2022-2023年北师大版数学八年级下册专项复习精讲精练：专题02一元一次不等式与一元一次不等式组（原卷版+解析版）

专题02一元一次不等式与一元一次不等式组

一．不等式的定义（共3小题）                 二．不等式的性质（共7小题）

三．不等式的解集（共4小题）                 四．在数轴上表示不等式的解集（共5小题）

五．一元一次不等式的定义（共1小题）         六．解一元一次不等式（共3小题）

七．一元一次不等式的整数解（共3小题）       八．由实际问题抽象出一元一次不等式（共2小题）

九．一元一次不等式的应用（共2小题）         十．一元一次不等式组的定义（共1小题）

十一．解一元一次不等式组（共2小题）         十二．一元一次不等式组的整数解（共3小题）

十三．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共2小题）

十四．一元一次不等式组的应用（共4小题）     十五．一次函数与一元一次不等式（共3小题）

考点一、不等式的相关概念

1．不等式

  用不等号连接起来的式子叫做不等式．

  常见的不等号有五种： “≠”、  “＞” 、 “＜” 、 “≥”、 “≤”．

2．不等式的解与解集

  不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．

不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左.

3．解不等式

   求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式.

要点诠释：

不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．

考点二、不等式的性质

性质1：

不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c．

性质2：

不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）．

性质3：

不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）．

要点诠释：

（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a，则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.

（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞Oa＞b；②a-b=Oa=b；③a-b＜Oa＜b．

不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.

考点三、一元一次不等式（组）

1．一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0) ，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)．

2．一元一次不等式的解法

     一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．

    解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1．   

要点诠释：

解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．

3．一元一次不等式组及其解集

     含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．

     一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．

一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．

要点诠释：

判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多． 

4．一元一次不等式组的解法

       由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．

注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.

要点诠释：

解不等式组时，一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．

5．一元一次不等式（组）的应用

    列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要．

要点诠释：

列一元一次不等式组解决实际问题是中考考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）的解集中求出符合题意的答案．

6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系

一次函数，当函数值时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值或时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定的取值范围.

一．不等式的定义（共3小题）

1．（2022春•三元区期中）据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日20：55顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（　　）（单位：吨）

A．a≈6 B．a＞6 C．a＜7 D．6＜a＜7

2．（2022春•邓州市期中）在数学的发展史中，符号占有很重要的地位，它不但书写简单，而且表达的意义很明确．在不等式中，除了我们熟悉的符号外，还有很多：比如：≮表示不小于；≯表示不大于，＞＞表示远大于；＜＜表示远小于等．下列选项中表达错误的是（　　）

A．2≮2 B．﹣1≯0 C．100＞＞1 D．﹣2＜＜﹣99

3．（2022春•封丘县期中）若x是非正数，则x　   　0．（填不等号）

二．不等式的性质（共7小题）

4．（2022春•皇姑区校级期中）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　）

A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y

5．（2022秋•富阳区期中）选择适当的不等号填空：若a＜b，则﹣2a　   　﹣2b．

6．（2022春•昌平区期中）如图，x和5分别表示天平上两边的砝码的质量，请你用“＞”或“＜”填空：x﹣3 　   　2．

7．（2022秋•鹿城区校级期中）当x＞y时，

（1）请比较﹣3x+5与﹣3y+5的大小，并说明理由．

（2）若（a﹣3）x＜（a﹣3）y，则a的取值范围为 　   　．（直接写出答案）

8．（2022春•五华区校级期中）阅读材料：对实数a、b，定义T（a，b）的含义为：当a＜b，时T（a，b）＝a+b；当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b．例如：T（1，3）＝1+3＝4，T（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3；

根据以上材料，回答下列问题：

（1）若T（m2+1，﹣1）＝6，则m＝　   　；

（2）已知x+y＝8，且x＞y，求T（4，x）﹣T（4，y）的值．

9．（2022春•如东县期中）若a、b、c是三个非负数，并且2a﹣3b+c＝5，a﹣2b+c＝4，设m＝3a﹣b+7c，则m的最小值为 　   　．

10．（2022春•西城区校级期中）阅读下列材料，解决问题：

【问题背景】

小明在学习完不等式的性质之后，思考：

“如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？”

在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式：

①已知：a＞b，c＜0．

求证：ac＜bc．

②已知：a＞b，c＜0．

求证：＜．

【问题探究】

（1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据：

∵c＜0，即c是一个负数

∴c的相反数是正数，即﹣c＞0

∵a＞b

∴a•（﹣c）＞b•（﹣c）（依据：　   　）

即﹣ac＞﹣bc

不等式的两端同时加（ac+bc）可得：

﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依据：　   　）

合并同类项可得：bc＞ac

即：ac＜bc得证．

（2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明．

三．不等式的解集（共4小题）

11．（2022春•嘉定区校级期中）若不等式组的解集是x＞2．

（1）m的取值范围是 　   　；

（2）试化简：|2m﹣5|+|3﹣m|．

12．（2021春•庐阳区校级期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．

（1）求m的取值范围；

（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；

（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．

13．（2021春•乐山期中）请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集过程．

对于绝对值不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3；

对于绝对值不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3而大于3的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3．

已知关于x，y的二元一次方程组的解满足|x+y|≤3，其中m是负整数，求m的值．

14．（2020春•西城区校级期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．

（1）在方程①3x﹣1＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组的关联方程是　   　；（填序号）

（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　   　；（写出一个即可）

（3）若方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围．

四．在数轴上表示不等式的解集（共5小题）

15．（2022秋•越秀区校级期中）已知x是整数，并且|x|＜4，写出x可能取的所有数值并在数轴上表示．

16．（2021春•全椒县期中）解不等式＜，并把它的解集在数轴上表示出来．

17．（2022春•普宁市校级期中）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

18．（2022春•社旗县期中）从下列不等式中，任选两个不等式组成一个不等式组，解该不等式组，并把其解集表示在数轴上．

①2x＞3x；②3（x+2）﹣1≥5﹣2（x﹣2）；③8x+1≤5x﹣3；④；⑤﹣3x＜0．

19．（2022秋•博兴县期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．

利用数形结合思想回答下列问题：

（1）数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离 　   　．

（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝2，那么x＝　   　．

（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜3，求|x﹣3|+|x+4|的值．

五．一元一次不等式的定义（共1小题）

20．（2022春•临汾期中）在数学表达式：﹣3＜0，a+b，x＝3，x2+2y+y2，x≠5，x+2＞y+3中，是一元一次不等式的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

六．解一元一次不等式（共3小题）

21．（2022春•秦都区期中）解不等式．

22．（2022春•绵阳期中）关于x，y的方程组．

（1）解方程组（含m的式子表示解）；

（2）方程组的解满足2x﹣3y＜9，求m的范围．

23．（2022春•景泰县校级期中）解下列不等式：

（1）2（x﹣1）≥x﹣5；

（2）．

七．一元一次不等式的整数解（共3小题）

24．（2022春•新城区校级期中）利用不等式的性质解不等式＞x﹣1，并写出它的所有正整数解．

25．（2022春•兴文县期中）已知不等式3x＜4（x+1）﹣1的最小整数解为方程4x﹣ax＝﹣16的解，求a的值．

26．（2022春•泌阳县期中）解不等式：﹣1，并把不等式的解集表示在数轴上，并求出非负整数解．

八．由实际问题抽象出一元一次不等式（共2小题）

27．（2022春•德化县期中）已知“﹣x的与x的2倍的差大于x与10的和”．

（1）试用不等式表示上述不等关系．

（2）试用不等式的基本性质求出（1）中不等式的解集．

（3）请在数轴上表示（2）中不等式的解集．

28．（2021秋•温州校级期中）某商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案可供选择．

方案一：每台按售价的九折销售；

方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．

已知A型号笔记本电脑的原售价是5000元/台，某公司一次性从该商店购买A型号笔记本电脑x台．

（1）若方案二比方案一更便宜，根据题意列出关于x的不等式．

（2）若公司买12台笔记本，你会选择哪个方案？请说明理由．

九．一元一次不等式的应用（共2小题）

29．（2022春•吴江区期中）某医院准备派遣医护人员协助西安市抗击疫情，现有甲、乙两种型号的客车可供租用，已知每辆甲型客车的租金为280元，每辆乙型客车的租金为220元，若医院计划租用6辆客车，租车的总租金不超过1530元，那么最多租用甲型客车多少辆？

30．（2022春•新丰县期中）某班计划购买A、B两款文具盒作为期末奖品．若购买3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若购买2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．

（1）每盒A款的文具盒和每盒B款的文具盒各多少元．

（2）某班决定购买以上两款的文具盒共40盒，总费用不超过210元，那么该班最多可以购买多少盒A款的文具盒？

一十．一元一次不等式组的定义（共1小题）

31．（2022春•潍坊期中）写出一个解集为﹣1≤x＜2的一元一次不等式组 　   　．

一十一．解一元一次不等式组（共2小题）

32．（2022秋•湖里区校级期中）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．

33．（2022春•淅川县期中）解不等式组．

（1）将不等式组的解集在数轴上表示出来；

（2）求出最小整数解与最大整数解的和．

一十二．一元一次不等式组的整数解（共3小题）

34．（2022秋•碑林区校级期中）解不等式组并写出该不等式组的最小整数解．

35．（2022春•宁明县期中）解不等式组（组）：

（1）解不等式3x﹣3≤5x﹣9．

（2）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解．

36．（2022春•巴州区期中）（1）解不等式：．

（2）已知2﹣2（a﹣1）＞3a﹣1，化简：|2﹣2a|+|a﹣3|．

（3）求不等式组的整数解．

一十三．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共2小题）

37．（2022春•通州区期中）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过（220﹣年龄）×0.8，最低值不低于（220﹣年龄）×0.6．以40岁为例计算，220﹣40＝180，180×0.8＝144，180×0.6＝108，所以40岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（　　）

A．108≤p≤144 B．108＜p＜144 C．108≤p≤190 D．108＜p＜190

38．（2022春•薛城区期中）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过（220﹣年龄）×0.8，最低值不低于（220﹣年龄）×0.6．以30岁为例计算，220﹣30＝190，190×0.8＝152，190×0.6＝114，所以30岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（　　）

A．114≤p≤152 B．114＜p＜152 C．114≤p≤190 D．114＜p＜190

一十四．一元一次不等式组的应用（共4小题）

39．（2021秋•开福区校级期中）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需130元；购买5个A奖品和4个B奖品共需230元．

（1）求A，B两种奖品的单价；

（2）学校准备购买A，B两种奖品共40个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．购买预算金不超过920元，请问学校有几种购买方案．

40．（2022春•景泰县校级期中）由于疫情原因，市场上防护口罩出现热销．某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需32元；2个A型口罩和1个B型口罩共需28元．

（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？

（2）药店准备购进这两种型号的口罩共500个，其中A型口罩数量不少于330个，且不多于B型口罩的2倍，则有哪几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，哪种购买方案最省钱，最少需要多少元钱？

41．（2022秋•婺城区期末）为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元．

（1）求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？

（2）该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号垃圾箱的方案有哪些？

42．（2021春•阜南县期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《格列佛游记》两种书共50本．已知购买2本《艾青诗选》和1本《格列佛游记》需100元；购买6本《艾青诗选》与购买7本《格列佛游记》的价格相同，

（1）求这两种书的单价；

（2）若购买《艾青诗选》的数量不少于所购买《格列佛游记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问共有几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？

一十五．一次函数与一元一次不等式（共3小题）

43．（2021秋•大渡口区校级期中）小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图象与性质的方法，对新函数y＝2﹣|x﹣1|及其图象进行如下探究．

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：

其中m＝　   　，n＝　   　．

（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：　   　．

（3）当时，x的取值范围为 　   　．

44．（2022秋•肇源县期中）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点 A．

（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；

（2）请根据图象直接写出不等式2x＜kx+b＜0的解集．

45．（2022春•城阳区期中）如图直线 y1＝kx+b经过点A（﹣6，0），B（﹣1，5）．

（1）求直线AB的表达式；

（2）若直线 y2＝﹣2x﹣3与直线AB相交于点M，则点M的坐标为（ 　   　，　   　）；

（3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＜﹣2x﹣3的解集．