高考数学真题专题训练 10概率与统计（含解析）

专题10 概率与统计

1.（新课标Ⅲ）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】对于A选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于B选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于C选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于D选项，该组数据的平均数为，

方差为.

因此，B选项这一组的标准差最大。

2.（山东卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）

A. 120种 B. 90种

C. 60种 D. 30种

【答案】C

【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有；

然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有；

最后剩下的3名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有种.

3.（山东卷）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ）

A. 62% B. 56%

C. 46% D. 42%

【答案】C

【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，

则，，，

所以

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.

4.（天津卷）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（    ）

A. 10 B. 18 C. 20 D. 36

【答案】B

【解析】根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：，

则区间内零件的个数为：.

5.（天津卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，

且两球是否落入盒子互不影响，

所以甲、乙都落入盒子概率为，

甲、乙两球都不落入盒子的概率为，

所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.

6.（浙江卷）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则_______；______．

【答案】 (1).     (2).1

【解析】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，

所以，

随机变量，

，

，

所以.

7.（江苏卷）已知一组数据的平均数为4，则的值是_____.

【答案】2

【解析】∵数据的平均数为4

∴，即.

8.（江苏卷）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.

【答案】

【解析】根据题意可得基本事件数总为个.

点数和为5的基本事件有，，，共4个.

∴出现向上的点数和为5的概率为.

9.（新课标Ⅱ）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.

【答案】36

【解析】

4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学

先取2名同学看作一组，选法有：

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种

1．【高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（  ）

A．0.5  B．0.6

C．0.7    D．0.8

【答案】C

【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．

2．【高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（  ）

A．中位数  B．平均数

C．方差    D．极差

【答案】A

【解析】设9位评委评分按从小到大排列为．

则①原始中位数为，去掉最低分，最高分后剩余，中位数仍为，A正确；

②原始平均数，后来平均数，平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确；

③，，由②易知，C不正确；

④原极差，后来极差，显然极差变小，D不正确．故选A．

3．【高考浙江卷】设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是（  ）

则当a在（0,1）内增大时，

A．增大         B．减小

C．先增大后减小       D．先减小后增大

【答案】D

【解析】方法1：由分布列得，

则，

则当在内增大时，先减小后增大．故选D．

方法2：则，

则当在内增大时，先减小后增大．故选D．

4．【高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．

【答案】

【解析】由题意，该组数据的平均数为，

所以该组数据的方差是．

5．【高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．

【答案】0.98

【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为，所以该站所有高铁平均正点率约为．

6．【高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________．

【答案】0.18

【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是

1．【全国Ⅱ卷】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，

随机选取两个不同的数，共有种方法，

因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，

故所求概率为，故选C．

2．【全国Ⅰ卷】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例              建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【答案】A

【解析】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A．

3．【全国Ⅲ卷】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则

A．0.7  B．0.6

C．0.4  D．0.3

【答案】B

【解析】∵，∴或，

，

，可知，故．故选B．

4．【浙江卷】设，随机变量ξ的分布列是

则当p在（0，1）内增大时，

A．D（ξ）减小  B．D（ξ）增大

C．D（ξ）先减小后增大  D．D（ξ）先增大后减小

【答案】D

【解析】，，，∴先增大后减小，故选D．

5．【全国Ⅰ卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则

A．p1=p2  B．p1=p3

C．p2=p3  D．p1=p2+p3

【答案】A

【解析】设，则有，从而可以求得的面积为，黑色部分的面积为

，其余部分的面积为，所以有，

根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A．

6．【江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______________．

【答案】90

【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为，

故平均数为．

7．【江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______________．

【答案】

【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，

因此所求概率为．

1．【全国Ⅲ卷】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】A

【解析】观察折线图，每年7月到8月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，选项A说法错误；

折线图整体呈现出增长的趋势，年接待游客量逐年增加，选项B说法正确；

每年的接待游客量7，8月份达到最高点，即各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，选项C说法正确；每年1月至6月的月折线图平稳，月接待游客量波动性更小，7月至12月折线图不平稳，月接待游客量波动性大，选项D说法正确．故选A．

2．【全国Ⅰ卷】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为．由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，故选B．

3．【山东卷】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是

A．              B．

C．              D．

【答案】C

【解析】标有的张卡片中，标奇数的有张，标偶数的有张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是，故选C．

12．【浙江卷】已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1–pi，i=1，2．若0<p1<p2<，则

A．<，<     B．<，>

C．>，<     D．>，>

【答案】A

【解析】∵，∴，

∵，∴，故选A．

4．【山东卷】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为

A．            B．

C．            D．

【答案】C

【解析】由已知得则

当时，，故选C．

5．【全国Ⅱ卷】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则______________．

【答案】

【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得．

6．【江苏卷】记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是______________．

【答案】

【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是．

7．【江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______________件．

【答案】18

【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18．

1. 【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（   ）

（A）     （B）    （C）    （D）

【答案】B

【解析】如图所示,画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段中,而当他的到达时间落在线段或时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率．故选B．

2.【2016高考新课标3理数】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是（     ）

(A)各月的平均最低气温都在以上        (B)七月的平均温差比一月的平均温差大

(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同    (D)平均气温高于的月份有5个

【答案】D

【解析】由题图可知各月的平均最低气温都在0C以上，A正确；由题图可知七月的平均温差大于7.5C，而一月的平均温差小于7.5C，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由题图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C，基本相同，C正确；由题图可知平均最高气温高于20℃的月份有3个，所以不正确．故选D．

3.【2016高考山东理数】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（    ）

（A）56   （B）60   （C）120  （D）140

【答案】D

【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时为后三组，有（人），选D.

4.【2016高考新课标2理数】从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为

（A）             （B）              （C）            （D）

【答案】C

【解析】利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为，所以.选C.

5.【高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球         B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多  

C.乙盒中红球不多于丙盒中红球         D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

【答案】C

【解析】若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球.由于抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，选B.

6.【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是   ▲    .

【答案】

【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为

7.【高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是         .

【答案】

【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数的取值为，其中

在1次试验中成功的概率为，

所以在2次试验中成功次数的概率为，，

则.

8.【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是        ．

【答案】1和3

【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.

9.【2016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.

【答案】0.1

【解析】这组数据的平均数为，．故答案应填：0.1，

10.【2016高考山东理数】在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为         .  

【答案】

【解析】直线y=kx与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率P=.