2023年山东省滨州市阳信县中考数学一模试卷+

这是一份2023年山东省滨州市阳信县中考数学一模试卷+，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省滨州市阳信县中考数学一模试卷
一、选择题：共12个小题，共36分，每小题选对得3分.
1．（3分）如果规定收入为正，支出为负，收入3元记作3元，那么支出8元记作（　　）
A．5元 B．﹣11元 C．11元 D．﹣8元
2．（3分）如果关于x的不等式（k+2）x＞k+2的解集为x＜1，则k的值可以是（　　）
A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣3
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a2•2a3＝6a5 B．a3+4a＝
C．（a2）3＝a5 D．﹣2（a+b）＝﹣2a+2b
4．（3分）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
5．（3分）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（　　）

A．65° B．55° C．45° D．35°
6．（3分）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（　　）

A． B．2 C． D．3
7．（3分）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
8．（3分）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西30°方向上，在海岛B的北偏西60°方向上，则海岛B到灯塔C的距离是（　　）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
9．（3分）如图所示为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（　　）

A．ac＜0
B．x＞1时，y随x的增大而增大
C．a+b+c＞0
D．方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3
10．（3分）在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：
成绩（次）
12
11
10
9
人数（名）
1
3
4
2
关于这组数据的结论不正确的是（　　）
A．中位数是10.5 B．平均数是10.3
C．众数是10 D．方差是0.81
11．（3分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1）．则关于x的不等式ax+b＞的解集是（　　）

A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2
12．（3分）函数y＝[x]叫做高斯函数，其中x为任意实数，[x]表示不超过x的最大整数．定义{x}＝x﹣[x]，则下列说法正确的个数为（　　）
①[﹣4.1]＝﹣4；
②{3.5}＝0.5；
③高斯函数y＝[x]中，当y＝﹣3时，x的取值范围是﹣3≤x＜﹣2；
④函数y＝{x}中，当2.5＜x≤3.5时，0≤y＜1．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共6个小题，共24分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分。
13．（4分）在实数，中最小的实数是 　 　．
14．（4分）分解因式：ax2﹣9a＝　 　．
15．（4分）不等式组的解集是　 　．
16．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，则cos∠OCB的值是　 　．

17．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若∠BAC＝α，则∠MAN＝　 　．

18．（4分）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是 　 　．

三、解答题：本大题共6个小题，满分60分，解答时请写出必要的演推过程。
19．（8分）先化简，再求值：，其中a＝+（）×tan30°．
20．（9分）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．

（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 　 　；
（4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？
21．（9分）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．

22．（10分）如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若AC＝5，∠E＝30°，求CD的长．

23．（10分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，点G，H分别在边AB，BC上，且FG⊥EH，垂足为P．
（1）求证：FG＝EH；
（2）若正方形ABCD边长为5，AE＝2，tan∠AGF＝，求PF的长度．

24．（14分）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF；
（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．




参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。
1．（3分）如果规定收入为正，支出为负，收入3元记作3元，那么支出8元记作（　　）
A．5元 B．﹣11元 C．11元 D．﹣8元
【分析】审清题意，根据“正”和“负”所表示的意义直接求解即可．
解：∵收入为正，支出为负，收入3元记作3元，
∴支出8元记作﹣8元，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2．（3分）如果关于x的不等式（k+2）x＞k+2的解集为x＜1，则k的值可以是（　　）
A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣3
【分析】由于关于x的不等式（k+2）x＞k+2的解集为x＜1，由此可以得到k+2＜0，解得即可．
解：∵关于x的不等式（k+2）x＞k+2的解集为x＜1，
∴k+2＜0，
解得k＜﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a2•2a3＝6a5 B．a3+4a＝
C．（a2）3＝a5 D．﹣2（a+b）＝﹣2a+2b
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方以及去括号法则解答．
解：A、原式＝6a5，故本选项符合题意．
B、a3与4a不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意．
C、原式＝a6，故本选项不符合题意．
D、原式＝﹣2a﹣2b，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】考查了单项式乘单项式，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方等知识点，属于基础题，熟记相关计算法则即可解答．
4．（3分）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【分析】求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．
解：法1：，
①+②×5得：16a＝32，即a＝2，
把a＝2代入①得：b＝2，
则a+b＝4，
法2：①+②得：4a+4b＝16，
则a+b＝4，
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．（3分）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（　　）

A．65° B．55° C．45° D．35°
【分析】由三角形内角和定理可求∠ABC的度数，由平行线的性质可求解．
解：∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，
∵直线AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝55°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是本题的关键．
6．（3分）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（　　）

A． B．2 C． D．3
【分析】先判断出PA＝PB，进而判断出△PAB是等边三角形，即可得出结论．
解：∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，
∴PA＝PB，∵∠APB＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB＝AP＝2．
故选：B．

【点评】本题主要考查了切线长定理，判断出△PAB是等边三角形是解题的关键．
7．（3分）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
【分析】利用完全平方公式计算出x1x2＝2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程．
解：∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
而x1+x2＝3，
∴9﹣2x1x2＝5，
∴x1x2＝2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
8．（3分）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西30°方向上，在海岛B的北偏西60°方向上，则海岛B到灯塔C的距离是（　　）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C＝∠CAB＝30°，根据等角对等边得出BC＝AB，求出AB即可．
解：如图．

根据题意得：∠CBD＝60°，∠CAB＝30°，
∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝30°＝∠CAB，
∴BC＝AB，
∵AB＝15×2＝30（海里），
∴BC＝30（海里），
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，等腰三角形的判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C＝∠CAB，题目比较典型，难度不大．
9．（3分）如图所示为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（　　）

A．ac＜0
B．x＞1时，y随x的增大而增大
C．a+b+c＞0
D．方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值，根据开口方向及对称轴判断二次函数的增减性，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：A、由二次函数的图象开口向上可得a＞0，由抛物线与y轴交于x轴下方可得c＜0，所以ac＜0，正确；
B、由a＞0，对称轴为x＝1，可知x＞1时，y随x的增大而增大，正确；
C、把x＝1代入y＝ax2+bx+c得，y＝a+b+c，由函数图象可以看出x＝1时二次函数的值为负，错误；
D、由二次函数的图象与x轴交点的横坐标是﹣1或3，可知方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3，正确．
故选：C．
【点评】由图象找出有关a，b，c的相关信息以及抛物线的交点坐标，会判断二次函数的增减性，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y＝a+b+c，y＝a﹣b+c，然后根据图象判断其值．
10．（3分）在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：
成绩（次）
12
11
10
9
人数（名）
1
3
4
2
关于这组数据的结论不正确的是（　　）
A．中位数是10.5 B．平均数是10.3
C．众数是10 D．方差是0.81
【分析】根据中位数，平均数，众数，方差的性质分别计算出结果，然后判断即可．
解：根据题目给出的数据，可得：
中位数是＝10（次），
平均数为：＝10.3，
∵10出现了4次，出现的次数最多，
∴众数是10；
方差是：[（12﹣10.3）2+3×（11﹣10.3）2+4×（10﹣10.3）2+2×（9﹣10.3）2]＝0.81．
这组数据的结论不正确的是A．
故选：A．
【点评】本题考查的是平均数，众数，中位数和方差，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的计算公式是解题的关键．
11．（3分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1）．则关于x的不等式ax+b＞的解集是（　　）

A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可．
解：∵A（1，2）在反比例函数图象上，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为，
∵B（m，﹣1）在反比例函数图象上，
∴，
∴B（﹣2，﹣1），
由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，
∴关于x的不等式的解集为﹣2＜x＜0或x＞1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点B的坐标是解题的关键．
12．（3分）函数y＝[x]叫做高斯函数，其中x为任意实数，[x]表示不超过x的最大整数．定义{x}＝x﹣[x]，则下列说法正确的个数为（　　）
①[﹣4.1]＝﹣4；
②{3.5}＝0.5；
③高斯函数y＝[x]中，当y＝﹣3时，x的取值范围是﹣3≤x＜﹣2；
④函数y＝{x}中，当2.5＜x≤3.5时，0≤y＜1．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算；
②根据定义{x}＝x﹣[x]进行计算；
③根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算；
④可以代入特殊值或边界点确定y的取值．
解：①根据题意可得：[﹣4.1]＝﹣5，错误；
②∵[3.5]＝3，
∴{3.5}＝3.5﹣[3.5]＝3.5﹣3＝0.5，正确；
③高斯函数y＝[x]中，当y＝﹣3时，x的取值范围是﹣3≤x＜﹣2，正确；
④函数y＝{x}中，当2.5＜x＜3时，[x]＝2，0.5＜x﹣[x]＜1，即0.5＜y＜1，
当x＝3时，[x]＝3，x﹣[x]＝0，即y＝0，
当3＜x≤3.5时，[x]＝3，0＜x﹣[x]≤0.5，即0＜y≤0.5，
综上，0≤y＜1，正确．
正确的命题有②③④．
故选：D．
【点评】本题考查了新定义：取整函数和一元一次不等式的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年常考的题型．
二、填空题：本大题共6个小题，共24分。只要求填写最后结果，每小题填对得4分。
13．（4分）在实数，中最小的实数是 　﹣　．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
解：∵﹣＜﹣1＜0＜，
∴在实数，中最小的实数是﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
14．（4分）分解因式：ax2﹣9a＝　a（x+3）（x﹣3）　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：ax2﹣9a
＝a（x2﹣9），
＝a（x+3）（x﹣3）．
故答案为：a（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
15．（4分）不等式组的解集是　4＜x≤5　．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
解：
∵解不等式①得：x≤5，
解不等式②得：x＞4，
∴不等式组的解集为4＜x≤5，
故答案为：4＜x≤5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
16．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，则cos∠OCB的值是　　．

【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝90°，则可判断△OBC为等腰直角三角形，所以∠OCB＝45°，然后利用特殊角的三角函数值得到cos∠OCB的值．
解：∵∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∴cos∠OCB＝．
故答案为．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若∠BAC＝α，则∠MAN＝　2α﹣180°　．

【分析】利用基本作图得到DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，则MA＝MB，NA＝NC，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和用α表示∠MAN．
解：由作法得DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴MA＝MB，NA＝NC，
∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠MAN＝∠BAC﹣∠MAB﹣∠NAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，
∴∠MAN＝∠BAC﹣（180°﹣∠BAC）＝2∠BAC﹣180°＝2α﹣180°．
故答案为2α﹣180°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：利用基本作图判断DE、GF分别垂直平分AB和AC是解决问题的关键；也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
18．（4分）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是 　4　．

【分析】过C作CM⊥AB延长线于M，根据BF：CE＝1：2设BF＝x，CE＝2x，由菱形的性质表示出BC＝4x，BM＝3x，根据勾股定理列方程计算即可．
解：过C作CM⊥AB延长线于M，

∵BF：CE＝1：2，
∴设BF＝x，CE＝2x，
∵点E是边CD的中点，
∴CD＝2CE＝4x，
∵菱形ABCD，
∴CD＝BC＝4x，CE∥AB，
∵EF⊥AB，CM⊥AB，
∴四边形EFMC是矩形，
∴，MF＝CE＝2x，
∴BM＝3x，
在Rt△BCM中，BM2+CM2＝BC2，
∴，
解得：x＝1或x＝﹣1（舍去），
∴CD＝4x＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟悉各个知识点在本题的灵活运用是解题的关键．
三、解答题：本大题共6个小题，满分60分，解答时请写出必要的演推过程。
19．（8分）先化简，再求值：，其中a＝+（）×tan30°．
【分析】根据分式的混合运算法则按原式化简，根据实数的混合运算法则化简a，代入计算即可．
解：原式＝（+）•
＝•
＝，
当a＝+（）﹣1﹣×tan30°＝﹣2+﹣×＝﹣时，原式＝＝﹣7．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、实数的运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（9分）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．

（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 　108°　；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 　510人　；
（4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？
【分析】（1）由360°乘以“优秀”的人数所占的比例即可；
（2）求出这次调查的人数为：12÷30%＝40（人），得出及格的人数，补全条形统计图即可；
（3）由该校总人数乘以“良好”的人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，则由概率公式求解即可．
解：（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是：360°×30%＝108°，
故答案为：108°；
（2）这次调查的人数为：12÷30%＝40（人），
则及格的人数为：40﹣3﹣17﹣12＝8（人），补全条形统计图如下：

（3）估计该校“良好”的人数为：1200×＝510（人），
故答案为：510人；
（4）画树状图如图：

共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，
∴抽到两名男生的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
21．（9分）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．

【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式，根据图象可得x的取值范围即可；
（2）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，由题意得：
，
解得：，
∴y＝﹣5x+500，
当y＝0时，﹣5x+500＝0，
∴x＝100，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+500（50＜x＜100）；
（2）设销售利润为w元，
w＝（x﹣50）（﹣5x+500）＝﹣5x2+750x﹣25000＝﹣5（x﹣75）2+3125，
∵抛物线开口向下，
∴50＜x＜100，
∴当x＝75时，w有最大值，是3125，
∴当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3125元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二次函数的最值问题，在本题中，还需注意的是自变量的取值范围．
22．（10分）如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若AC＝5，∠E＝30°，求CD的长．

【分析】（1）连接OC，证明CD⊥OC即可；
（2）证明∠CAD＝60°，解直角三角形求出CD即可．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵AC平分∠PAE，
∴∠PAC＝∠EAC，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠PAC，
∴OC∥PA，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是切线；

（2）解：∵AE是直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠CAD＝∠CAE＝60°，
∵∠CDA＝90°，
∴CD＝CA•sin60°＝5×＝．

【点评】本题考查切线的判定，平行线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
23．（10分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，点G，H分别在边AB，BC上，且FG⊥EH，垂足为P．
（1）求证：FG＝EH；
（2）若正方形ABCD边长为5，AE＝2，tan∠AGF＝，求PF的长度．

【分析】（1）根据正方形的性质得出AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，得到AF＝BE，再根据垂直的定义进而得出∠AFG＝∠BEH，即可根据ASA证明△AFG≌△BEH，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据正方形的性质及解直角三角形得出AF＝3，AG＝4，EG＝2，根据勾股定理得出FG＝5，再根据相似三角形的性质得出PG＝，根据线段的和差即可得解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，
∴∠AGF+∠AFG＝90°，
∵FG⊥EH，
∴∠AGF+∠GEP＝90°，
∴∠AFG＝∠GEP＝∠BEH，
∵AE＝DF，
∴AD﹣DF＝AB﹣AE，
即AF＝BE，
在△AFG和△BEH中，
，
∴△AFG≌△BEH（ASA），
∴FG＝EH；
（2）解：∵AD＝5，AE＝DF＝2，
∴AF＝5﹣2＝3，
在Rt△AFG中，tan∠AGF＝，
即＝，
∴AG＝4，
∴EG＝2，
在Rt△AFG中，FG＝＝＝5，
∵∠A＝∠EPG＝90°，∠AGF＝∠PGE，
∴△AFG∽△PEG，
∴＝，
即＝，
∴PG＝，
∴PF＝FG﹣PG＝5﹣＝．
【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟记正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（14分）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF；
（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．


【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，即可得解；
（2）根据正方形的性质得出∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，再由BF＝BF，得出△BOF≌△BDF，最后利用全等三角形的性质得出结论；
（3）分两种情况讨论解答，当M在线段BD的延长线上时，先求出∠M，再利用解直角三角形得出结果，当M在线段BD上时，得出∠BOM＝30°，类比①解答即可．
【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入
得：，解得，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）证明：∵正方形OBDC，
∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，
∵BF＝BF，
∴△BOF≌△BDF，
∴∠BOF＝∠BDF；
（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，
∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，
∴E（2，3），
①如图，

当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，
∴∠FDM为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴DF＝DM，
∴∠M＝∠DFM，
∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，
∵BM∥OC，
∴∠M＝∠MOC，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，
∴∠M＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；
②如图，

当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴MF＝DM，
∴∠BDF＝∠MFD，
∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BMO＝2∠BOM，
∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，
∴∠BOM＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，
综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．
【点评】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及解直角三角形，分类讨论思想的运用是解题的关键．