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专题训练14：二次函数 中考数学一轮复习知识点课标要求
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这是一份专题训练14：二次函数 中考数学一轮复习知识点课标要求，共22页。试卷主要包含了知识要点，课标要求，常见考点，专题训练等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练14：二次函数（含答案）
一、知识要点：
1、定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
2、二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h
顶点
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。
增
减
性
a>0
x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
a<0
x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
3、二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系：
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根；
(2)抛物线与x轴的交点和一元二次方程的根的关系
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置
一元二次方程ax2+bx+c=0的解
b2-4ac>0
两个公共点
两个不相等的实数根
b2-4ac=0
一个公共点
两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
4、二次函数与实际问题
在研究有关二次函数的实际问题时，要遵循一审、二设、三列、四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变量。根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数关系式；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
二、课标要求：
1、通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
2、会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。
3、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。
4、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
三、常见考点：
1、二次函数的基本概念。
2、结合已知条件确定二次函数的表达式，利用待定系数法求二次函数的解析式。
3、根据二次函数的图象及性质解决相关问题，如不等式、一元二次方程。
4、二次函数图象的平移。
5、二次函数与实际问题，二次函数与综合问题(与几何、函数、方程等的综合)。
四、专题训练：
1．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若S△ABC＝3，则a＝（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
2．关于抛物线y1＝（1+x）2与y2＝（1﹣x）2，下列说法不正确的是（ ）
A．图象y1与y2的开口方向相同
B．y1与y2的图象关于y轴对称
C．图象y2向左平移2个单位可得到y1的图象
D．图象y1绕原点旋转180°可得到y2的图象
3．已知二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根之积为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．0
4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．ac＜0 B．b2﹣4ac＞0 C．4a+2b+c＞0 D．3b＜2c
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0； ④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
6．如图，二次函数y＝﹣x2+﹣1的图象交x轴于A，B两点，图象上的一点C使∠CBA＝135°，则点C的坐标是（ ）
A．（4，﹣1） B．（4，﹣） C．（4.5，﹣） D．（4.5，﹣）
7．已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，则该二次函数的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
8．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是（ ）
A．﹣7＜m＜﹣3 B．3＜m＜6 C．﹣7＜m＜3 D．﹣3＜m＜6
9．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为6m，则水管的长度OA是 m．
10．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移一个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称，则抛物线C3的表达式为 ．
11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（2，﹣2），图象与x轴交于点B（m，0）和点C，且点B在点C的左侧，那么线段BC的长是 .（请用含字母m的代数式表示）
12．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，拱顶离水面2m，水面宽为4m．当水面下降1m后，水面宽为 m．
13．二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝2的解是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是 ．
15．抛物线y＝﹣x2+x+1与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为 ．
16．把抛物线y＝2x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是 ．
17．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则点C的坐标为 ．
18．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，6）和B（8，3），如图所示，则不等式ax2+bx+c＞kx+m的取值范围是 ．
19．经过市场调查发现，某商品的售价为每件70元时，每周可卖出300件．为扩大销售、增加盈利，采取降价措施，每降价2元，每周可多卖出30件．若商品的进价为每件40元，售价为多少时每周利润最大？最大利润是多少？
20．为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花展活动．某公园想用一段长为80米的篱笆，围成一个一边靠围墙的ABCD，墙长36米．
（1）当AB长为多少米时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
（2）当花圃的面积为350平方米时，AB长为多少米？
21．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，AB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是△ABC边上一点，连接OD，将线段OD以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段OE，若点E落在抛物线上，求出此时点E的坐标；
（3）点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，是否存在以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，2），点B（1，6），点C（1，4），如果抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）恰好经过这三个点之中的两个点．
（1）试推断抛物线y＝ax2+bx+3经过点A、B、C之中的哪两个点？简述理由；
（2）求常数a与b的值；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+3先沿与y轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x轴平行的方向向右平移t（t＞0）个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点C（1，4），设这个新抛物线的顶点是D，试探究△ABD的形状．
23．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）若直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．
24．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连结OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q．
（1）求AB的长；
（2）当∠APQ＝∠B时，求点P的坐标；
（3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标．
25．如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标；
（4）若点P在直线AC上，点Q是平面上一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：令y＝0，则ax2﹣4ax+3＝0，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝，
∴AB＝|x1﹣x2|＝＝．
令x＝0，y＝3，
∴OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝××3＝3，
∴a＝1．
故选：D．
2．解：∵抛物线y1＝（1+x）2＝（x+1）2，抛物线y2＝（1﹣x）2＝（x﹣1）2，
∴抛物线y1的开口向上，顶点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝﹣1，抛物线y2的开口向上，顶点为（1，0），对称轴为直线x＝1，故选项A说法正确；
∴y1与y2的顶点关于y轴对称，故选项B说法正确；
∴y1与y2的图象关于y轴对称，y2向左平移2个单位可得到y1的图象，故选项C说法正确；
∵y1绕原点旋转180°得到的抛物线为y＝﹣（x+1）2，与y2开口方向不同，
∴关于抛物线y1＝（2+x）2与y2＝（2﹣x）2的说法，故选项D说法不正确，
故选：D．
3．解：∵二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣＝0，
解得a＝﹣2，
∴二次函数y＝4x2﹣1，
∴当y＝0时，0＝4x2﹣1，解得x1＝﹣，x2＝，
∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根是x1＝﹣，x2＝，
∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根之积是（﹣）×＝﹣，
故选：B．
4．解：A、由抛物线的开口方向向下知a＜0，抛物线与y轴交于正半轴知c＞0，则ac＜0，故本选项结论正确．
B、由抛物线与x轴有两个交点知b2﹣4ac＞0，故本选项结论正确．
C、由抛物线图的轴对称性质知，抛物线与x轴的另一个交点坐标是点（2，0）的右侧，所以当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故本选项结论正确．
D、由抛物线的轴对称性质知，当x＝3时，y＜0，即y＝9a+3b+c＜0，且对称轴是直线x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得3b＞2c，故本选项结论错误；
故选：D．
5．解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；
②将点（﹣，0）代入函数表达式得：a﹣2b+4c＝0，故②正确，符合题意；
③函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，故2a+b＝0，故③错误，不符合题意；
④由②③得：a﹣2b+4c＝0，b＝﹣2a，则c＝﹣，故2c﹣3b＝＞0，故④错误，不符合题意；
⑤当x＝1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m（am+b）+c，故⑤正确，符合题意；
故选：C．
6．解：二次函数y＝﹣x2+﹣1中，令y＝0，则y＝﹣x2+﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠CBA＝135°，
∴∠CBD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝m，
∴C（3+m，﹣m），
∵点C在二次函数y＝﹣x2+﹣1的图象上，
∴﹣m＝﹣（3+m）2+（3+m）﹣1，
解得m1＝1，m2＝0（舍去），
∴C（4，﹣1），
故选：A．
7．解：∵y＝x2﹣4x+m
＝（x﹣2）2+m﹣4，
∴对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，
∵二次函数在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，
当x＝﹣1时，y＝7，
∴7＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m，
解得：m＝2，
∴当x＝2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2﹣4＝﹣2．
故选：A．
8．解：方法一：如右图所示，
当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m一定小于0，
故选：A．
方法二：如右图所示，
将y＝0代入二次函数y＝﹣x2+x+6，可得x1＝3，x2＝﹣2，
当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，
将x＝3，y＝0代入直线y＝x+m，得
0＝3+m，
解得m＝﹣3，
当﹣2＜x＜3时，对应的新函数解析式为y＝x2﹣x﹣6，
则x2﹣x﹣6＝x+m可化为x2﹣2x﹣6﹣m＝0，
当x2﹣2x﹣6﹣m＝0有两个相等的实数根时，
△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣6﹣m）＝4m+28＝0，
解得m＝﹣7，
故当﹣7＜m＜﹣3时，直线y＝x+m与这个新图象有四个交点，
故选：A．
9．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
由题意可知抛物线的顶点坐标为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0），
∴0＝a（6﹣2）2+5，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+5，
当x＝0时，y＝﹣（0﹣2）2+5＝．
∴水管的长度OA是m．
故答案为：．
10．解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线C1的顶点为（1，2），
∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，
∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），
∵抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称，
∴抛物线C3的开口方向相同，顶点为（0，2），
∴抛物线C3的解析式为y＝x2+2．
故答案是：y＝x2+2．
11．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（2，﹣2），
∴抛物线的对称轴是直线x＝2．
∵点B（m，0）和点C关于直线x＝2对称，
∴点C的坐标是（4﹣m，0）．
∴BC＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．
故答案是：4﹣2m．
12．解：由题意得：B（2，﹣2），
设抛物线解析式为y＝ax2，
将B（2，﹣2）代入y＝ax2，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
设D（x，﹣3），
把D（x，﹣3）代入y＝﹣x2得：x＝，
∴水面宽CD为2m，
故答案为：2．
13．解：如图所示，该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，该抛物线与y轴的交点坐标是（0，2）．
所以根据抛物线的对称性质，当y＝2时，x＝﹣2，即A（﹣2，2）．
所以关于x的方程ax2+bx+c＝2的解是：x1＝﹣2，x2＝0．
故答案是：x1＝﹣2，x2＝0．
14．解：∵抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴AB＝2×|﹣3|＝6，
∴点A的坐标为（0，﹣6），
∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝6，
∴点E到AB的距离为3，
∴点E的坐标为（﹣3，﹣9），
∴抛物线为y＝a（x+3）2﹣9，
∵点A（0，﹣6）在该抛物线上，
∴﹣6＝a（0+3）2﹣9，
解得a＝，
故答案为：．
15．解：∵y＝﹣x2+x+1与x轴交于点A、B，
则﹣x2+x+1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3．
交点坐标分别为：（﹣1，0），（3，0）；
∵y＝﹣x2+x+1与y轴交于点C，
∴C点的坐标为y＝1，即（0，1）．
∴△ABC的面积为：×AB×OC＝×4×1＝2．
故答案为：2．
16．解：由“上加下减”的原则可知，二次函数y＝2x2的图象向下平移1个单位得到y＝2x2﹣1，
由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2﹣1的图象向左平移2个单位可得到函数y＝2（x+2）2﹣1，
故答案是：y＝2（x+2）2﹣1．
17．解：由x2﹣2x﹣3＝0得x1＝3，x2＝﹣1，
所以AB距离为4，
要使△ABC的面积为10，C的纵坐标应为5，
把y＝5时代入函数y＝x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3＝5，
解得x1＝4，x2＝﹣2．
故答案为：（4，5）或（﹣2，5）．
18．解：当x＜﹣2或x＞8时，y1＞y2，
所以不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集为x＜﹣2或x＞8．
故答案为x＜﹣2或x＞8．
19．解：设这种商品每件降价x元，商场销售这种商品每周的利润为y元，由题意得：
y＝（70﹣40﹣x）（300+×30）＝﹣15x2+150x+9000＝﹣15（x﹣5）2+9375，
∵a＝﹣15＜0，
∴当x＝5时，y有最大值9375，即售价为70﹣5＝65元时，利润最大．
答：售价为65元时，周利润最大，最大利润是9375元．
20．解：（1）设AB长为x米，花圃面积为y平方米，由题意得：
y＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，
∴对称轴为x＝20，
由题意得：
，
解得22≤x＜40．
∵﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当x＞20时，y随x的增大而减小，
∴当x＝22时，y有最大值，最大值为792．
∴当AB长为22米时所围成的花圃面积最大，最大值是792平方米．
（2）由（1）知y＝﹣2x2+80x
令y＝350得：350＝﹣2x2+80x，
解得：x1＝5，x235，
∵22≤x＜40，
∴x＝35．
∴当花圃的面积为350平方米时，AB长为35米．
21．解：（1）∵点A（﹣4，0），B（1，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣2上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2；
（2）将△ABC以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，
∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2），
∴A′（0，﹣4），B′（0，1），C′（2，0），
如图1，设直线B′C′的解析式为y＝kx+b，
将点B′（0，1），C′（2，0）代入得，解得，
∴直线B′C′的解析式为，
解方程组得或（舍去），
B′C′与抛物线的交点坐标为（﹣2+，）；
A′B′与与抛物线的交点 坐标（0，﹣2），
A′C′与抛物线没有交点，
∴E点坐标为（﹣2+，）或（0，﹣2），
（3）存在．
抛物线的对称轴为直线x＝﹣，A（﹣4，0），C（0，﹣2），
当AC为边时，
如图2，若A点向右平移个单位可得M点，则C点向右平移个单位可得N点，即N点的横坐标为，当x＝时，y＝x2+x﹣2＝，此时N点坐标为（，）；
如图3，若C点向左平移个单位可得M点，则A点向左平移个单位可得N点，即N点的横坐标为﹣，当x＝﹣时，y＝x2+x﹣2＝，此时N点坐标为（﹣，）；
当AC为对角线时，
如图4，若，M点向右平移个单位可得C点，则A点向右平移个单位可得N点，即N点的横坐标为﹣，当x＝﹣时，y＝x2+x﹣2＝﹣，此时N点坐标为（﹣，﹣）．
综上所述，N点坐标为（，）或（﹣，）或（﹣，﹣）．
22．解：（1）抛物线与y轴的交点记作点E，
针对于抛物线y＝ax2+bx+3，
当x＝0时，y＝3，
∴抛物线与y轴的交点E的坐标为（0，3），
∵点B（1，6），点C（1，4），
∴BC∥y轴，
∴抛物线y＝ax2+bx+3经过点B、C两点中其中的一点，
而点A（﹣1，2），E（0，3），C（1，4），
∴点A，E，C从左到右，横坐标依次增加1，纵坐标也依次增加1，
∴点A，E，C再同一条直线上，
∴点C不在物线y＝ax2+bx+3上，
即抛物线y＝ax2+bx+3经过点A、B、C之中的A、B两个点；
（2）将点A（﹣1，2）、B（1，6）代入抛物线y＝ax2+bx+3中，得，
∴，
即a，b的值分别为1，2；
（3）由（2）知，a＝1，b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
由平移得，平移后新抛物线的解析式为y＝（x+1﹣t）2+2﹣2，
即新抛物线的解析式为y＝（x+1﹣t）2，
∵抛物线经过点C（1，4），
∴4＝（1+1﹣t）2，
∴t＝0（舍）或t＝4，
∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2，
∴顶点D（3，0），
∵点A（﹣1，2）、B（1，6），
∴AB＝＝2，AD＝＝2．BD＝＝2，
∴AB＝AD，AB2+AD2＝20+20＝40＝BD2，
∴△ABD是等腰直角三角形．
23．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，
∴，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴此抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1；
（3）联立方程组得：，
解得：（舍去），，
∴D（4，5）．
在直线y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，
∴F（0，1）
在抛物线y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，
∴E（0，﹣3）．
∴EF＝1﹣（﹣3）＝4．
过点D作DM⊥y轴于点M，
∴S△DEF＝EF•DM＝8．
24．解：（1）对于y＝﹣x2+6x+3，令x＝0，则y＝3，故点A（0，3），
令y＝﹣x2+6x+3＝3，解得x＝0或6，故点B（6，3），
故AB＝6；
（2）设P（m，﹣m2+6m+3），
∵∠P＝∠B，∠AHP＝∠OAB＝90°，
∴△ABO～△HPA，故，
∴＝，
解得m＝4．
∴P（4，11）；
（3）当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，
则2（AO+HQ）＝PH，
∴2（3+）＝﹣m2+6m，
解得：m1＝4，m2＝3，
∴P（4，11）或P（3，12）．
25．解：（1）把A（3，0）代入二次函数y＝﹣x2+2x+m得：
﹣9+6+m＝0，
m＝3；
（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x＝﹣1或3，
∴B（﹣1，0）；
（3）∵S△ABD＝S△ABC，
当y＝3时，﹣x2+2x+3＝3，
﹣x2+2x＝0，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或2，
∴只有（2，3）符合题意．
综上所述，点D的坐标为（2，3）；
（4）存在，理由：
①当AB是矩形的边时，此时，对应的矩形为ABP′Q′，
∵AO＝OC＝3，故∠PAB＝45°，
∴矩形ABP′Q′为正方形，
故点Q′的坐标为（3，4）；
②当AB是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，
同理可得，矩形APBQ为正方形，
故点Q的坐标为（1，﹣2），
故点Q的坐标为（3，4）或（1，﹣2）
中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练14：二次函数（含答案）
一、知识要点：
1、定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
2、二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h
顶点
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。
增
减
性
a>0
x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
a<0
x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
3、二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系：
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根；
(2)抛物线与x轴的交点和一元二次方程的根的关系
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置
一元二次方程ax2+bx+c=0的解
b2-4ac>0
两个公共点
两个不相等的实数根
b2-4ac=0
一个公共点
两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
4、二次函数与实际问题
在研究有关二次函数的实际问题时，要遵循一审、二设、三列、四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变量。根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数关系式；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
二、课标要求：
1、通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
2、会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。
3、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。
4、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
三、常见考点：
1、二次函数的基本概念。
2、结合已知条件确定二次函数的表达式，利用待定系数法求二次函数的解析式。
3、根据二次函数的图象及性质解决相关问题，如不等式、一元二次方程。
4、二次函数图象的平移。
5、二次函数与实际问题，二次函数与综合问题(与几何、函数、方程等的综合)。
四、专题训练：
1．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若S△ABC＝3，则a＝（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
2．关于抛物线y1＝（1+x）2与y2＝（1﹣x）2，下列说法不正确的是（ ）
A．图象y1与y2的开口方向相同
B．y1与y2的图象关于y轴对称
C．图象y2向左平移2个单位可得到y1的图象
D．图象y1绕原点旋转180°可得到y2的图象
3．已知二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根之积为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．0
4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．ac＜0 B．b2﹣4ac＞0 C．4a+2b+c＞0 D．3b＜2c
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0； ④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
6．如图，二次函数y＝﹣x2+﹣1的图象交x轴于A，B两点，图象上的一点C使∠CBA＝135°，则点C的坐标是（ ）
A．（4，﹣1） B．（4，﹣） C．（4.5，﹣） D．（4.5，﹣）
7．已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，则该二次函数的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
8．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是（ ）
A．﹣7＜m＜﹣3 B．3＜m＜6 C．﹣7＜m＜3 D．﹣3＜m＜6
9．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为6m，则水管的长度OA是 m．
10．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移一个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称，则抛物线C3的表达式为 ．
11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（2，﹣2），图象与x轴交于点B（m，0）和点C，且点B在点C的左侧，那么线段BC的长是 .（请用含字母m的代数式表示）
12．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，拱顶离水面2m，水面宽为4m．当水面下降1m后，水面宽为 m．
13．二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝2的解是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是 ．
15．抛物线y＝﹣x2+x+1与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为 ．
16．把抛物线y＝2x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是 ．
17．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则点C的坐标为 ．
18．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，6）和B（8，3），如图所示，则不等式ax2+bx+c＞kx+m的取值范围是 ．
19．经过市场调查发现，某商品的售价为每件70元时，每周可卖出300件．为扩大销售、增加盈利，采取降价措施，每降价2元，每周可多卖出30件．若商品的进价为每件40元，售价为多少时每周利润最大？最大利润是多少？
20．为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花展活动．某公园想用一段长为80米的篱笆，围成一个一边靠围墙的ABCD，墙长36米．
（1）当AB长为多少米时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
（2）当花圃的面积为350平方米时，AB长为多少米？
21．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，AB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是△ABC边上一点，连接OD，将线段OD以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段OE，若点E落在抛物线上，求出此时点E的坐标；
（3）点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，是否存在以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，2），点B（1，6），点C（1，4），如果抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）恰好经过这三个点之中的两个点．
（1）试推断抛物线y＝ax2+bx+3经过点A、B、C之中的哪两个点？简述理由；
（2）求常数a与b的值；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+3先沿与y轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x轴平行的方向向右平移t（t＞0）个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点C（1，4），设这个新抛物线的顶点是D，试探究△ABD的形状．
23．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）若直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．
24．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连结OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q．
（1）求AB的长；
（2）当∠APQ＝∠B时，求点P的坐标；
（3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标．
25．如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标；
（4）若点P在直线AC上，点Q是平面上一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：令y＝0，则ax2﹣4ax+3＝0，
∴x1+x2＝4，x1•x2＝，
∴AB＝|x1﹣x2|＝＝．
令x＝0，y＝3，
∴OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝××3＝3，
∴a＝1．
故选：D．
2．解：∵抛物线y1＝（1+x）2＝（x+1）2，抛物线y2＝（1﹣x）2＝（x﹣1）2，
∴抛物线y1的开口向上，顶点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝﹣1，抛物线y2的开口向上，顶点为（1，0），对称轴为直线x＝1，故选项A说法正确；
∴y1与y2的顶点关于y轴对称，故选项B说法正确；
∴y1与y2的图象关于y轴对称，y2向左平移2个单位可得到y1的图象，故选项C说法正确；
∵y1绕原点旋转180°得到的抛物线为y＝﹣（x+1）2，与y2开口方向不同，
∴关于抛物线y1＝（2+x）2与y2＝（2﹣x）2的说法，故选项D说法不正确，
故选：D．
3．解：∵二次函数y＝（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣＝0，
解得a＝﹣2，
∴二次函数y＝4x2﹣1，
∴当y＝0时，0＝4x2﹣1，解得x1＝﹣，x2＝，
∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根是x1＝﹣，x2＝，
∴一元二次方程（2﹣a）x2+（a+2）x﹣1＝0的两根之积是（﹣）×＝﹣，
故选：B．
4．解：A、由抛物线的开口方向向下知a＜0，抛物线与y轴交于正半轴知c＞0，则ac＜0，故本选项结论正确．
B、由抛物线与x轴有两个交点知b2﹣4ac＞0，故本选项结论正确．
C、由抛物线图的轴对称性质知，抛物线与x轴的另一个交点坐标是点（2，0）的右侧，所以当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故本选项结论正确．
D、由抛物线的轴对称性质知，当x＝3时，y＜0，即y＝9a+3b+c＜0，且对称轴是直线x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得3b＞2c，故本选项结论错误；
故选：D．
5．解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；
②将点（﹣，0）代入函数表达式得：a﹣2b+4c＝0，故②正确，符合题意；
③函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，故2a+b＝0，故③错误，不符合题意；
④由②③得：a﹣2b+4c＝0，b＝﹣2a，则c＝﹣，故2c﹣3b＝＞0，故④错误，不符合题意；
⑤当x＝1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m（am+b）+c，故⑤正确，符合题意；
故选：C．
6．解：二次函数y＝﹣x2+﹣1中，令y＝0，则y＝﹣x2+﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠CBA＝135°，
∴∠CBD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝m，
∴C（3+m，﹣m），
∵点C在二次函数y＝﹣x2+﹣1的图象上，
∴﹣m＝﹣（3+m）2+（3+m）﹣1，
解得m1＝1，m2＝0（舍去），
∴C（4，﹣1），
故选：A．
7．解：∵y＝x2﹣4x+m
＝（x﹣2）2+m﹣4，
∴对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，
∵二次函数在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，
当x＝﹣1时，y＝7，
∴7＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m，
解得：m＝2，
∴当x＝2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2﹣4＝﹣2．
故选：A．
8．解：方法一：如右图所示，
当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m一定小于0，
故选：A．
方法二：如右图所示，
将y＝0代入二次函数y＝﹣x2+x+6，可得x1＝3，x2＝﹣2，
当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，
将x＝3，y＝0代入直线y＝x+m，得
0＝3+m，
解得m＝﹣3，
当﹣2＜x＜3时，对应的新函数解析式为y＝x2﹣x﹣6，
则x2﹣x﹣6＝x+m可化为x2﹣2x﹣6﹣m＝0，
当x2﹣2x﹣6﹣m＝0有两个相等的实数根时，
△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣6﹣m）＝4m+28＝0，
解得m＝﹣7，
故当﹣7＜m＜﹣3时，直线y＝x+m与这个新图象有四个交点，
故选：A．
9．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
由题意可知抛物线的顶点坐标为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0），
∴0＝a（6﹣2）2+5，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+5，
当x＝0时，y＝﹣（0﹣2）2+5＝．
∴水管的长度OA是m．
故答案为：．
10．解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线C1的顶点为（1，2），
∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，
∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），
∵抛物线C2与抛物线C3关于y轴对称，
∴抛物线C3的开口方向相同，顶点为（0，2），
∴抛物线C3的解析式为y＝x2+2．
故答案是：y＝x2+2．
11．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（2，﹣2），
∴抛物线的对称轴是直线x＝2．
∵点B（m，0）和点C关于直线x＝2对称，
∴点C的坐标是（4﹣m，0）．
∴BC＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．
故答案是：4﹣2m．
12．解：由题意得：B（2，﹣2），
设抛物线解析式为y＝ax2，
将B（2，﹣2）代入y＝ax2，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
设D（x，﹣3），
把D（x，﹣3）代入y＝﹣x2得：x＝，
∴水面宽CD为2m，
故答案为：2．
13．解：如图所示，该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，该抛物线与y轴的交点坐标是（0，2）．
所以根据抛物线的对称性质，当y＝2时，x＝﹣2，即A（﹣2，2）．
所以关于x的方程ax2+bx+c＝2的解是：x1＝﹣2，x2＝0．
故答案是：x1＝﹣2，x2＝0．
14．解：∵抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴AB＝2×|﹣3|＝6，
∴点A的坐标为（0，﹣6），
∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝6，
∴点E到AB的距离为3，
∴点E的坐标为（﹣3，﹣9），
∴抛物线为y＝a（x+3）2﹣9，
∵点A（0，﹣6）在该抛物线上，
∴﹣6＝a（0+3）2﹣9，
解得a＝，
故答案为：．
15．解：∵y＝﹣x2+x+1与x轴交于点A、B，
则﹣x2+x+1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3．
交点坐标分别为：（﹣1，0），（3，0）；
∵y＝﹣x2+x+1与y轴交于点C，
∴C点的坐标为y＝1，即（0，1）．
∴△ABC的面积为：×AB×OC＝×4×1＝2．
故答案为：2．
16．解：由“上加下减”的原则可知，二次函数y＝2x2的图象向下平移1个单位得到y＝2x2﹣1，
由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2﹣1的图象向左平移2个单位可得到函数y＝2（x+2）2﹣1，
故答案是：y＝2（x+2）2﹣1．
17．解：由x2﹣2x﹣3＝0得x1＝3，x2＝﹣1，
所以AB距离为4，
要使△ABC的面积为10，C的纵坐标应为5，
把y＝5时代入函数y＝x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3＝5，
解得x1＝4，x2＝﹣2．
故答案为：（4，5）或（﹣2，5）．
18．解：当x＜﹣2或x＞8时，y1＞y2，
所以不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集为x＜﹣2或x＞8．
故答案为x＜﹣2或x＞8．
19．解：设这种商品每件降价x元，商场销售这种商品每周的利润为y元，由题意得：
y＝（70﹣40﹣x）（300+×30）＝﹣15x2+150x+9000＝﹣15（x﹣5）2+9375，
∵a＝﹣15＜0，
∴当x＝5时，y有最大值9375，即售价为70﹣5＝65元时，利润最大．
答：售价为65元时，周利润最大，最大利润是9375元．
20．解：（1）设AB长为x米，花圃面积为y平方米，由题意得：
y＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，
∴对称轴为x＝20，
由题意得：
，
解得22≤x＜40．
∵﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当x＞20时，y随x的增大而减小，
∴当x＝22时，y有最大值，最大值为792．
∴当AB长为22米时所围成的花圃面积最大，最大值是792平方米．
（2）由（1）知y＝﹣2x2+80x
令y＝350得：350＝﹣2x2+80x，
解得：x1＝5，x235，
∵22≤x＜40，
∴x＝35．
∴当花圃的面积为350平方米时，AB长为35米．
21．解：（1）∵点A（﹣4，0），B（1，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣2上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2；
（2）将△ABC以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，
∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2），
∴A′（0，﹣4），B′（0，1），C′（2，0），
如图1，设直线B′C′的解析式为y＝kx+b，
将点B′（0，1），C′（2，0）代入得，解得，
∴直线B′C′的解析式为，
解方程组得或（舍去），
B′C′与抛物线的交点坐标为（﹣2+，）；
A′B′与与抛物线的交点 坐标（0，﹣2），
A′C′与抛物线没有交点，
∴E点坐标为（﹣2+，）或（0，﹣2），
（3）存在．
抛物线的对称轴为直线x＝﹣，A（﹣4，0），C（0，﹣2），
当AC为边时，
如图2，若A点向右平移个单位可得M点，则C点向右平移个单位可得N点，即N点的横坐标为，当x＝时，y＝x2+x﹣2＝，此时N点坐标为（，）；
如图3，若C点向左平移个单位可得M点，则A点向左平移个单位可得N点，即N点的横坐标为﹣，当x＝﹣时，y＝x2+x﹣2＝，此时N点坐标为（﹣，）；
当AC为对角线时，
如图4，若，M点向右平移个单位可得C点，则A点向右平移个单位可得N点，即N点的横坐标为﹣，当x＝﹣时，y＝x2+x﹣2＝﹣，此时N点坐标为（﹣，﹣）．
综上所述，N点坐标为（，）或（﹣，）或（﹣，﹣）．
22．解：（1）抛物线与y轴的交点记作点E，
针对于抛物线y＝ax2+bx+3，
当x＝0时，y＝3，
∴抛物线与y轴的交点E的坐标为（0，3），
∵点B（1，6），点C（1，4），
∴BC∥y轴，
∴抛物线y＝ax2+bx+3经过点B、C两点中其中的一点，
而点A（﹣1，2），E（0，3），C（1，4），
∴点A，E，C从左到右，横坐标依次增加1，纵坐标也依次增加1，
∴点A，E，C再同一条直线上，
∴点C不在物线y＝ax2+bx+3上，
即抛物线y＝ax2+bx+3经过点A、B、C之中的A、B两个点；
（2）将点A（﹣1，2）、B（1，6）代入抛物线y＝ax2+bx+3中，得，
∴，
即a，b的值分别为1，2；
（3）由（2）知，a＝1，b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
由平移得，平移后新抛物线的解析式为y＝（x+1﹣t）2+2﹣2，
即新抛物线的解析式为y＝（x+1﹣t）2，
∵抛物线经过点C（1，4），
∴4＝（1+1﹣t）2，
∴t＝0（舍）或t＝4，
∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2，
∴顶点D（3，0），
∵点A（﹣1，2）、B（1，6），
∴AB＝＝2，AD＝＝2．BD＝＝2，
∴AB＝AD，AB2+AD2＝20+20＝40＝BD2，
∴△ABD是等腰直角三角形．
23．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，
∴，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴此抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1；
（3）联立方程组得：，
解得：（舍去），，
∴D（4，5）．
在直线y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，
∴F（0，1）
在抛物线y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，
∴E（0，﹣3）．
∴EF＝1﹣（﹣3）＝4．
过点D作DM⊥y轴于点M，
∴S△DEF＝EF•DM＝8．
24．解：（1）对于y＝﹣x2+6x+3，令x＝0，则y＝3，故点A（0，3），
令y＝﹣x2+6x+3＝3，解得x＝0或6，故点B（6，3），
故AB＝6；
（2）设P（m，﹣m2+6m+3），
∵∠P＝∠B，∠AHP＝∠OAB＝90°，
∴△ABO～△HPA，故，
∴＝，
解得m＝4．
∴P（4，11）；
（3）当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，
则2（AO+HQ）＝PH，
∴2（3+）＝﹣m2+6m，
解得：m1＝4，m2＝3，
∴P（4，11）或P（3，12）．
25．解：（1）把A（3，0）代入二次函数y＝﹣x2+2x+m得：
﹣9+6+m＝0，
m＝3；
（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x＝﹣1或3，
∴B（﹣1，0）；
（3）∵S△ABD＝S△ABC，
当y＝3时，﹣x2+2x+3＝3，
﹣x2+2x＝0，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或2，
∴只有（2，3）符合题意．
综上所述，点D的坐标为（2，3）；
（4）存在，理由：
①当AB是矩形的边时，此时，对应的矩形为ABP′Q′，
∵AO＝OC＝3，故∠PAB＝45°，
∴矩形ABP′Q′为正方形，
故点Q′的坐标为（3，4）；
②当AB是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，
同理可得，矩形APBQ为正方形，
故点Q的坐标为（1，﹣2），
故点Q的坐标为（3，4）或（1，﹣2）
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