2022-2023年北师大版数学八年级下册专项复习精讲精练：专题01三角形的证明（原卷版+解析版）

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专题01三角形的证明

一．直角三角形全等的判定（共3小题） 二．角平分线的性质（共2小题）
三．线段垂直平分线的性质（共3小题） 四．等腰三角形的性质（共3小题）
五．等腰三角形的判定（共3小题） 六．等腰三角形的判定与性质（共5小题）
七．等边三角形的性质（共4小题） 八．等边三角形的判定（共4小题）
九．等边三角形的判定与性质（共3小题） 十．直角三角形的性质（共4小题）
十一．含30度角的直角三角形（共3小题） 十二．勾股定理（共5小题）
十三．勾股定理的证明（共4小题） 十四．勾股定理的逆定理
十五．反证法 十六．四种命题及其关系（共1小题）

知识点一、等腰三角形
1.等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
　　
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
3.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
4.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
5.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
6.等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.　　
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．
7.等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
8.等边三角形的判定：
　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
9.反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法
用反证法证题的一般步骤
1.假设:先假设命题的结论不成立
2.归谬:从这个假设出发应用正确的推论方法得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果
3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确从而肯定命题的结论正确
知识点二、直角三角形
1. 直角三角形全等的判定
（1）直角三角形全等一般判定定理：
直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS)
（2）直角三角形全等的HL判定定理：
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为：HL）
综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.
2.直角三角形的性质
定理：直角三角形的两个锐角互余；
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；
推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
3.勾股定理
定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；
勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；
勾股定理证明思路：面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：三角形全等）
勾股数组：如果正整数满足，那么叫做勾股数组，常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.
4.逆命题与逆定理
（1）一个命题（定理）的逆命题（逆定理）并不是唯一的，这是因为一个命题的题设中可能有两个或多个条件，结论也可能不止一个；
（2）逆命题的真假与原命题的真假没有关系.
要点诠释：
几何证明的分析思路：
（1）从结论出发，即：根据所要证明的结论→去寻找条件.例如：
要证线段相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等；②角相等，然后利用等角对等边（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论；
要证角相等，则需先证：①⊿全等，然后利用全等三角形性质得到角相等；②线段相等，然后利用等边对等角（前提：在同一个三角形中）③寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论；④观察图形，看是否可以直接利用角平分线逆定理来得出结论；
要证垂直，则需先证：①两条直线所夹的角为90°；②先证等腰三角形，然后利用“三线合一”来得出结论（前提：在同一个三角形中）；
要证三角形全等，则需先要从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找.
（2）从已知出发，即：根据所给条件、利用相关定理→直接可得的结论.例如：
已知线段的垂直平分线→线段相等；
已知角平分线→到角的两边距离相等或角相等；
已知直线平行→角相等；
已知边相等→角相等（前提：在同一三角形中）.
知识点三、线段的垂直平分线和角的平分线
1.线段的垂直平分线
（1）线段垂直平分线的定义
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
（2）线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.

M
N
B
A
P
如图：∵MN垂直平分线段AB
∴PA=PB





（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
要点诠释：
线段的垂直平分线定理与逆定理往往与边相等、角相等的证明密切相关，它提供了证明边、角相等
的又一种重要的方法，在以后的学习中还会与直角三角形、角平分线、勾股定理等连在一起综合应用.
2.角的平分线
（1）角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
（2）角的平分线有下面的性质定理：
①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
A
B
O
D
E
P
②到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

如图：∵OP平分∠AOB，
PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE.
3.垂线的性质
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.
要点诠释：
（1）当题目中的条件涉及到角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，利用角的平分线性质可直接得到垂线段相等，而不必用全等三角形来证，但是在书写过程中，不要漏掉垂直关系；
（2）已知角的平分线，有两种常用的添加辅助线的方法：一是把角沿着角平分线翻折，在这个角的两边截取相等线段，从而创设两个全等的三角形；二是过角平分线上的点向角两边做垂线段，利用角平分线的性质定理及其逆定理来解题.

一．直角三角形全等的判定（共3小题）
1．（2022秋•庐江县期中）如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（　　）

A．28° B．59° C．60° D．62°
【分析】根据∠C＝90°，AD＝AC，求证△CAE≌△DAE，∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，再由∠C＝90°，∠B＝28°，求出∠CAB的度数，然后即可求出∠AEC的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，
∴△CAE≌△DAE，∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，
∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，
∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，
∴∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证△CAE≌△DAE，此题稍微有点难度，属于中档题．
2．（2022春•七星区校级期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：Rt△BDE≌Rt△CDF．

【分析】根据已知条件直接利用HL证明即可求解．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．
【点评】本题考查了HL证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2022春•泾阳县期中）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．

【分析】此题只要先证明△ADF≌△BCE即可，做题时要结合已知条件与全等的判定方法进行思考．
【解答】证明：∵DE＝BF，
∴DE+EF＝BF+EF；
∴DF＝BE；
在Rt△ADF和Rt△BCE中
，
∴Rt△ADF≌Rt△BCE，
∴AF＝CE．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE＝BF通过等量加等量和相等得DF＝BE在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．
二．角平分线的性质（共2小题）
4．（2022秋•宿豫区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，先利用三角形的面积公式求出DF＝4，然后再利用角平分线的性质可得DE＝DF＝4，即可解答．
【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，

∵△ACD的面积为16，AC＝8，
∴AC•DF＝16，
∴DF＝4，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（2022秋•常州期中）如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．

【分析】（1）根据全等三角形的判定定理推出Rt△ADC≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得出CD＝CE，再得出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AD＝BE＝3，根据全等三角形的判定定理推出Rt△ODC≌Rt△OEC，根据全等三角形的性质得出OD＝OB，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），
∴CD＝CE，
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴OC平分∠MON；

（2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，
∴BE＝AD＝3，
∵BO＝4，
∴OE＝OB+BE＝4+3＝7，
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°，
在Rt△DOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL），
∴OD＝OE＝7，
∵AD＝3，
∴OA＝OD+AD＝7+3＝10．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质等知识点，能熟记到角两边距离相等的点在角的平分线上是解此题的关键．
三．线段垂直平分线的性质（共3小题）
6．（2022秋•溧水区期中）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC，D为CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．

【分析】（1）连接AE，由题意可判定AD垂直平分CE，由线段垂直平分线的性质可得AC＝AE＝BE，即可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝35°，由直角三角形的性质可得∠BAD的度数，即可求得∠EAD，∠CAD的度数，进而可求解．
【解答】（1）证明：连接AE，

∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC＝AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC；
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，
∴∠BAE＝∠B＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，
∵AC＝AE，AD⊥BC，
∴∠EAD＝∠CAD＝20°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAD+∠CAD＝75°．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．
7．（2022秋•工业园区校级期中）如图，在Rt△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，且AE＝BE，若∠CAD＝4∠B，BD＝6，则AC＝（　　）

A．3 B．3 C．4 D．5
【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵DE⊥AB，AE＝BE，
∴DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝6，
∴∠DAB＝∠B，
∵∠CAD＝4∠B，
∴∠CAB＝5∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠DAB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°，
∴AC＝AD＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8．（2021秋•荔城区校级期中）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，如果△DBC的周长等于9cm，BC＝4cm，那么AC的长是（　　）

A．5cm B．6cm C．7cm D．9cm
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DA＝DB，根据三角形周长与AC的值即可求得结论．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵△DBC的周长为9，
∴CB+CD+DB
＝CB+CD+DA
＝BC+AC
＝9（cm），
∵AC＝4，
∴BC＝5（cm），
故选：A．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
四．等腰三角形的性质（共3小题）
9．（2022秋•防城区期中）等腰三角形的周长为20cm，其中一边长为5cm，则其腰长为（　　）
A．5cm B．5cm或7.5cm C．7.5cm D．以上都不对
【分析】分为两种情况：5cm是等腰三角形的腰或5cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【解答】解：若5cm为等腰三角形的腰长，则底边长为：20﹣2×5＝10（cm），此时三角形的三边长分别为5cm，5cm，10cm，不符合三角形的三边关系；
若5cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（20﹣5）÷2＝7.5（cm），此时三角形的三边长分别为7.5cm，7.5cm，5cm，符合三角形的三边关系；
∴该等腰三角形的腰长为7.5cm，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
10．（2022秋•梁溪区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AB＝7，BC的长为5，求△CBD的周长．

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝65°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，求出∠ABD的度数，计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣50°）＝65°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝15°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴DB+DC＝DA+DC＝AC，
又∵AB＝AC＝7，BC＝5，
∴△CBD周长为12．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
11．（2022春•白塔区校级期中）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（　　）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
【分析】分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时；②当80°角为底角时；容易得出结论．
【解答】解：分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时，底角为（180°﹣80°）＝50°；
②当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20°；
综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°；
故选：B．
【点评】本题是开放题目，考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；注意分类讨论，避免漏解．
五．等腰三角形的判定（共3小题）
12．（2022春•罗湖区期中）如图，直线AB∥CD，∠ACD的平分线CE交AB于点F，∠AFE的平分线交CA延长线于点G．
（1）证明：AC＝AF；
（2）若∠FCD＝30°，求∠G的大小．

【分析】（1）由题意可得∠ACF＝∠DCF，∠AFC＝∠DCF，则∠ACF＝∠AFC，结论得证；
（2）可求出∠GAF＝60°，∠AFC＝30°，可求出∠GFA＝75°，则∠G可求出．
【解答】（1）证明：∵∠ACD的平分线CE交AB于点F，
∴∠ACF＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠DCF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴AC＝AF；
（2）解：∵∠FCD＝30°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠GAF＝60°，∠AFC＝30°，
∵∠AFE的平分线交CA延长线于点G．
∴＝75°，
∴∠G＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180°﹣60°﹣75°＝45°．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和定理．
13．（2022秋•宁津县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 　4　个．

【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的 条件分析可得答案．
【解答】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点，故此时符合条件的点由2个；
若以点B为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点；这两个交点中有一个是与A重合的，应舍掉，故只有1个；
线段AB的垂直平分线与y轴有1个交点；
∴符合条件的C点有：2+1+1＝4（个），
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．
14．（2022秋•红安县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（　　）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】分两种情况推论，当AB是底边时，当AB是腰时，即可判断．
【解答】解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线分别与AC，x轴负半轴相交，共两个交点，都符合条件；
（2）当AB是腰时，①以点A为圆心AB长为半径画圆分别与y轴正半轴，负半轴，x轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件；
②以点B为圆心AB长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件，
因此共有8个符合条件的点．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形，关键是分两种情况推论．
六．等腰三角形的判定与性质（共5小题）
15．（2022秋•铜山区期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点．D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③BC＝BD+CE；④△ADE的周长＝AB+AC；⑤BF＝CF．其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②④⑤
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，
∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，
∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC，
①②④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．
16．（2020秋•莱西市期中）如图所示，三角形ABC的面积为1cm2．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是　cm2　．

【分析】延长AP交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP＝∠EBP，结合BP＝BP以及∠APB＝∠EPB＝90°即可证出△ABP≌△EBP（ASA），进而可得出AP＝EP，根据三角形的面积即可得出S△APC＝SEPC，再根据S△PBC＝S△BPE+SEPC＝S△ABC即可得出结论．
【解答】解：延长AP交BC于点E，如图所示．
∵AP垂直∠B的平分线BP于点P，
∴∠ABP＝∠EBP．
在△ABP和△EBP中，，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝EP．
∵△APC和△EPC等底同高，
∴S△APC＝S△EPC，
∴S△PBC＝S△BPE+S△EPC＝S△ABC＝cm2．
故答案为：cm2．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积，根据三角形间的关系找出S△PBC＝S△ABC是解题的关键．
17．（2022秋•巴彦县期中）如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB＝4，则线段FG的长为 　2　．

【分析】延长BF交AC于E，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据全等三角形的性质得到AE＝AB＝4，根据平行线的性质得到∠BAF＝∠AFG，得到AG＝FG，推出FG＝AE＝2．
【解答】解：延长BF交AC于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，
∵AF＝AF，
∴△ABF≌△AEF（ASA），
∴AE＝AB＝4，
∵FG∥AB，
∴∠BAF＝∠AFG，
∴∠GAF＝∠FAG，
∴AG＝FG，
∵∠FAG+∠AEF＝∠AFG+∠EFG＝90°，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴FG＝GE，
∴FG＝AE＝2，
故答案为：2．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
18．（2022秋•横县期中）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O．
（1）求证：△OBC是等腰三角形．
（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．

【分析】（1）AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O，可得∠OEB＝∠ODC＝90°；∠BOE＝∠COD，根据内角和定理，可得∠OBE＝∠OCD，∠OBC＝∠OCB，进而可证△OBC是等腰三角形；
（2）欲证明O在∠BAC的平分线上，只需推知OE＝OD即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AC与AB边上的高BD、CE相交于点O，
∴∠OEB＝∠ODC＝90°，
∵∠BOE＝∠COD，∠OBE＝180°﹣（∠OEB+∠BOE），∠OCD＝180°﹣（∠ODC+∠COD），
∴∠OBE＝∠OCD，
∵∠OBC＝∠ABC﹣∠OBE，∠OCB＝∠ACB﹣∠OCD，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形；
（2）解：在△BEO与△CDO中，
，
∴△BEO≌△CDO（AAS），
∴OE＝OD，
又∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴O在∠BAC的平分线上．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质和判定的应用，熟练把握等腰三角形的性质，并证明出△BEO≌△CDO是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
19．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过I做DE∥BC分别交AB，AC于点D，E．求△ADE的周长．请补全以下的解答过程．
解：∵BI平分∠ABC（已知），
∴∠1＝∠2（角平分线的定义），
又∵DE∥BC（已知），
∴∠2＝　∠3　（ 　两直线平行，内错角相等　），
∴∠1＝　∠3　，
∴DI＝　DB　（ 　等腰三角形的判定　）．
同理可得：EI＝　CE　．
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DI+EI+AE＝AD+DB+EC+AE
＝　AB　+　AC　＝5+6＝11．

【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDO和△CEO是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD＝DO，CE＝EO，则△ADE的周长＝AB+AC，从而得出答案．
【解答】解：∵BI平分∠ABC（已知），
∴∠1＝∠2（角平分线的定义），
又∵DE∥BC（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠1＝∠3，
∴DI＝BD（等腰三角形的判定）．
同理可得：EI＝CE．
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DI+EI+AE＝AD+DB+EC+AE
＝AB+AC＝5+6＝11．
故答案为：∠3，两直线平行，内错角相等；∠3，BD，等腰三角形的判定；CE，AB，AC．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
七．等边三角形的性质（共4小题）
20．（2022秋•长沙期中）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（　　）

A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝1.5，
∴CD＝2EC＝3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AC＝AD+CD＝6．
故选：C．
【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在等边三角形ABC中AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE＝CD，则BE的长为 　3　．

【分析】由等边三角形的性质可得AC＝BC＝AB＝2，根据BD是∠ABC的高线，可得AD＝CD＝1，再由题中条件CE＝CD，即可求得BE．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝2，
∵BD是∠ABC的高线，
∴D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AC，
∵CE＝CD，
∴CE＝AC＝1，
∴BE＝BC+CE＝2+1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD＝CD＝AC是正确解答本题的关键．
22．（2022秋•铁锋区期中）如图．已知等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CD＝CE，M是BE的中点．
（1）求∠E的度数；
（2）求证：DM⊥BC．

【分析】（1）由等边△ABC的性质可得：∠ACB＝∠ABC＝60°，然后根据等边对等角可得：∠E＝∠CDE，最后根据外角的性质可求∠E的度数；
（2）先连接BD，根据等边三角形的性质，得出∠DBC＝∠ABC＝30°，再根据CD＝CE，得出∠E＝∠EDC＝∠ACB＝30°，最后根据等腰三角形的性质得出结论即可．
【解答】（1）解：∵三角形ABC是等边△ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠ACB＝30°；
（2）证明：如图，连接BD，
∵正△ABC中，D是AC中点，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠EDC＝∠ACB＝30°，
∵∠E＝∠DBC，
∴BD＝DE，
∵M是BE中点，
∴DM⊥BE．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及等边三角形的性质，解决问题的关键是运用等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
23．（2022春•驿城区期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，AE，BD相交点O，连接DE．
（1）判断△CDE的形状，并说明理由；
（2）求证：S△AOB＝2S△OBE．

【分析】（1）证明∠C＝60°，CD＝CE，即可解决问题．
（2）证明AO＝2OE，即可解决问题．
【解答】（1）解：△CDE是等边三角形，
理由：∵△ABC是等边三角形，且BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠C＝60°，CE＝BC，CD＝AC；而BC＝AC，
∴CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形．
（2）证明：由（1）知：AE、BD分别是△ABC的中线，
∴∠BAE＝∠DBA＝30°，AE⊥CB，
∴OA＝OB，
∵∠OBE＝30°，
∴OB＝2OE，
∴AO＝2OE，
∴S△AOB＝2S△OBE．

【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．
八．等边三角形的判定（共4小题）
24．（2021秋•蒙阴县期中）已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可判断①正确；由∠A＝60°，∠B＝∠C，利用三角形的内角和定理得到∠B＝∠C＝60°，即三个内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断②正确；由HL判定出直角三角形ACD与直角三角形AEC全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ACE＝∠BAC＝60°，再利用三角形的内角和定理得到第三个角也为60°，即三内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形，判断③正确．
【解答】解：①若添加的条件为AB＝AC，由∠A＝60°，
利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；
②若添加条件为∠B＝∠C，
又∵∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，
则△ABC为等边三角形；
③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：

已知：∠BAC＝60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE＝CD，
求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
在Rt△ADC和Rt△CEA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AB＝AC＝BC，即△ABC为等边三角形，
方法2：根据面积公式，高相等得到边相等，即AB＝BC，
在△ABC中，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
综上，正确的说法有3个．
故选：A．
【点评】此题考查了等边三角形的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定是解本题的关键．
25．（2022秋•灌阳县期中）如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上的一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　6　s时，△POQ是等边三角形．

【分析】有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，根据等边三角形的判定方法可知，当点P运动到射线OB上且OQ＝OP时△POQ是等边三角形．
【解答】解：点P、Q运动的是ts，由题意得：
t＝2t﹣6，
解得t＝6，
即当P、Q运动的是6s时，△POQ是等边三角形．
故答案为：6．
【点评】本题考查了等边三角形的判定，掌握等边三角形的判定方法是解题的关键．
26．（2022秋•东莞市校级期中）已知如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．且BE∥AC．求证：△ABC是等边三角形．

【分析】由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，由角平分线的定义和平行线的性质可求∠BAD＝∠CAD＝∠BAE＝30°，可求解．
【解答】证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵AB平分∠DAE，
∴∠BAE＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAE，
∵BE∥AC，
∴∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAE＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
27．（2022秋•颍泉区期中）在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若点Q是BC上一定点，BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？

【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；
（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，
∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
又∠B＝60°，
∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP＝BQ，
由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，
∴9﹣t＝6，
解得：t＝3，
∴当t的值为3时，PQ∥AC；
（2）如图2，①当点Q在边BC上时，

此时△APQ不可能为等边三角形；
②当点Q在边AC上时，

若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，
由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，
∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，
即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，
∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形、等腰三角形、以及全等三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．
九．等边三角形的判定与性质（共3小题）
28．（2022秋•金乡县期中）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

【分析】（1）先根据等边三角形的性质得：AB＝6cm，∠B＝60°，当t＝2时，计算BP和BQ的长，根据等边三角形的判定可得结论；
（2）若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，根据直角三角形含30度角的性质列方程可解答．
【解答】解：（1）如图，根据题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，

当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm，
∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，
∴AB＝6cm，∠B＝60°，
∴BP＝4cm，
∴BP＝BQ，
∴△BPQ是等边三角形；
（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BQ＝BP，即t＝，
解得：t＝2；
②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝BQ，
即6﹣t＝t，解得：t＝4，
答：当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键．
29．（2022秋•夏津县期中）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE　＝　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE　＝　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．

【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．
【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，
如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，

∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1，
∵DB＝FC＝FB+BC＝2，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．
30．（2022春•沈北新区期中）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 　①②④⑤　．（注：把你认为正确的答案序号都写上）

【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE，①正确．
④先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP＝CQ，即可得④正确；
②根据∠PCQ＝60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正确．
③没有条件证出OP＝OQ，得出③错误；
⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正确；即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠CBQ，AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴AP＝BQ，CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，结论④正确；
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，结论②正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠AEO，
∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，
∴结论⑤正确．
没有条件证出OP＝OQ，③错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【点评】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
一十．直角三角形的性质（共4小题）
31．（2022秋•屯昌县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B的度数为（　　）
A．5 B．25° C．35° D．45°
【分析】根据直角三角形的性质计算可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
32．（2022秋•崇川区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝20°，则∠BDC等于 　65°　．

【分析】求出∠B，∠DCB即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，
由折叠可知，∠DCB＝∠DCE＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣70°﹣45°＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
33．（2022春•榆林期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，在CA的延长线上取一点E，过点E作EG⊥BC于点G，EG交于AB于点F，∠ABC、∠CEG的角平分线相交于点H．
（1）求证：∠C+∠BFE＝180°；
（2）延长EH交BC于点M，随着∠C的变化，∠BHE的大小会发生变化吗？如果有变化，求出∠BHE与∠C的数量关系；如果没有变化，求出∠BHE的度数．

【分析】（1）根据四边形内角和定理可求出∠C+∠AFG＝180°，再由对顶角相等和等量代换可得出结论；
（2）根据题意可得2∠BHE＝∠ABC+∠CEG+2∠C，进一步可得出∠BHE＝90°，从而可得出随着∠C的变化，∠BHE的度数不会变化，始终为90°．
【解答】解：（1）∵∠C+∠BAC+∠EGC+∠AFG＝360°，∠BAC＝90°，∠CGE＝90°，
∴∠C+∠AFG＝180°．
∵∠BFE＝∠AFG，
∴∠C+∠BFE＝180°．
（2）随着∠C的变化，∠BHE的度数不会变化，始终为90°．
∵∠BHE＝∠HBM+∠BME，∠BME＝∠C+∠CEM，
∴∠BHE＝∠HBM+∠CEM+∠C．
∵BH平分∠ABC，EH平分∠CEG，
∴，
∴2∠BHE＝∠ABC+∠CEG+2∠C．
∵∠C+∠ABC＝90°，∠C+∠CEG＝90°，
∴2∠C+∠ABC+∠CEG＝90°+90°＝180°，
∴2∠BHE＝180°，
∴∠BHE＝90°．
【点评】本题主要考查了角平分线以及四边形内角和定理，正确识别图形是解答本题的关键．
34．（2022春•三元区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD，过点B作BG⊥CE于F，交AC于点G，连接GE．

（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）求证：GE⊥AB．

【分析】（1）利用垂直得到∠A+∠ABC＝90°，∠BCD+∠ABC＝90°，再利用同角的余角相等证明即可；
（2）结合（1）中结论证明∠DBH＝∠CBH，从而证明△CBF≌△EBF，得到CF＝EF，推出BG垂直平分CE，得到CG＝GE，利用等边对等角推出∠GEC＝∠GCE＝∠EBF，从而得到∠GEB＝90°，即可证明．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，即∠BDC＝90°，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠BCD；
（2）∵BG⊥CE，
∴∠CFB＝∠CDB＝90°，
∵∠CHF＝∠BHD，
∴∠HCF＝∠HBD，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠HCF＝∠HBD，
同（1）可得：∠ACD＝∠CBD，
∴∠DBH＝∠CBH，
在△CBF和△EBF中，
，
∴△CBF≌△EBF（ASA），
∴CF＝EF，即BG垂直平分CE，
∴CG＝GE，
∴∠GEC＝∠GCE＝∠EBF，
∴∠GEC+∠CEB＝∠EBF+∠CEB＝90°，即∠GEB＝90°，
∴GE⊥AB．


【点评】本题考查了余角的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等边对等角，知识点较多，有一定难度，图中线条较多，所以涉及的三角形和角就比较多，分析角之间的关系是解题的关键．
一十一．含30度角的直角三角形（共3小题）
35．（2021秋•密山市校级期中）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（　　）
A．75°或30° B．75° C．15° D．75°和15°
【分析】因为三角形的高有三种情况，而直角三角形不合题意，故舍去，所以应该分两种情况进行分析，从而得到答案．
【解答】解：当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示，
∵CD⊥AB，CD＝AC，
取AC的中点E，连接DE，
∴DE＝AE＝CE＝AC，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝75°；
当等腰三角形是钝角三角形时，如图2所示，
∵CD⊥AB，即在直角三角形ACD中，CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝150°，
∴∠B＝∠ACB＝15°．
故其底角为15°或75°．
故选：D．


【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，含30°的角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
36．（2021秋•川汇区期中）如果等腰三角形一条边上的高等于这条边长的一半，那么这个等腰三角形的顶角的度数是 　30°或90°或150°　．
【分析】三种情形①BD是腰上的高．②AD是底边上的高，分别求解即可．③△ABC是钝角三角形．
【解答】解：①如图1中，

∵AB＝AC，BD⊥AC，
BD＝AC＝AB，
∴sinA＝，
∴∠A＝30°；
②如图2中，

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AD＝BC，
∴AD＝DB＝DC，
∴∠DAB＝∠DAC＝45°，
∴∠BAC＝90°；
③如图，AB＝AC，BD⊥AC，BD＝AB，
则∠BAD＝30°，∠BAC＝150°，

∴等腰三角形的顶角为30°或90°或150°．
故答案为：30°或90°或150°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
37．（2022秋•商丘期中）已知等腰△ABC中，BD⊥AC，且BD＝AC，则等腰△ABC的顶角度数为 　90°或30°或150°　．
【分析】分三种情形：如图1中，当AB＝AC时，如图2中，当AB＝AC，如图3中，当BA＝BC，分别利用等腰三角形的性质求出顶角的度数即可．
【解答】解：如图1中，当AB＝AC时，

∵BD⊥AC，BD＝AC，
∴AB＝2BD，
∴∠A＝30°，
如图2中，当AB＝AC，

∵BD⊥AC，BD＝AC，
∴AB＝2BD，
∴∠DAB＝30°，
∴∠BAC＝150°，

如图3中，当BA＝BC，

∵BD⊥AC，BA＝BC，
∴BD＝AD＝DC，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝∠C＝45°，
∴∠ABC＝90°，
综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
一十二．勾股定理（共5小题）
38．（2022秋•新城区期中）以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（　　）
A． B． C．4 D．5
【分析】根据勾股定理可直接求解．
【解答】解：以2，3为直角边的直角三角形斜边长＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
39．（2022秋•句容市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P从点A出发，沿射线AC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t秒．

（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．

【分析】（1）首先直接根据勾股定理求出AC的长度，再分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠ABP为直角时，分别求出此时的t值即可；
（2）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝AP时；②当AB＝BP时；③当BP＝AP时，分别求出AP的长度，继而可求得t值．
【解答】（1）解：∵∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝＝4（cm）．
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，AP＝AC＝4cm，
∴t＝4．
②当∠ABP为直角时，AP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，BC＝3cm，
在Rt△BCP中，BP2＝32+（t﹣4）2，
在Rt△BAP中，AB2+BP2＝AP2，
∴52+[32+（t﹣4）2]＝t2，
解得t＝．
综上，当△ABP为直角三角形时，t＝4或．
（2）解：①当AP＝BA＝5时，
∴t＝5．
②当AB＝BP时，AP＝2AC＝8cm，
∴t＝8．
③当PB＝PA时，PB＝PA＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，BC＝3cm，
在Rt△BCP中，BP2＝BC2+CP2，
∴t2＝32+（4﹣t）2，
解得t＝．
综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝5或8或．
【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
40．（2022秋•金湖县期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3和S4．若S2＝18，S3＝15，S4＝6，则S1的值是 　3　．

【分析】根据勾股定理得出等式S1+S2＝S3+S4，即可求解．
【解答】解：如图，连接AC，

在Rt△ABC与Rt△ACD中，由勾股定理得，
AB2+BC2＝AC2＝AD2+CD2，
即S1+S2＝S3+S4，
∵S2＝18，S3＝15，S4＝6，
∴S1＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
41．（2022秋•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，AB⊥BD，AD平分∠BAC，且与BC、BD交于点E、点D，BD＝5，则BC＝　　．

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出AE⊥BC且AE平分BC，在△ABD中，由勾股定理求出AD的长，再在△ABD中利用等面积法即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AE⊥BC且AE平分BC，
∵AB⊥BD，AB＝12，BD＝5，
∴AD＝＝13，
∵S，
∴BE＝，
∴BC＝2BE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理以及等腰三角形的性质是解题的关键．
42．（2022秋•莲湖区期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C恰好在格点（网格线的交点）上．
（1）求△ABC的周长．
（2）求△ABC的面积．

【分析】（1）根据勾股定理，分别求出AB、BC、AC的长，进而可得△ABC的周长；
（2）由（1）AB、BC、AC的长可得，BC2＝AB2+AC2，则△ABC是直角三角形，S△ABC＝AC•AB，进而可得△ABC的面积．
【解答】解：（1）根据题意可得，
AB＝＝＝2，
AC＝＝，
BC＝＝＝5，
AB+AC+BC＝2++5＝5+3，
∴△ABC的周长为5+3；
（2）∵AB＝2，AC＝，BC＝5，
∴BC2＝25，AB2+AC2＝20+5＝25，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AC•AB＝××＝5，
∴△ABC的面积为5．
【点评】本题考查了勾股定理知识点，结合图形熟练应用勾股定理三角形三边的值，并应用其逆定理判定三角形的形状是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
一十三．勾股定理的证明（共4小题）
43．（2022春•通道县期中）如图是我国魏晋时期的数学家赵爽用四个两直角边分别为a、b（a≥b），斜边为c的直角三角形拼成的正方形图形，并用此图证明勾股定理，请你用此“弦图”写出证明勾股定理的过程．

【分析】根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分面积（4个直角三角形的面积）即可得证．
【解答】证明：∵大正方形的面积等于c2，小正方形的面积等于（b﹣a）2，四个直角三角形的面积等于，
∵大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分面积，
即c2﹣（b﹣a）2＝2ab，
整理得a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，利用面积法证明是解题的关键．
44．（2022春•德城区校级期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

（1）①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4，5，6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有 　3　个．

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请写出S1，S2，S3的数量关系：　S1+S2＝S3　．

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2＝　m2　．





【分析】（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；
②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；
（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；
②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；
（3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，a2+b2+c2+d2＝m2．
【解答】解：①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（或在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方）
②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．）
若选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即c2＝ab×4+（b﹣a）2，
化简得：a2+b2＝c2．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即（a+b）2＝c2+ab×4，
化简得：a2+b2＝c2．
若选择图2，证明过程如下：
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得a2+b2＝c2．
若选择图3，证明过程如下：
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
化简，得a2+b2＝c2．
（2）①根据题意，则如下图所示：
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则
由勾股定理，得a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则，，，
∴，
∵a2+b2＝c2，
∴，
∴S1+S2＝S3；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，a2+b2＝c2，
∴，
∴S1+S2＝S3；
∴满足S1+S2＝S3的有3个，
故答案为：3；
②结论S1+S2＝S3；∵，
∴，
∵a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3；
故答案为：S1+S2＝S3．

（3）如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：SA+SB＝SE，SC+SD＝SF，SE+SF＝SM，
∴a2+b2＝e2，c2+d2＝f2，e2+f2＝m2，
∴a2+b2+c2+d2＝m2
故答案为：m2．



【点评】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，解题的关键是掌握勾股定理的应用，注意归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．
45．（2022春•隆阳区期中）如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的两直角边为a和b，则（a+b）2的值是 　25　．

【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2＝c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab即可求解．
【解答】解：设正方形的边长为c，
∵大正方形的面积是13，
∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面积是＝3，
又∵直角三角形的面积是ab＝3，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝25．
故答案是：25．
【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：（a+b）2＝a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．
46．（2022春•孝义市期中）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别是a、b（b＞a），则（a+b）2的值为 　9　．

【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2＝a2+2ab+b2即可求解．
【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2＝5，
四个直角三角形的面积是：ab×4＝5﹣1＝4，即：2ab＝4，
则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝5+4＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．
一十四．勾股定理的逆定理（共5小题）
47．（2022秋•顺德区校级期中）在△ABC中，若其三条边的长度分别为1、1、，则这个三角形的面积是 　　．
【分析】利用勾股定理的逆定理可判断出△ABC为直角三角形，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：∵，，
∴12+12＝（）2，
∴△ABC为直角三角形，且斜边为，两直角边都为1，
∴这个三角形的面积是：，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
48．（2022秋•玄武区校级期中）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CE的长．

【分析】（1）连接BE，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）设CE＝x，则AE＝BE＝4﹣x，在Rt△BCE中，根据BE2﹣CE2＝BC2列出方程计算即可求解．
【解答】（1）证明：连接BE，
∵AB边上的垂直平分线为DE，
∴AE＝BE，
∵CB2＝AE2﹣CE2，
∴CB2＝BE2﹣CE2，
∴CB2+CE2＝BE2，
∴∠C＝90°；
（2）解：设CE＝x，则AE＝BE，
在Rt△BCE中，BE2﹣CE2＝BC2，
∴（4﹣x）2﹣x2＝32，
解得：x＝，
∴CE的长为．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用．
49．（2022春•黄石期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝，DA＝5，∠B＝90°，则∠BCD的度数 　135°　．

【分析】在等腰Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝BC＝3，∠B＝90°，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴AC＝＝＝3，
∵CD＝，DA＝5，
∴AC2+CD2＝（3）2+（）2＝25，AD2＝52＝25，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°，
故答案为：135°．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
50．（2022秋•市中区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
（1）求证：CD⊥AD；
（2）求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）连接AC，根据勾股定理可知AC2＝BA2+BC2，再根据AC2＝DA2+DC2即可得出结论；
（2）根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角，
∴CD⊥AD；
（2）解：S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝AB•BC+AD•CD
＝×20×15+×24×7
＝234．

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
51．（2022春•越秀区期中）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°．求阴影部分的面积．

【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，进而可得出结论．
【解答】解：如图，连接AC．
在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10．
∵CD＝24，AD＝26，AC＝10，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC＝×10×24﹣×6×8＝120﹣24＝96．
故阴影部分的面积是96．

【点评】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，先根据题意判断出△ACD是直角三角形是解答此题的关键．
一十五．反证法（共2小题）
52．（2022春•北仑区期中）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，
2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
53．（2022春•大田县期中）若要运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设（　　）
A． B． C． D．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是a＞b的反面有多种情况，应一一否定．
【解答】解：运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设，
故选：A．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的步骤．反证法的步骤是：假设结论不成立、从假设出发推出矛盾、假设不成立，则结论成立．
一十六．四种命题及其关系（共1小题）
54．（2022秋•上城区校级期中）命题“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是　若a2＝b2，则a＝b　．
【分析】如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么把另一个叫做它的逆命题．故只需将命题“若a＝b，则a2＝b2”的题设和结论互换，变成新的命题即可．
【解答】解：命题“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是若a2＝b2，则a＝b．
【点评】写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换．在写逆命题时要用词准确，语句通顺．