第十一章 反比例函数 【培优卷】——2022-2023学年苏科版数学八年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）

第十一章 反比例函数（提优）

一．选择题（共8小题）

1．若A（﹣3，y1），B（1，y2）两点在函数y的图象上，则（　　）

A．y1＝y2 B．y1＝﹣y2 C．y1＞y2 D．y1＜y2

【分析】把点A、B的横坐标代入函数解析式求出各纵坐标后再比较大小．

【解答】解：∵y，

∴当x＝﹣3时，y1＝﹣1；

当x＝1时，y2＝3；

∴y1＜y2．

故选：D．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，可以利用函数的增减性来判断，也可以代入后比较．

2．若点（﹣5，y1），（﹣3，y2），（3，y3）都在反比例函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）

A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2

【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．

【解答】解：∵反比例函数y中k＜0，

∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．

∵﹣3＜﹣1＜0，

∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第二象限，

∴0＜y1＜y2，

∵3＞0，

∴点C（3，y3）位于第四象限，

∴y3＜0，

∴y2＞y1＞y3．

故选：B．

【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．

3．在反比例函数y的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）．若x1＞x2＞0时，y1＜y2，则k取值范围是（　　）

A．k≥2 B．k＞2 C．k≤2 D．k＜2

【分析】根据题意可得在图象的每一支上y随x的增大而减小，因此k﹣2＞0，即可解得k＞2．

【解答】解：∵在反比例函数y的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）．若x1＞x2＞0时，y1＜y2，

∴k﹣2＞0，

∴k＞2，

故选：B．

【点评】此题主要噢反比例函数图象上点的坐标特点，以及反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数y（k≠0）的性质，当k＞0时，在图象的每一支上y随x的增大而减小．

4．如图，在平直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（8，0），（0，6），动点D在边BC上，且不与点B重合，连结AD，把△ABD沿AD翻折得到△AED，点E落在双曲线y上，当CE长度最小时，k的值为（　　）

A． B． C． D．10

【分析】根据三角形三边关系可得当点A，E，C三点共线时，CE最小．过点E作EM⊥OA于点M，由平行线分线段成比例可得AM和FM的长，进而可得点E的坐标，由点E在双曲线y上，可得k的值．

【解答】解：由折叠可知，AE＝AB，∠AED＝∠B＝90°，

∴CE≥AC﹣AE＝2，

∴当且仅当点A，E，C三点共线时，CE最小．

∵OA＝8，OC＝6，

∴AC＝10．

如图，过点E作EM⊥OA于点M，

∴EM：OC＝AE：AC＝AM：OA＝3：5，

解得EM，AM，

∴OM．

∴E（，），

∵点E在双曲线y上，

∴k．

故选：B．

【点评】本题考查折叠的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征以及平行线段分线段成比例，求出点E的坐标是解题关键．

5．函数y3的图象可以由y的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到．根据所获信息判断，下列直线中与函数y2的图象没有公共点的是（　　）

A．经过点（0，2）且平行于x轴的直线 

B．经过点（0，﹣3）且平行于x轴的直线 

C．经过点（﹣1，0）且平行于y轴的直线 

D．经过点（1，0）且平行于y轴的直线

【分析】根据题意可以知道平移后的反比例函数不会与直线x＝1、直线y＝﹣2相交，判断出答案即可．

【解答】解：根据题意可知，如下图所示，图1根据题意平移后得到图2，

函数y2的图象是函数y的图象向右平移1个单位，在向下平移2个单位得到的，

∴由反比例函数的图象的性质和平移的定义可知，函数y的图象与直线x＝1、直线y＝﹣2不会相交．

故选：D．

【点评】考查了平移的定义和反比例函数、一次函数的图象的性质，关键要掌握平移的定义、一次函数和反比例函数图象性质．

6．如图，点A是函数图象上的任意一点，点B、C在反比例函数的图象上．若AB∥x轴，AC∥y轴，阴影部分的面积为4，则k的值是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

【分析】由反比例函数系数k的几何意义可得S阴影部分＝S矩形ABMN＝4，利用反比例函数图象上点的坐标特征，设点A的横坐标为a，用代数式表示MN、AM，列方程求解即可．

【解答】解：如图，延长CA交x轴于点N，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，

∵S阴影部分＝S△CON+S矩形ABMN﹣S△BOM，而S△CON＝S△BOM|k|，

∴S阴影部分＝S矩形ABMN＝4，

设ON＝a，

∵点A在反比例函数y的图象上，

∴ANBM，

又∵点B在反比例函数y的图象上，

∴OM，

∴MNa，

由S阴影部分＝S矩形ABMN＝4得，

（a）4，

即k﹣2＝4，

∴k＝6，

故选：D．

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．

7．如图，平行四边形ABCO的边OC在x轴上，若过点A的反比例函数y（k≠0，x＜0）的图象还经过BC边上的中点D，且S△ABD＝6，则k＝（　　）

A．16 B．﹣24 C．﹣16 D．﹣12

【分析】过点A、D分别作AM⊥OC于点M，DN⊥OC于点N，根据四边形ABCO是平行四边形，且D是CB的中点，可得S△ACO＝12，根据反比例函数k的几何意义，可得S四边形DNMA＝12，由D是BC的中点，可得出AM＝2DN，设出点D、A的坐标，列方程求解即可．

【解答】解：过点A、D分别作AM⊥OC于点M，DN⊥OC于点N，

如图所示：

∵D是BC的中点，

∴S△ACD＝S△ABD＝6，

∴S△ABC＝12，

∵四边形ABCO是平行四边形，

∴S△ACO＝12，

∵，

∴S四边形DNMA＝S△ADO，

∵BC∥AO，

∴S△ADO＝S△ACO，

∴S四边形DNMA＝12，

∵D是BC的中点，

∴DNAM，

设A（m，），则D（2m，），

∴12，

解得k＝﹣16．

故选：C．

【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，涉及平行四边形的性质，灵活运用反比例函数k的几何意义是解决本题的关键．

8．如图，直线l1与反比例函数y（x＞0）的图象相交于A、B两点，线段AB的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．直线l2过原点O和点C．若直线l2上存在点P（m，n），满足∠APB＝∠ADB，则m+n的值可为（　　）

A．3 B．3或 C．5或3 D．3

【分析】如图，作△ABD的外接圆⊙J，交直线l2于P，连接AP，PB，则∠APB＝∠ADB满足条件．想办法求出点P的坐标，可得结论．

【解答】解：如图，作△ABD的外接圆⊙J，交直线l2于P，连接AP，PB，则∠APB＝∠ADB满足条件．

由题意A（1，3），B（3，1），

∵AC＝BC，

∴C（2，2），

∵CD⊥x轴，

∴D（2，0），

∵AD，AB2，BD，

∴AD2＝AB2+BD2，

∴△ABD是直角三角形，

∴BD⊥AB，

∵JC⊥AB，

∴JC∥BD，

∵AC＝CB，

∴AJ＝JD，

∴J是AD的中点，J（，），

∵直线OC的解析式为y＝x，

∴P（m，n），

∵PJ＝JA，OJ，

∴OP，

∴m，

∴m＝n，

∴m+n＝3，此时P（，），

根据对称性可知，点P关于点C的对称点P′（，），

∴m+n＝5，

综上所述，m+n的值为5或3，

故选：C．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，三角形的外接圆，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题

二．填空题（共10小题）

9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y图象上，BC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，连结AO，AB，若OD＝3BC＝3，AO＝AB，则k的值为 　            　．

【分析】作AM⊥x轴于M，BN⊥AM于N，即可求得OM＝AD，AM＝OD，MN＝BC，BN＝CM，由OD＝3BC＝3，得到OD＝AM＝3，BC＝MN＝1，进而AN＝2，然后利用勾股定理得到OM2+AM2＝AN2+BN2，即（）2+32＝22+（k）2，解得k（负数舍去）．

【解答】解：作AM⊥x轴于M，BN⊥AM于N，

∴AM∥y轴，

∵BC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，

∴OM＝AD，AM＝OD，MN＝BC，BN＝CM，

∵OD＝3BC＝3，

∴OD＝3，BC＝1，

∴AM＝3，MN＝1，

∴AN＝2，

∵点A，B在反比例函数y图象上，

∴A（，3），B（k，1），

∴BN＝CM＝kk，

∵AO＝AB，

∴OM2+AM2＝AN2+BN2，

∴（）2+32＝22+（k）2，

解得k（负数舍去），

故答案为：．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，根据题意表示出线段的长度是解题的关键．

10．已知反比例函数（m是常数）的图象在一、三象限，则m的取值范围为　m　．

【分析】先根据反比例函数的性质得出3﹣2m＞0，再解不等式即可得出结果．

【解答】解：∵（k为常数）的图象在第一、三象限，

∴3﹣2m＞0，

解得m．

故答案为：m．

【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．

11．如图，四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，若反比例函数y（x＜0）的图象与边BC交于点D，与对角线OB交于中点E．若△OBD的面积为9，则k＝　﹣6　．

【分析】设E点的坐标是（x，y），根据E是OB的中点，得到B点的坐标，求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出k．

【解答】解：设E点的坐标是（x，y），

∵E是OB的中点，

∴B点的坐标是（2x，2y），

则D点的坐标是（，2y），

∵△OBD的面积为9，

∴（2x）×2y＝9，

解得，k＝﹣6，

故答案为：﹣6．

【点评】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．

12．如图，点A的坐标为（6，0），△ABO是等腰三角形，OB＝AB＝5，点B在第一象限，若反比例函数y的图象经过点B，则k的值是 　12　．

【分析】首先过点B作BC垂直OA于C，根据AO＝2，△ABO是等腰三角形，得出B点坐标，进而求出反比例函数解析式．

【解答】解：过点B作BC垂直OA于C，

∵点A的坐标是（6，0），

∴AO＝6，

∵△ABO是等腰三角形，OB＝AB＝5，

∴OC＝3，BC＝4，

∴点B的坐标是（3，4），

把（3，4）代入y，得k＝12．

故答案为：12．

【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点、等腰三角形的性质等知识，根据已知表示出B点坐标是解题关键．

13．已知反比例函数的图象经过点A（4，1），当y＜1时，x的取值范围是 　x＜0或x＞4　．

【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，画出函数的图象，再根据图象得出结论．

【解答】解：∵反比例函数y的图象经过点A（4，1），

∴k＝4×1＝4，

∴反比例函数的解析式为y，图象如图所示．

由图可知，当y＜1时，x＜0或x＞4．

故答案为：x＜0或x＞4．

【点评】本题考查的是利用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键．

14．如图，A、B分别是反比例函数，，图象上的点，且AB∥x轴，C是x轴上的点，连接AC，BC．若△ABC的面积是3，则k的值是 　﹣2　．

【分析】设点A的坐标，根据平行点A、B的纵坐标相同得到点B的纵坐标，再代入y2的解析式求出点B的横坐标，然后求出AB的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：∵点B在y上，

设B（a，），

∵点A在y1（x＜0）上，AB∥x轴，

∴yB＝yA；

则xA，

∴AB＝xB﹣xA＝a，

∴S△ABCAB×yA

（a）3，

∴k＝﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，用点A的纵坐标表示出AB的长度是解题的关键．

15．如图，定义：若双曲线（k＞0）与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线（k＞0）的对径．若双曲线（k＞0）的对径是6，则k＝　　．

【分析】根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为6，即AB＝6，OA＝3，根据等腰直角三角形的性质得到点A坐标为（，），把A的坐标代入双曲线（k＞0）即可得到k的值．

【解答】解：∵双曲线的对径为6，即AB＝6，OA＝3，

∴OC＝ACOA，

∴点A坐标为（，），

把A（，）代入双曲线（k＞0）得k，

即k的值为，

故答案为：．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，求得交点坐标是解题的关键．

16．在平面直角坐标系中，函数y（x＞0）与y＝﹣x+4的图象交于点P（a，b），则代数式的值是 　6　．

【分析】式子变形，，函数y（x＞0）与y＝﹣x+4的图象交于点P（a，b），可得b，b＝﹣a+4，即ab＝2，a+b＝4，进而求出的值．

【解答】解：∵函数y（x＞0）与y＝﹣x+4的图象交于点P（a，b），

∴b，b＝﹣a+4，

∴ab＝2，a+b＝4，

8﹣2＝6，

∴6．

故答案为：6．

【点评】本题考查了学生对式子变形的熟练程度，要求学生能根据题意，找出合适的关系式进行合适的运算，本题综合性比较强，难度比较大．

17．若以方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为 　﹣2　．

【分析】根据反比例函数的性质和一元二次方程根与系数的关系求出k的值．

【解答】解：设方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，

根据题意得：x1x2＝11，

由一元二次方程根与系数的关系得x1x2＝k2﹣4k﹣1，

∴k2﹣4k﹣1＝11，

解得k＝﹣2或k＝6，

∵当k＝6时，原方程没有实数根，

∴k＝﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查了反比例函数和性质，一元二次方程根与系数的关系，关键是反比例函数的性质的应用．

18．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y（k1＞0）与直线y＝k2x（k2≠0）交于A、B两点，点H是双曲线第一象限上的动点（在点A左侧），直线AH、BH分别与y轴交于P、Q两点，若HA＝a•HP，HB＝b•HQ，则a﹣b的值为　﹣2　．

【分析】作HC⊥y轴，AD⊥y轴，BE⊥y轴分别于点C、D、E，则CH∥AD∥BE，OD＝OE，根据平行线分线段成比例定理即可求解．

【解答】解：作HC⊥y轴，AD⊥y轴，BE⊥y轴分别于点C、D、E，则CH∥AD∥BE．

∵反比例函数是中心对称图形，

∴AD＝BE．

∵CH∥AD∥BE，HA＝a•HP，HB＝b•HQ，

∴，，

即a+1，b﹣1，

∴a+1＝b﹣1，

∴a﹣b＝﹣2．

故答案是：﹣2．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和一次函数与反比例函数的应用，关键是根据平行线分线段成比例定理得出比例式，题目比较好，但有一定的难度．

三．解答题（共12小题）

19．如图，在平面直角坐标系中，B、C为反比例函数y（x＞0）图象上两点，延长CB与x轴相交于点A，且点B为AC中点．

（1）若B（2，1），求点A的坐标；

（2）若△OAB的面积等于6，求k的值．

【分析】（1）作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，则BE∥CD，根据三角形中位线的性质对称AE＝DE，CD＝2BE＝2，由点B的坐标求得k＝2，即可得到C点的横坐标为1，即可求得OD＝DE＝AE＝1，从而得到A（3，0）；

（2）设B（，n），则C（，2n），求得OA，然后利用三角形面积公式得到n＝6，解得k＝8．

【解答】解：（1）作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，则BE∥CD，

∵点B为AC中点，

∴AE＝DE，

∴CD＝2BE，

∵B为反比例函数y（x＞0）图象上的点，B（2，1），

∴k＝2×1＝2，

∴y，

∵点B为AC中点．

∴点C的纵坐标为2，

∴C（1，2），

∴OD＝DE＝AE＝1，

∴A（3，0）；

（2）设B（，n），则C（，2n），

∴AE＝DE，

∴OA，

∵△OAB的面积等于6，

∴OA•BE＝6，即n＝6，

∴k＝8．

故k的值是8．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点C的坐标是解题的关键．

20．如图，反比例函数与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接AC，BC．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）求△ABC的面积；

【分析】（1）把点A（﹣1，2）代入y（k≠0）可得k的值，求得反比例函数的解析式；

（2）根据对称性求得B、C的坐标然后利用三角形面积公式可求解．

【解答】解：（1）把点A（﹣1，2）代入y（k≠0）得：2，

∴k＝﹣2，

∴反比例函数的解析式为y；

（2）∵反比例函数y（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，

∴B（1，﹣2），

∵点C是点A关于y轴的对称点，

∴C（1，2），

∴AC＝2，

∴S△ABC4．

【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键．

21．如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，点 A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B（a，b）在第一象限，四边形OABC是矩形，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，且BE＝2CE．

（1）求证：BD＝2AD；

（2）若四边形ODBE的面积是6，求k的值．

【分析】（1）应从BE＝2CE入手，得到反比例函数上点E的坐标，进而得到反比例函数上另一点D的坐标，和B的纵坐标比较即可求解；

（2）把所给的四边形面积分割为长方形面积减去两个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．

【解答】（1）证明：∵BE＝2CE，B（a，b），

∴E的坐标为（a，b），

又∵E在反比例函数y的图象上，

∴kab，

∵D的横坐标为a，D在反比例函数y的图象上，

∴D的纵坐标为b，

∴BD＝2AD；

（2）解：∵S四边形ODBE＝6，

∴S矩形ABCO﹣S△OCE﹣S△OAD＝6，

即ababab＝6，

∴ab＝9，

∴kab＝3．

【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．

22．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝8，BC＝5．

（1）若OA＝8，求k的值：

（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出AE，BE的长，再利用勾股定理得出OA的长，得出C点坐标即可得出答案；

（2）首先表示出D，C点坐标，进而利用反比例函数图象上的性质求出C点坐标，然后利用勾股定理即可求得OC的长．

【解答】解：（1）作CE⊥AB，垂足为E，

∵AC＝BC，AB＝8，

∴AE＝BE＝4．

在Rt△BCE中，BC＝5，BE＝4，

∴CE3，

∵OA＝8，

∴C点的坐标为：（5，4），

∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点C，

∴k＝5×4＝20，

（2）设A点的坐标为（m，0），

∵BD＝BC＝5，AB＝8，

∴AD＝3，

∴D，C两点的坐标分别为：（m，3），（m﹣3，4）．

∵点C，D都在反比例函数y（x＞0）的图象上，

∴3m＝4（m﹣3），

∴m＝12，

∴C点的坐标为：（9，4），

∴OC．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上的性质，正确得出方程是解题关键．

23．如图，正比例函数y1＝2x的图象与反比例函数的图象有一个交点为P（m，3）．

（1）求反比例函数函数表达式；

（2）根据图象，直接写出当﹣2＜x＜﹣1时，反比例函数y2的取值范围；

（3）根据图象，直接写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．

【分析】（1）将点P（m，3）代入y1＝2x可求出m的值，进而确定点P的坐标，将点P的坐标代入反比例函数关系式，求出k的值即可；

（2）根据x的取值范围通过计算得出y的取值范围；

（3）根据两个函数的图象的交点坐标即可得出答案．

【解答】解：（1）将点P（m，3）代入y1＝2x，得

3＝2m，

∴，

∴，

∴，

∴反比例函数表达式为；

（2）当x＝﹣2时，y2，当x＝﹣1时，y2，

因此当﹣2＜x＜﹣1时，y2的取值范围是，

答：反比例函数y2的取值范围是；

（3）根据两个函数的图象及其交点坐标可得，

当y1＞y2时，自变量x的取值范围为或，

答：当y1＞y2时，自变量x的取值范围或．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，理解反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．

24．如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．

（1）求k与m的值；

（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．

【分析】（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；

（2）根据S△CAP＝S△ABP+S△CBP，构建方程求解即可．

【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，得k，

∴yx+2，

把A（2，n）代入yx+2，得n＝3，

∴A（2，3），

把A（2，3）代入y，得m＝6，

∴k，m＝6；

（2）当x＝0时，y＝2，

∴B（0，2），

∵P（a，0）为x轴上的动点，

∴PC＝|a+4|，

∴S△CBP•PC•OB|a+4|×2＝|a+4|，S△CAPPC•yA|a+4|×3，

∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，

∴|a+4||a+4|，

∴a＝3或﹣11．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．

25．如图，点M是反比例函数y（x＞0）图象上的一个动点，过点M作x轴的平行线交反比例函数y（x＜0）图象于点N．

（1）若点M（，3），求点N的坐标；

（2）若点P是x轴上的任意一点，那么△PMN的面积是否发生变化？若不变，求出它的面积是多少？若变化，请说明理由．

【分析】（1）将y＝3代入y（x＜0），求得点N的坐标；

（2）连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，由反比例函数系数k的几何意义求得△MOH和△NOH的面积，得到△MON的面积，由MN∥x轴得到△MON和△MNP的面积相等，从而得到△PMN的面积不变．

【解答】解：（1）将y＝3代入y，得x，

∴点N的坐标为（，3）．

（2）如图，连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，

∵MN∥x轴，点M和点N分别在函数y和函数y图象上，

∴S△MOH，S△NOH，S△MON＝S△PMN，

∴S△MON＝S△MOH+S△NOH5，

∴S△PMN＝5，

∴△PMN的面积不变，且△PMN的面积为5．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是连接MO和NO，得到△MON和△PMN的面积相等．

26．正比例函数y1＝2x的图象与反比例函数y2的图象有一个交点P的横坐标是2．

（1）求k的值和两个函数图象的另一个交点坐标；

（2）直接写出y1＞y2＞0的解集 　x＞2　．

（3）根据图象，直接写出当﹣4＜x＜﹣1时，y2的取值范围．

【分析】（1）求出横坐标为2的交点的纵坐标，再代入反比例函数y2即可求k，由正比例函数与反比例函数对称性可得另一个交点坐标；

（2）画出图象观察即可得到答案．

（3）根据函数图象可知，在每一象限内，y2随x的增大而减小，分别求出x＝﹣4和x＝﹣1时y2的值，即可得出y2的取值范围．

【解答】解：（1）在y1＝2x中令x＝2得y＝4，

∴正比例函数y1＝2x的图象与反比例函数y2的图象交点的横坐标是2的交点为（2，4），

∴4，解得k＝8，

∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都关于原点对称，

∴它们的交点也关于原点对称，

∴另一个交点为（﹣2，﹣4）；

（2）由函数图象可知，y1＞y2＞0的解集是：x＞2．

故答案为：x＞2．

（3）∵y2中，8＞0，

∴在每一象限内，y2随x的增大而减小，

当x＝﹣4时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝﹣8．

∴当﹣4＜x＜﹣1时，y2的取值范围为﹣8＜y2＜﹣2．

【点评】本题考查正比例函数与反比例函数图象交点及大小比较，解题的关键是要掌握二者的对称性和数形结合比较大小的方法．

27．某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：

（1）该企业4月份的生产数量为多少万支？

（2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？

【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将x＝4代入求出相应的y的值即可；

（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数．

【解答】解：（1）当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y，

∵点（1，180）在该函数图象上，

∴180，得k＝180，

∴y，

当x＝4时，y45，

即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；

（2）设技术改造完成后对应的函数解析式为y＝ax+b，

∵点（4，45），（5，60）在该函数图象上，

∴，

解得，

∴技术改造完成后对应的函数解析式为y＝15x﹣15，

，

解得2≤x≤7

∵x为正整数，

∴x＝2，3，4，5，6，7，

答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．

【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．

28．如图：直线y＝x与反比例函数y（k＞0）的图象在第一象限内交于点A（2，m）．

（1）求m、k的值；

（2）点B在y轴负半轴上，若△AOB的面积为2，求AB所在直线的函数表达式；

（3）将△AOB沿直线AB向上平移，平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数y的图象上时，求点A'的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）设B（0，n），构建方程求出n，再利用待定系数法即可解决问题；

（3）利用平移的性质即可解决问题；

【解答】解：（1）∵直线y＝x经过A（2，m），

∴m＝2，

∴A（2，2），

∵A在y的图象上，

∴k＝4．

（2）设B（0，n），

由题意：（﹣n）×2＝2，

∴n＝﹣2，

∴B（0，﹣2），设直线AB的解析式为y＝k′x+b，

则有，

∴，

∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．

（3）当点O'恰好落在反比例函数y的图象上时，

设B′（m，2m﹣2），则O′（m，2m），A′（m+2，2m+2），

则有2m2＝4，

∵m＞0，

∴m，

点A'的坐标（2，2+2）．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

29．如图，直线OA与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（3，3），将直线OA沿y轴向下平移，与反比例函数y（k≠0）的图象交于点B（6，m），与y轴交于点C．

（1）求直线BC的解析式；

（2）求△ABC的面积．

【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数解析式，据此可得点B的坐标及直线OA的解析式，继而可得直线BC的解析式；

（2）由OA∥BC知S△ABC＝S△BOC．根据S△BOCOC•xB计算可得答案．

【解答】解：（1）∵经过点（3，3），

∴k＝9，

∴，

又∵点B（6，m）在反比例函数图象上，

∴m，

∴点B（6，）．

设OA的解析式为：y＝k1x，

3＝3k1，

k1＝1，

∴y＝x．

设BC的解析式为：y＝x+b2，

又∵BC经过点B，

∴．

∴．

（2）∵OA∥BC，

∴S△ABC＝S△BOC．

又∵S△BOCOC•xB6，

∴．

【点评】本题主要考查直线和双曲线的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及平行直线的斜率相等．