高考数学压轴题放缩法技巧全总结(最强大)

这是一份高考数学压轴题放缩法技巧全总结(最强大)，共25页。试卷主要包含了裂项放缩，函数放缩，分式放缩，分类放缩，迭代放缩，借助数列递推关系，分类讨论，线性规划型放缩等内容，欢迎下载使用。
放缩技巧
（高考数学备考资料）
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一、裂项放缩
例1.(1)求的值; (2)求证:.
解析:(1)因为,所以
(2)因为,所以
奇巧积累
: (1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)

(13)
(14) (15)
(15)

例2.(1)求证:
(2)求证:
(3)求证:
(4) 求证：
解析:(1)因为,所以
(2)
(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先,所以容易经过裂项得到
再证而由均值不等式知道这是显然成立的，
所以

例3.求证:
解析: 一方面: 因为,所以
另一方面:
当时,,当时,,
当时,,
所以综上有

例4.(2008年全国一卷)设函数.数列满足..设，整数.证明:.
解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列, 故 若存在正整数, 使, 则,
若,则由知,,
因为,于是


例5.已知,求证: .
解析:首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证,
即等价于,
即等价于 而正是成立的,所以原命题成立.

例6.已知,,求证:.
解析:
所以

从而

例7.已知,,求证:
证明: ,
因为 ,所以
所以

二、函数放缩
例8.求证：.
解析:先构造函数有,从而
cause
所以



例9.求证:(1)
解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案
函数构造形式: ,

例10.求证:
解析:提示:
函数构造形式:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数,
首先:,从而,
取有,,
所以有,,…,,,相加后可以得到:
另一方面,从而有
取有,,
所以有,所以综上有

例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明

例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案
函数构造形式:(加强命题)

例13.证明:
解析:构造函数,求导,可以得到:
,令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以


例14. 已知证明.
解析: ,
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案)
放缩思路：
。于是，

即
注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：

，
即



例16.(2008年福州市质检)已知函数若
解析:设函数

∴函数）上单调递增，在上单调递减.∴的最小值为，即总有
而

即
令则












例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.
(I)求证：函数上是增函数； (II)当；
(III)已知不等式时恒成立，
求证：
解析:(I),所以函数上是增函数
(II)因为上是增函数,所以


两式相加后可以得到
(3)
……

相加后可以得到:
所以
令,有

所以
(方法二)
所以
又,所以





三、分式放缩
姐妹不等式:和
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19. 姐妹不等式:和
也可以表示成为
和
解析: 利用假分数的一个性质可得

即

例20.证明:
解析: 运用两次次分式放缩:
(加1)
(加2)
相乘,可以得到:

所以有

四、分类放缩
例21.求证:
解析:

例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.
(1)证明>>4，; (2)证明有，使得对都有0,b>0,可认为成等差数列，设，
从而




例47.设，求证.
解析: 观察的结构，注意到，展开得
，即，得证.
例48.求证:. 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)
例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数，满足：
①对任意，都有；
②对任意都有.
（I）试证明：为上的单调增函数；
（II）求；
（III）令，试证明：.
解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.
(1)运用抽象函数的性质判断单调性:
因为,所以可以得到,
也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数.
(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!
首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!
由(1)可知,令,则可以得到
,又,所以由不等式可以得到,又
,所以可以得到 ①
接下来要运用迭代的思想:
因为,所以,, ②
,,,
在此比较有技巧的方法就是:
,所以可以判断 ③
当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.
所以,综合①②③有=
(3)在解决的通项公式时也会遇到困难.
,所以数列的方程为,从而,
一方面,另一方面
所以,所以,综上有
.
例49. 已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且满足下列条件：
① 对于任意[0,1]，总有，且；② 若则有
（Ⅰ）求f(0)的值；（Ⅱ）求证：f(x)≤4；
（Ⅲ）当时，试证明：.
解析: （Ⅰ）解：令，由①对于任意[0,1]，总有， ∴
又由②得即 ∴
（Ⅱ）解：任取且设 则
因为，所以，即 ∴.
∴当[0,1]时，.
（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：
（1） 当n=1时，，不等式成立；
（2） 假设当n=k时，
由
得
即当n=k+1时，不等式成立
由（1）、（2）可知，不等式对一切正整数都成立.
于是，当时，，
而[0,1]，单调递增 ∴ 所以，
例50. 已知： 求证：
解析:构造对偶式：令

则＝
又 （









十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指，定义在上的可积函数，则.
例51.求证：.
解析: ，∵，
时，，， ∴，.
利用定积分估计和式的上下界
定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.
例52. 求证：，.
解析: 考虑函数在区间上的定积分.
如图，显然-①
对求和，
.

例53. 已知.求证：.
解析:考虑函数在区间上的定积分.
∵-②
∴.











例54. （2003年全国高考江苏卷）设，如图，已知直线及曲线：，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.
（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）当时，证明.
解析:（过程略）.
证明（II）：由知，∵，∴.
∵当时，，
∴.
证明（Ⅲ）：由知.
∴恰表示阴影部分面积，
显然 ④
∴.
奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：
①；
②；
③；
④.


十二、部分放缩(尾式放缩)
例55.求证:
解析:


例56. 设求证：
解析:
又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，
于是
例57.设数列满足，当时
证明对所有 有；
解析: 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时
，成立。
利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得

注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论


十三、三角不等式的放缩
例58.求证:.
解析:(i)当时,
(ii)当时,构造单位圆,如图所示:
因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积
所以可以得到
当时
所以当时有
(iii)当时, ,由(ii)可知:
所以综上有














十四、使用加强命题法证明不等式
(i)同侧加强
对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.
例59.求证:对一切,都有.
解析:


从而
当然本题还可以使用其他方法,如:

所以.

(ii)异侧加强(数学归纳法)

(iii)双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:
欲证明,只要证明:.
例60.已知数列满足:,求证:
解析: ,从而,所以有
,所以
又,所以,所以有
所以
所以综上有
引申:已知数列满足:,求证: .
解析:由上可知,又,所以
从而
又当时,,所以综上有.

同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列,,,.
记,.求证:当时.
(1); (2); ★(3).
解析:(1),猜想,下面用数学归纳法证明:
(i)当时,,结论成立;
(ii)假设当时,,则时,
从而,所以
所以综上有,故
(2)因为则,,…, ,相加后可以得到: ,所以
,所以
(3)因为,从而,有,所以有
,从而
,所以
,所以

所以综上有.















例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列的首项,,．
(1)证明:对任意的,,;
(2)证明:.
解析:(1)依题,容易得到,要证,,,
即证
即证,设所以即证明
从而,即,这是显然成立的.
所以综上有对任意的,,
(法二)
,原不等式成立．
(2)由(1)知，对任意的，有

．
取，
则．
原不等式成立．














十四、经典题目方法探究
探究1.(2008年福建省高考)已知函数.若在区间上的最小值为,
令.求证:.
证明:首先:可以得到.先证明
(方法一) 所以
(方法二)因为,相乘得:
,从而.
(方法三)设A=,B=,因为A f (0) =1, 因而这时a满足要求.
(ⅱ) 当a>2时, f (x) 在区间 (-,)为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取, 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求.
(ⅲ) 当a≤0时, 对于任意x∈(0, 1) 恒有
≥, 这时a满足要求.
综上可知, 所求 a的取值范围为 a≤2.