﹣相似变换，熟练掌握相似的性质是解答本题的关键．
四、解答题（本大题共6小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（9分）有一项打扫卫生的工作需要甲乙俩同学去完成，一人完成时间紧，俩人去很轻松，现甲乙俩同学商量还是由一人去完成．
（1）俩同学商量选取扑克牌1、2、3、4、……、10，共10张．由中证人抽取，奇数甲去、反之乙去，写出甲去的概率是 　　
（2）由于没找到扑克牌，改为用两人单手的手指，拳头代表0，两手指数之和为奇数甲去，反之乙去．这个游戏甲思考再三，认为对他不公平，他的解释是：0至10中有奇数5个，偶数6个所以P（奇数）＝小于0.5，你认同这个解释吗？如果不认同，请用表格法写出详细的解答过程．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
解：（1）扑克牌1、2、3、4、……、10，共10张，其中奇数有5张，
则甲去的概率是＝．
故答案为：；

（2）根据题意列表如下：
和
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
8
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
共有121种等可能的情况数，其中两手指数之和为奇数的有60种，
则甲去的概率是，乙去的概率是，
∵＜，
∴这个游戏不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（9分）如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将△FBE绕着点E顺时针旋转45°得到△GTE，连接CG、DE．
（1）求证：TG∥DE；
（2）当BF为多少时，CG的最小值且最小值是多少？

【分析】（1）由旋转的性质可得BE＝TE＝2，∠BET＝45°，∠EBF＝∠GTE＝90°，可得∠TED＝90°，可得结论；
（2）由题意可得当CG⊥TG时，CG有最小值，由等腰直角三角形的性质和矩形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝6，BC＝8，BE＝2，
∴CD＝CE＝6，
∴∠DEC＝45°，
∵将△FBE绕着点E顺时针旋转45°得到△GTE，
∴BE＝TE＝2，∠BET＝45°，∠EBF＝∠GTE＝90°，
∴∠TED＝90°，
∴∠GTE+∠TED＝180°，
∴TG∥DE；
（2）解：∵TG∥DE，
∴点G在与DE平行且与DE的距离为2的直线上运动，
∴当CG⊥TG时，CG有最小值，
∴四边形TEJG是矩形，
∴GJ＝TE＝2，∠EJC＝90°，TG＝EJ，
∴△EJC是等腰直角三角形，
∴TG＝JC＝3，
∴当BF为3时，CG的最小值为3+2．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
20．（9分）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【分析】（1）设月平均增长率是x，利用3月份的销售量＝1月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件，利用每天销售该公仔获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出y的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低20元．
解：（1）设月平均增长率是x，
依题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是20%．
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200，
整理得：y2﹣30y+200＝0，
解得：y1＝10，y2＝20．
又∵要尽量减少库存，
∴y＝20．
答：售价应降低20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．​
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根分别是等腰△ABC两边AB、AC的长，其中BC＝10，求k值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝1＞0，进而即可证出：方程有两个不相等的实数根；
（2）利用分解因式法解方程可求出方程的两个根，再根据等腰三角形的性质，即可得出关于k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）（x﹣k﹣1）＝0，
解得：x1＝k，x2＝k+1．
当等腰△ABC的腰长为10时，
∴k＝10或k+1＝10，
∴k＝9，
解得：k＝9或k＝10．
【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用分解因式法解一元二次方程求出AB、AC的长度．
22．（9分）已知：如图1，BD是△ABC的内角平分线．
（1）求证：；
（2）如图2，DE是在△ABC的内部截∠ADE＝∠ABC，E在AB上．求证：DE＝CD；
（3）如图3，已知四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，AB＝11，BC＝10，CD＝14，DA＝5；直接写出四边形ABCD的面积．

【分析】（1）过D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，由角平分线的性质得DM＝DN，再由三角形面积得＝，＝，即可得出结论；
（2）证△ADE∽△ABC，得＝，再由（1）可知，，则＝，即可得出结论；
（3）延长BA、CD交于点E，证△EAD∽△ECB，得∠ADE＝∠B，＝，＝，设AE＝x，DE＝y，则BE＝AE+AB＝x+11，CE＝DE+CD＝y+14，求出x＝13，y＝12，则AE＝13，DE＝12，BE＝24，CE＝26，然后由勾股定理的逆定理得△BCE是直角三角形，∠B＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1，过D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，

∵BD平分∠ABC，
∴DM＝DN，
∴＝＝，
又∵＝，
∴；
（2）证明：∵∠ADE＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
由（1）可知，，
∴＝，
∴DE＝CD；
（3）解：如图3，延长BA、CD交于点E，

∵∠A+∠C＝180°，∠A+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝∠C，
∵∠E＝∠E，
∴△EAD∽△ECB，
∴∠ADE＝∠B，＝，＝，
设AE＝x，DE＝y，则BE＝AE+AB＝x+11，CE＝DE+CD＝y+14，
∴＝，＝，
联立方程组得：，
解得：x＝13，y＝12，
∴AE＝13，DE＝12，BE＝x+11＝24，CE＝y+14＝26，
∵BC＝10，
∴BC2+BE2＝CE2，
∴△BCE是直角三角形，∠B＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△BCE﹣S△ADE＝BC•BE﹣AD•AE＝×10×24﹣×5×12＝120﹣30＝90．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握角平分线的性质和勾股定理的逆定理，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
23．（9分）已知反比例函数（k＞0）和矩形OABC．
（1）如图若k＝2，OA＝2AB，如果B在反比例函数y＝的图象上，求B点坐标；
（2）如图若k＝2，OA＝2AB，AB和BC交反比例函数y＝（k＞0）的图象分别与N、M．求证：BN＝2BM；
（3）如图若AB和BC交反比例函数y＝（k＞0）的图象分别与N、M；OA＝kAB．求证：MN∥AC．

【分析】（1）设OA＝2AB＝2t，则点B（2t，t），将点B的坐标代入反比例函数的表达式得：k＝2t•t＝2，即可求解；
（2）证明＝1﹣，＝，即可求解；
（3）证明＝，即可求解．
【解答】（1）解：设OA＝2AB＝2t，
则点B（2t，t），
将点B的坐标代入反比例函数的表达式得：k＝2t•t＝2，
解得：t＝1（负值已舍去），
则点B的坐标为：（2，1）；

（2）证明：k＝2，反比例函数的表达式为：y＝，
设OA＝2AB＝2t，则点B（2t，t），
当x＝2t时，y＝＝＝，即点M（2t，），
同理可得，点N（，t），
则＝1﹣，
同理可得：＝，
即＝2，
即BN＝2BM；

（3）证明：设OA＝kAB＝kt，则点B（kt，t），
当x＝kt时，y＝＝＝，即点M（kt，），
当y＝t＝，则x＝，即点N（，t），
则＝1﹣，
同理可得：＝，
∵∠NBM＝∠CBA＝90°，
∴△NBM∽△CBA，
∴∠BNM＝∠BCA，
∴MN∥AC．
【点评】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形相似、矩形的基本性质等，有一定的综合性，难度适中．