第7章 锐角三角函数【单元检测】——2022-2023学年苏科版数学九年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）

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（时间：120分钟，满分：130分）
一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（2022•宝塔期中）在中，，，．下列四个选项中正确的是
A．B．C．D．
【解析】解：在直角中：．
、，选项错误；
、，选项正确；
、，选项错误；
、，选项错误．
故本题选：．
2．已知，则锐角的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：，，余弦函数随角增大而减小，
．
故本题选：．
3．（2022•兴化期末）在中，，，则的值为
A．B．C．D．2
【解析】解：如图，
，
，
设，则，
，
．
故本题选：．
4．（2022•宣州一模）下列计算错误的个数是
①；
②；
③；
④．
A．1B．2C．3D．4
【解析】解：，而，因此①是错误的；
，因此②是正确的；
，因此③是错误的；
，，因此④是错误的；
综上，错误的有①③④，共3个．
故本题选：．
5．（2021•潍坊期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在高的天桥两端分别修建了长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：．
故本题选：．
6．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是
A．B．C．D．
【解析】解：如图，取格点，连接，，
观察图象可知，，，共线，，
，，
．
故本题选：．
7．（2022•广陵期末）如图，边长为1的小正方形网格中，点、、、在格点上，连接、，点在上且满足，则的正切值是
A．B．7C．D．
【解析】解：如图，连接，
，是中点，
，
，
点、、、在以为圆心，1为半径的同一个圆上，
，
．
故本题选：．
8．（2022•历下期末）某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”．小聪所在小组想测量古塔的高度，经研究得出一个测量方案如下：在点用距离地面高度为米的测角器测出古塔顶端的仰角为，然后沿方向前进米到达点，用同样的测角器测出古塔顶端的仰角为，小聪小组计算出的古塔高度约为 米．
A．B．
C．D．
【解析】解：观察图象可知，四边形是矩形，
，
设，
在中，，
，
在中，，
，
，即，
，
答：古塔的高度为．
故本题选：．
9．（2022•仪征二模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为3，宽为1的矩形，则
A．2B．C．3D．
【解析】解：如图，过作于，延长交于，
依题意可知，，，，
在中，，
在中，，
，
，
，
．
故本题选：．
10．（2022•姑苏月考）已知：如图，点是直线外一点，点到直线的距离是4，点、点是直线上的两个动点，且，则线段的长的最小值为
A．B．C．3D．4
【解析】解：如图，过点作直线直线，则直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，，交直线于点，连接，过点作于，过点作于，
在中，，
的值最小时，的值最小，
，
当，，共线时，的值最小，此时的值最小，
直线垂直平分线段，
，
，
，，
，
，
，
，
可以假设，，
，
，
，
，
，解得：，
的最小值．
故本题选：．
二．填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）
11．（2021·怀宁期末）在中，，，则 ．
【解析】解：在中，，
，
．
故本题答案为：．
12．（2022·江阴月考）若，则锐角 ．
【解析】解：，
，解得：．
故本题答案为：70．
13．比较大小： （填“”、“ ”或“” ．
【解析】解：，，
，
．
故本题答案为．
14．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为，宽为，为方便残疾人士，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为点，斜坡的起点为点，准备设计斜坡的坡度，则的长度是 ．
【解析】解：如图，作，
则，
斜坡的坡度，
，
．
故本题答案为：270．
15．（2022·嘉裕期末）在中，，则的形状是 ．
【解析】解：由题意得：，，
解得：，，
，．
，
是等边三角形．
故本题答案为：等边三角形．
16．在中，，，，则的长为 ．
【解析】解：如图，过作（或的延长线）于点，
（1）如图①，中，，，
，，
在中，，，
由勾股定理，得：，
；
（2）如图②，同（1）可求得：，．
则；
综上，．
17．如图，是的中线，，，，求线段的长 ．
【解析】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
在中，，，
，，
，
又是的中线，
，
，
，，
在中，，
由，可得：，
在中，，
，
在中，，
．
故本题答案为：．
18．（2022•虎丘模拟）如图，在四边形中，与相交于点，，，，则 ．
【解析】解：如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
，
设，
由，得：，
，，，
，
．
故本题答案为：．
三．解答题（本题共10小题，共76分。）
19．（2021·岱岳月考）（6分）计算：
（1）；
（2）．
【解析】解：（1）原式
；
（2），，
原式．
20．（2022·清江月考）（6分）求下列等式中的锐角
（1）；
（2）．
【解析】解：（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
．
21．（2022·姑苏期中）（6分）根据下列条件解直角三角形：
（1）在中，，，；
（2）在中，，，．
【解析】解：（1），，
，
，
，
，，；
（2）在中，，，，
，
，
，
，
，，．
22．（8分）如图，在中，，，，的平分线交边于点，延长至点，且，连接．
（1）求线段的长；
（2）求的面积．
【解析】解：（1）如图，过点作，垂足为点，
平分，，
，
则，
，，，
，
，
，
，即；
（2），
，
，
．
23．（2021•鄞州期末）（8分）如图，是的外接圆，点在延长线上，且满足．
（1）求证：是的切线；
（2）若是的平分线，，，求的半径．
【解析】（1）证明：如图，连接，与相交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是的平分线，
，
，
，
，，
在中，
，
，
，
，
设的半径为，则，
在中，
，
，
解得：．
24．（2022•高新期中）（8分）如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏与底板所在水平线的夹角，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架后，电脑转到位置，侧面示意图如图4．已知，于点，，．
（1）求的长；
（2）垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？
【解析】解：（1），
设，，
，
，
，
，解得：，
，，
，
答：的长为；
（2）如图，过点作于点，
，
，
，
，
，
显示屏的顶部比原来升高了．
25．（2021•姜堰月考）（8分）如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔．游轮以海里时的速度向正东方向航行2小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上．
（1）求点到线段的距离；
（2）求处与灯塔相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：，
【解析】解：（1）如图，过点作，垂足为，
由题意可得，，，
在中，，
是等腰直角三角形，
由题意得，，
，
即点到线段的距离为40海里；
（2），
，
，
，
，
，
，
（海里），
答：处与灯塔相距109海里．
26．（2023·青岛一模）（8分）如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为，垂直高度都为．测得在点的仰角，测得在点的仰角．求银幕的高度．（参考数据：，，，，，
【解析】解：如图，延长、交于、，
由题意知，，
在中，，
，即，
在中，，
，即，
，，
，
，
，
，解得：，
，
答：银幕的高度约为．
27．（2022•海陵月考）（8分）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？
（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．
（参考数据：，，
【解析】解：（1）如图，连接，
由题意知，筒车每秒旋转，
在中，，
，
盛水筒首次到达最高点的时间：（秒；
（2）如图，
盛水筒浮出水面3.4秒后，，
，
过点作于，
在中，（米，
盛水筒距离水面距离为：（米；
（3）如图，
点在上，且与相切，
当点在上时，此时点是切点，连接，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
（秒，
至少经过7.6秒恰好在直线上．
28．（10分）已知：，，以为一边作正方形，使、两点落在直线的两侧．
（1）如图，当时，求及的长；
（2）当变化，且其它条件不变时，求的最大值，及相应的大小．
【解析】解：（1）①如图，作于点，
中，，，
，
，，
在中，，
；
②解法一：如图，因为四边形为正方形，可将绕点顺时针旋转得到△，
可得：△，，．
，，
，
；
解法二：如图，过点作的平行线，与的延长线交于，与的延长线交于，
在中，可得：，，，
在中，可得：，，
在中，可得：；
（2）如图，将绕点顺时针旋转得到△，的最大值即为的最大值，
△中，，，，
且、两点落在直线的两侧，
如图，当、、三点共线时，取得最大值，
此时，即的最大值为6，则的最大值为6，
此时度．