2022-2023年苏科版数学七年级下册专项复习精讲精练：专题04 整式乘法（原卷版 解析版）

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专题04整式乘法














一、整式的乘法
运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.
二、乘法公式
平方差公式：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
完全平方公式：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
三、方法拓展
1.单项式与单、多项式代数求值
x2y＝3，求2xy(x5y2－3x3y－4x)的值．
方法：考虑到满足x2y＝3的x，y的可能值较多，则不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入．
2.单项式与多项式几何应用

方法：用未知数的方法把上面的白色部分小长方形的长和宽表示出来，然后再把阴影面积的长和宽表示出来，如果最好问的式比例和定值，会自动抵消。
3.整式乘法中的新定义
方法：在基础定义的时候，我们只需学会模仿，无需理解题意；如上题。
如果遇到答题最后一题的话，需要理解题意，举一反三。
4.多项式乘法两边对应相等
若，则的值是（ ）
方法：运用多项式×多项式，把左边化简，之后每一项系数对应相等求出未知数，代入解题即可。
5.多项式中不含项、与项无关
如果的结果中不含x的一次项，那么a、b应满足（ ）
方法：1.化简
2.不含x项说明a+b=0
6.多项式与多项式的几何应用

方法：
，数形结合，多项式与多项式的乘积可以把它拼成一个正方形，由此给它分割成小的正方形和长方形，而形成的正方形和长方形的面积组成就是多项式乘积的代数式。
7.多项式中的归纳与规律
根据下面四个算式：
5232＝（5+3）×（53）＝8×2；
11252＝（11+5）×（115）＝16×6＝8×12；
15232＝（15+3）×（153）＝18×12＝8×27；
19272＝（19+7）×（197）＝26×12＝8×39．
请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
方法：主要还是以找规律为主，如果是小学学过奥数里面的数列的话，那会更容易理解，我们是以项数和内容为住，比如：第一项是5/3/2这几个变量，那我们就要去看第n项是多少，以此推理即可。
8.平方差的几何应用
方法：等积法


9.完全平方的几何应用
方法：等积法，同类型八



10.平方差与完全平方的巧算
已知：．求的值；求的值
方法：

【专题过关】
类型一、乘法公式化简
【解惑】
（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）化简后求值，其中，．
【答案】，
【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再代入x，y的值计算即可．
【详解】解：


当，时，原式．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
【融会贯通】
1．（2022秋·湖南永州·七年级统考期中）下列各式不能使用平方差公式的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，无互为相反数的项，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

2．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）已知，，则的值为______．
【答案】57
【分析】将代数式变形后，再将，代入即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴


故答案为：57．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
3．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）若多项式（是常数）是一个关于的完全平方式，则的值为______．
【答案】
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】因为多项式（是常数）是一个关于的完全平方式，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握完全平方式．
4．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）已知，，则_____， _____．
【答案】     7    
【分析】根据平方差公式和完全平方公式变形计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7，．
【点睛】此题考查平方差公式和完全平方公式，关键是掌握公式的变形．
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，1．
【分析】先计算除法与乘法，然后合并同类项即可把代数式化简，最后代入数值计算即可．
【详解】解：


，
当时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键.
6．（2022秋·广东东莞·八年级东莞市石碣袁崇焕中学校考期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：


，
当，时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知乘法公式是解题的关键．
7．（2022秋·广东广州·八年级广州市第一中学校考期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】利用单项式乘以多项式的法则及平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
【详解】解：


当时，原式
【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则及平方差公式的运用是解答的关键．
类型二、单项式与单、多项式代数求值
【解惑】
（2020秋·四川凉山·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，2．
【分析】先将原式根据单项式乘多项式的法则进行化简，再将整体代入计算即可．
【详解】解：

，
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值；熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键．







【融会贯通】
1．（2020秋·重庆江津·七年级校考期中）如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为右边小正方形边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（    ）．

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去空白部分的面积，即可求解．
【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积为



故选：B
【点睛】本题主要考查了整式加减及乘法的应用，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
2．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）计算：__________．
【答案】##
【分析】先根据积的乘方运算法则进行计算，然后再按照单项式乘单项式运算法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整式运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和单项式

3．（2023春·安徽亳州·七年级校考期中）计算：．
【答案】
【分析】先进行积的乘方运算，再进行单项式乘单项式的运算求解即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查积的乘方，单项式乘单项式．熟练掌握积的乘方，单项式乘单项式的运算法则，是解题的关键．
4．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）先化简，再求值，其中，．
【答案】；
【分析】先算单项式乘单项式，再合并同类项，化简后，代值计算即可．
【详解】解：；
当，时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算．熟练掌握整式的运算法则，是解题的关键．
5．（2022秋·陕西西安·七年级校考期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】首先去括号，然后合并同类项，化简后，再代入、的值求解即可．
【详解】解：


当时
原式．
【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，解题的关键是去括号时符号的变化．

6．（2020秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期中）先化简，再求值：已知单项式与的积与互为同类项，求的值．
【答案】，5
【分析】先计算单项式与的积，根据同类项定义可得 ，然后再把化简，然后再代入m的值计算即可．
【详解】解：，
∵单项式与的积与互为同类项，
∴，
解得，
原式

当时，
原式．
【点睛】此题主要考查了同类项，单项式乘单项式以及整式乘法的化简求值，关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫同类项．

类型三、单项式与多项式几何应用
【解惑】
（2022秋·湖南衡阳·八年级统考期中）如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，用代数式表示图中阴影部分的面积，并求当时代数式的值是多少．

【答案】，32．
【分析】将图形进行补充，将得到的矩形面积减三个直角三角形面积即可．
【详解】解：如图：



．
当时，
．
【点睛】本题考查列代数式和代数式的求值，解题的关键是利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．
【融会贯通】
1．（2022秋·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考期中）如图所示，边长分别为和的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将原图形补成一个大的长方形，再用大长方形的面积减去阴影周围三个直角三角形的面积即可求解．
【详解】解：如图，
图中阴影部分的面积为


，
故选：A．

【点睛】本题考查单项式乘多项式的几何应用，会利用割补法求解不规则图形的面积是解答的关键．
2．（2023春·四川达州·七年级四川省渠县中学校考阶段练习）一天，小明想计算一个型的花坛的面积，在动手测量前，小明依花坛形状画了如图示意图，并用字母表示了将要测量的边长．小明在列式进行计算时，发现还要再测量一条边的长度，你认为他还应再测量出哪条边的长度？并请你在图中用字母标出来，然后再求出花坛的面积．

【答案】见解析
【分析】根据题意，延长交于点，将型的花坛分成两个长方形进行计算即可求解．
【详解】解：还需要测的长度．
如图所示，延长交于点．

若，则，这个花坛的面积为
【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积，数形结合是解题的关键．


3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，为提高业主的宜居环境，某小区物业准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路，求小路的面积．（要求化成最简形式）

【答案】小路的面积共有平方米．
【分析】根据小路的面积两个长方形面积中间重叠部分的正方形的面积计算即可．
【详解】解：小路的面积

（平方米）．
答：小路的面积共有平方米．
【点睛】本题考查单项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则．
4．（2023春·七年级课时练习）如图，大正方形边长为，小正方形边长为．

(1)用含，的式子表示阴影部分的面积；
(2)若，求阴影部分面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）阴影部分的面积两个三角形的面积之和，从而可得答案；
（2）利用非负数的性质先求解，，再代入（1）中的代数式进行计算即可．
【详解】（1）解：阴影部分的面积


；
（2）∵，
∴，，
解得：，，
，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查的是整式的乘法运算与图形的面积关系，求解代数式的值，非负数的性质，正确的列出代数式是解本题的关键．
5．（2022秋·广东东莞·七年级校考期中）为迎接“二十大”的召开，园艺工人要在下图的草地中种植出如图所示图案，其中四个半圆的直径分别为．

(1)用含x，y的式子表示图中阴影部分的面积S；
(2)根据（1）中的关系式，当时，求出S的值（结果保留）．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）用长方形的面积减去2个圆的面积即可；
（2）把代入（1）中结果计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：当时，
．
【点睛】本题考查了列代数式以及求代数式的值，数形结合是解答本题的关键．
6．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）将7张相同的小长方形纸片，如图1所示，按图2所示的方式不重叠的放在长方形内．，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且．

(1)当，时，求长方形的面积；
(2)请用含a，b的式子表示的值．
【答案】(1)；
(2)．

【分析】（1）先用含a和b的式子表示出长，然后求得矩形的面积，从而代入求值；
（2）根据长方形的面积公式列式，然后再去括号，合并同类项进行化简．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴，
当，，时，
；
（2）解：∵，，
∴当时，



．
【点睛】此题考查了整式的加减运算以及代数式求值问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．整式加减的应用时：①认真审题，弄清已知和未知的关系；②根据题意列出算式；③计算结果，根据结果解答实际问题．
类型四、整式乘法中的新定义
【解惑】
（2022秋·湖南郴州·七年级校考阶段练习）定义新运算：，，等式右边是通常的加法、减法运算．
(1)求的值；
(2)化简：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)的值为

【分析】（1）根据题意中给出的信息列式计算即可；
（2）根据题意中给出的信息列式计算即可；
（3）根据题意中给出的信息列出方程,解方程即可．
【详解】（1）解：


；
（2）解：

；
（3）解：∵，
∴
解得：，
∴的值为．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，有理数混合运算的应用，解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，熟练掌握运算法则，准确计算
【融会贯通】
1．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整数的加、减、乘法运算类似．
例如计算：

根据以上信息计算_____．
【答案】
【分析】认真读懂题意，掌握新定义，利用新定义计算．
【详解】解：


．
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义运算，解题的关键是掌握新定义，利用新定义计算．也考查了合并同类项．
2．（2023秋·湖北荆州·八年级统考期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
(1)已知是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式：______；
(2)若可配方成（m，n为常数），则______；
(3)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出一个符合条件的k的值．
【答案】(1)详见解析；
(2)；
(3)．

【分析】（1）依据“完美数”的定义，变形即可得；
（2）通过将配方得到m，n的值代入计算即可；
（3）将配方为，结合“完美数”的定义，令的值可以为0可求解．
【详解】（1）解：
故答案为：；
（2）



故答案为：；
（3），
，
，
∵x，y是整数，
∴也是整数，
∵S为“完美数”，
∴的值可以为0，
∴．
其他解法，正确即可．
【点睛】本题考查了新定义“完美数”概念的理解以及配方法解决实际问题；解题的关键是理解定义正确配方．


3．（2023春·七年级课时练习）（1）已知，，用含有，的代数式表示；
（2）定义新运算：对于任意实数，，都有，若，求的值．
【答案】（1）；（2）的值为
【分析】（1）根据，把化简为：，即可；
（2）根据定义新运算：的运算法则，即可求出．
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴




，
∴，
∴．
【点睛】本题考查幂的运算，一元一次方程的知识，解题的关键掌握幂的运算法则，理解定义新运算的运算．
4．（2023·河北邯郸·统考一模）新定义：如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”．
(1)验证：嘉嘉说：是“4倍数”，琪琪说：也是“4倍数”，判断他们谁说得对？
(2)证明：设三个连续偶数的中间一个数是（n是整数），写出它们的平方和，并说明它们的平方和是“4倍数”．
【答案】(1)嘉嘉说的对
(2)，说明见解析

【分析】（1）通过计算结合“4倍数”的概念求解即可；
（2）设三个连续偶数分别为，，，然后通过计算结合“4倍数”的概念求解即可．
【详解】（1）嘉嘉：，是“4倍数”，
琪琪：，不是“4倍数”．所以嘉嘉说的对．
（2）证明：设三个连续偶数分别为，，，


，
∵n为整数，
∴是“4倍数”．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握乘法公式．
5．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式．例如，．
观察上式可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的．例如，当，即或1时，的值均为0；当，即或0时，的值均为3．
我们给出如下定义：
对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，称是它的对称轴．
例如，关于对称，是它的对称轴．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)多项式的对称轴是 ；
(2)将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴；
(3)若关于x的多项式关于对称，求a的值．
【答案】(1)
(2)，对称轴是
(3)

【分析】（1）配方，整理，根据定义回答即可；
（2）加上9，同时再减去9，配方，整理，根据定义回答即可；
（3）将配成，根据对称轴的定义，对称轴为，根据对称轴的一致性，求即可．
【详解】（1）解：，
∴多项式的对称轴是，
故答案为：；
（2）
∴对称轴是；
（3）




当取任意一对相反数时，多项式的值相等
∴多项式对称轴是 ，即．
【点睛】本题考查了配方法，熟练利用完全平方公式进行配方是解题的关键．
6．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期中）定义：对于任意一个有理数，我们把称作的相伴数．若，则；若，则．例如：．
(1)求，的值；
(2)若，，化简：．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）由新定义列出算式计算即可；
（2）根据新定义列出算式计算．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，，



．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，根据新定义列出算式．

类型五、多项式乘法两边对应相等
【解惑】
（2022春·山东济南·七年级统考期中）在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙错把a看成了，得到结果：．
(1)求出a，b的值；
(2)在（1）的条件下，计算的结果．
【答案】(1)，
(2)

【分析】(1)根据题意可得出，，求出a、b的值即可；
(2)把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则计算即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
，
所以，，，
解得：，；
（2）解：把，代入，得
．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，等式的性质，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键
【融会贯通】
1．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考阶段练习）若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．7
【答案】B
【分析】根据多项式乘多项式的计算法则计算出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘多项式的计算法则．先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）若，则p、q的值是（    ）
A．2， B．， C．，8 D．2，8
【答案】A
【分析】首先把根据多项式乘法法则展开，然后根据多项式的各项系数即可确定p、q的值．
【详解】解：∵，
而，
∴，．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了多项式的乘法法则和多项式各项系数的定义，解题关键就是利用它们确定p、q的值．
3．（2022春·安徽合肥·七年级校考期中）已知(x+a)(x+b)=+mx+12，m、a、b都是整数，那么m的可能值的个数为(    )
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则，求得a+b=m，ab=12，再进行分类讨论，从而解决此题．
【详解】解：(x+a)(x+b)=+bx+ax+ab=+(a+b)x+ab．
∵(x+a)(x+b)=+mx+12，
∴a+b=m，ab=12．
∵m、a、b都是整数，
∴当a=1时，则b=12，此时m=a+b=1+12=13；
当a=-1时，则b=-12，此时m=a+b=-1-12=-13；
当a=2时，则b=6，此时m=a+b=2+6=8；
当a=-2时，则b=-6，此时m=a+b=-2-6=-8；
当a=3时，则b=4，此时m=a+b=3+4=7；
当a=-3时，则b=-4，此时m=a+b=-3-4=-7；
当a=12时，则b=1，此时m=a+b=12+1=13；
当a=-12时，则b=-1，此时m=a+b=-12-1=-13；
当a=6时，则b=2，此时m=a+b=6+2=8；
当a=-6时，则b=-2，此时m=a+b=-6-2=-8；
当a=4时，则b=3，此时m=a+b=4+3=7；
当a=-4时，则b=-3，此时m=a+b=-4-3=-7．
综上：m=±13或±8或±7，共6个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则、分类讨论的思想是解决本题的关键．
4．（2022秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考期中）若，则、的值分别为 _____．
【答案】，
【详解】利用多项式乘多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可．
【分析】解：∵，
∴，，
解得，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等列式是求解的关键，明白乘法运算和分解因式是互逆运算．
5．（2022秋·广西钦州·八年级校考期中）若与的乘积不含的一次项，则的值为__________．
【答案】
【分析】先按多项式乘以多项式法则计算，再按字母x合并同类项，然后根据x的一次项的系数为零计算即可．
【详解】解：∵
又∵与的乘积不含的一次项，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查多项法乘以多项式，已知多项式不含某项求字母值，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键．
6．（2022春·山东烟台·六年级统考期中）若关于的二次三项式能被多项式整除，则的值是_________．
【答案】2
【分析】设二次三项式除以多项式的商式为(x+m)，则=(x+m)，再按多项式法则展开，即可求解．
【详解】解：设二次三项式能被多项式的商式为(x+m)，则
=(x+m)＝x2+(m-2)x-2m，
∴，解得：，
故答案为：2．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式法则，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键．

类型六、多项式中不含项、与项无关
【解惑】
（2022秋·江苏南通·八年级校联考期中）若的展开式中不含和项，求：
(1) 的值．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，由结果不含和项，列方程求出与的值即可，
（2）把与的值代入求值．
【详解】（1）


∵原式展开式中不含项和项，
∴
解得．
（2）


当时，
原式
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项的定义，能得出关于的方程是解此题的关键．

【融会贯通】
1．（2020秋·四川凉山·八年级校考期中）若与的乘积中不含x的一次项,则m的值为（    ）
A．+0 B．1 C．3 D．
【答案】D
【分析】根据题意列出式子，再根据多项式乘多项式的乘法法则进行化简，令不含x项的系数为0即可就出m的值．
【详解】解：由题意可得：，
，
∵乘积中不含x的一次项，
，

故选：D．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式的法则及多项式的次数与系数的概念，注意不含某一项就让含此项的系数等于0．
2．（2022秋·广西南宁·八年级南宁三中校考期中）关于的代数式的化简结果中不含的一次项，则的值为______．
【答案】2
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x的一次项，求出m的值即可．
【详解】解：，
由结果不含x的一次项，得到，
解得：．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2020秋·重庆九龙坡·八年级重庆市杨家坪中学校考期中）已知的乘积项中不含和x项，则______．
【答案】6
【分析】先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；不含某一项就是说这一项的系数为0；即可求解．
【详解】


∵乘积项中不含x2和x项，
∴，
∴，
∴
故答案为：6
【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，解题的关键是合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同，不含某一项就是说这一项的系数为0．
4．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）已知多项式与的乘积不含和两项．求代数式的值．
【答案】2
【分析】先计算，根据乘积不含和两项，求出的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：，
；
∵乘积不含和两项，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查多项式乘积不含某项的问题．熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键．
5．（2022春·四川广元·七年级校考期中）关于的代数式化简后不含项与常数项， 且，求的值．
【答案】
【分析】将化简，根据化简后不含项与常数项，得到，求出，代入，得到，变形得到，再代入，整理即可得到答案．
【详解】解：

∵代数式化简后不含项与常数项，
∴，
得，
∵，
∴，
∴，
∴




．
【点睛】此题考查了多项式不含某项字母的值，已知式子是值求代数式的值，整式的多项式乘以多项式计算法则，熟练掌握多项式不含某项字母的值即为该项的系数为零是解题的关键．
6．（2021春·浙江绍兴·七年级校考期中）已知代数式化简后，不含有项和常数项．
(1)求，的值．
(2)求的值．
【答案】(1)0.5；
(2)

【分析】（1）先算乘法，合并同类项，即可得出关于、的方程，求出即可；
（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【详解】（1）解：

，
∵代数式化简后，不含有项和常数项．，
∴，，
∴，；
（2）∵，，
∴



．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．
类型七、多项式与多项式的几何应用
【解惑】
（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成小块，除阴影部分A，B外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为．

(1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________．（用含的代数式表示）
(2)分别用含，的代数式表示阴影部分A，B的面积．
(3)当取何值时，阴影部分A与阴影部分的面积之差与的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分的面积之差．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，阴影部分与阴影部分的面积之差与的值无关；

【分析】（1）由图形可直接填空；
（2）由长方形面积公式结合图形即可解答；
（3）计算出，即得出当时，阴影部分A与阴影部分的面积之差与的值无关，求出y的值，即得出阴影部分A与阴影部分的面积之差．
【详解】（1）由图可知每个小长方形较长一边长为．
故答案为：；
（2），
．
（3），               
，      
当时，阴影部分A与阴影部分的面积之差与的值无关，
解得：．
∴．
【点睛】本题主要考查列代数式，整式混合运算的应用．利用数形结合的思想是解题关键．
【融会贯通】
1．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形．则需要A类卡片_________张，类卡片_________张，类卡片_________张．

【答案】2；3；7
【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量．
【详解】解：长为，宽为的矩形面积为：
，
∵A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为，
∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张．
故答案为：2；3；7．
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是________．

【答案】
【分析】根据大长方形的面积个小长方形或正方形的面积公式进行解答．
【详解】解：根据题意，得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用数形结合与多边形的面积解答是解题的关键．
3．（2022秋·四川宜宾·八年级统考期中）如图1，在一张长方形纸板的四角各切去一个大小相同的正方形，然后将四周折起，制成一个高为的长方体无盖纸盒（如图2）．已知纸盒的体积为，底面长方形的宽为．

(1)求原来长方形纸板的长；
(2)现要给这个长方体无盖纸盒的外表面贴一层包装纸，一共需要多少平方厘米的包装纸？
【答案】(1)厘米
(2)平方厘米

【分析】（1）根据长方体的体积公式进行计算即可；
（2）根据长方体的表面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：
厘米，
厘米，
答：这张长方形纸板的长为厘米；
（2）解：

（平方厘米），
答：一个这样的纸盒需要用平方厘米的红色包装纸．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，认识立体图形，熟练掌握长方体的体积公式和表面积公式是解题的关键．



4．（2022秋·重庆万州·八年级重庆市万州新田中学校考期中）如图周长为的长方形把长截去剩下的面积比宽截去剩下的面积多，求原长方形的面积．

【答案】长方形的面积是
【分析】设圆长方形的长是，则宽是．根据把长截去剩余的面积刚好比把宽截去剩余的面积多，即可列方程求得x的值，进而求得宽，则面积即可求解．
【详解】解：设圆长方形的长是，则宽是．
根据题意得：，
∴，
解得：，
则宽是，
则长方形的面积是．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，整式的乘法运算，正确列出方程是解题的关键．
5．（2021秋·上海嘉定·七年级统考期中）如图，两个形状大小相同的长方形和长方形，其中，，且．

(1)图1中阴影部分的面积为 ．（用代数式表示）
(2)如图2，分别连接，试比较的面积与的面积的大小，并说明理由．
(3)求图2中阴影部分的面积，写出解题过程．（用代数式表示）
【答案】(1)
(2)，理由见详解
(3)

【分析】（1）两个形状大小相同的长方形和长方形，可知，由此可求出阴影部分的面积；
（2）的面积是，的面积是，由此即可求解；
（3）阴影部分的面积是梯形的面积减去，再减去，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据图示可知，，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：．
（2）解：根据图示可知，，，，
，，
∵，
∴．
（3）解：，，，
∴阴影部分的面积为，即，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题主要考查整式的乘除法与图形面积的计算，掌握图形面积的计算公式，整式的混合运算是解题的关键．



6．（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）如图1，利用两种不同的方法计算这个图形的面积，可以得到一个等式：．

(1)如图②，可得等式：______；
(2)根据（1）所得等式，若，，则_____；
(3)图③中的纸片（足够多）．利用3张边长为a的正方形，2张边长b为的正方形，5张边长分别为a、b的长方形拼出一个长方形，那么这个长方形较长的边长为______，请您画出这个长方形的拼图．
【答案】(1)
(2)26
(3)，画图见解析

【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
（2）根据（1）中的等式，进行变形，求出所求式子的值即可；
（3）根据题意知图形的面积是，列出关系式，即可确定出长方形较长的边．
【详解】（1）由图②可知：正方形的边长为，各部分面积分别是：，，，，，．
∴
故答案是：；
（2）∵，，
∴，
故答案是：26；
（3）根据题意得：，
画图如下：

则较长的一边为，
故答案是：．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，弄懂图形的面积的不同表示方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
类型八、多项式中的归纳与规律
【解惑】
（2022春·山东枣庄·七年级校考期中）（1）你能求出（a﹣1）（+a+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．
（a﹣1）（a+1）＝　 　；
（a﹣1）（+a+1）＝　 　；
（a﹣1）（+a+1）＝　 　；
由此我们可以得到：（a﹣1）（+…+a+1）＝　 　．
（2）利用（1）的结论，完成下面的计算：
+2+1．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）先根据多项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项即可；
（2）根据得出的规律求出即可．
【详解】解：（1）（a-1）（a+1）= -1，
（a-1），
（a-1），
（a-1）（+…+a+1）=，
故答案为：
（2）+2+1
=（2-1）×（+2+1）
=．
【点睛】本题考查了整式的乘法，平方差公式、数字的规律问题，能根据算式得出规律是解此题的关键．
【融会贯通】
1．（2021春·山东青岛·七年级校考期中）观察下列各式的规律：



…
可得到___________．
【答案】
【分析】发现规律，根据规律即可得到计算结果．
【详解】根据规律可得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，发现规律是解题的关键．
2．（2022秋·宁夏吴忠·八年级校考期中）观察根据规律_____________．
【答案】##
【分析】根据题目中的规律可看出，公式左边的第一项为，公式左边的第二项为的次幂开始降次排序，系数都为，公式右边为即可．
【详解】解：由题目中的规律可以得出，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式多项式乘以多项式的相关规律探究，掌握题目中的规律探究是解题的关键．

3．（2022秋·广东江门·八年级江门市怡福中学校考期中）观察下列各式：



(1)根据以上规律，则___________．
(2)你能否由此归纳出一般规律___________．
(3)根据以上规律求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据给出式子的规律书写即可；
（2）根据给出式子的规律即可得出结果；
（3）根据（2）中的规律计算即可；
【详解】（1）∵，
，
，
∴；
故答案是：．
（2）根据题意得：；
故答案是：；
（3）∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了多项式乘法的规律题，准确计算是解题的关键．


4．（2022秋·上海闵行·七年级统考期中）阅读材料：
在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？
要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项系数就是：，即一次项为．
参考材料中用到的方法，解决下列问题：
(1)计算所得多项式的一次项系数为　　．
(2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值；
(3)如果，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）直接根据材料中的方法，求多项式的一次项系数即可；
（2）先利用材料中的方法，求一次项的系数，然后其系数等于零求解即可；
（3）求即多项式中一次项的系数，利用材料中的方法计算即可．
【详解】（1）解：一次项系数为，
故答案为：；
（2）解：根据题意，得一次项系数，
解得；
（3）解：的一次项系数为，
．
【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘法运算，准确理解并掌握题目中的求多项式的某次项的系数的方法是解答此题的关键．




5．（2022春·辽宁朝阳·七年级校考期中）观察下列各式：



……
根据你发现的规律解答下列各题：
(1)直接写出结果：_________________；
(2)若n是正整数，且，则_____________；
(3)根据你发现的规律，计算的值．
【答案】(1)x5+x4+x3+x2+x+1
(2)xn-1+…+x2+x+1
(3)22023﹣1

【分析】（1）利用发现的规律填写即可
（2）利用发现的规律填写即可
（3）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果
（1）
解：原式= x5+x4+x3+x2+x+1
故答案为：x5+x4+x3+x2+x+1
（2）
解：原式= xn-1+…+x2+x+1
故答案为：xn-1+…+x2+x+1
（3）
解：

【点睛】本题考查了整式的除法，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解题关键．解题时要注意：

6．（2022春·安徽·七年级校考期中）计算：
(1)，
，
______，
…
猜想：______，
(2)根据以上结果，试写出下面两式的结果
①______，
②______，
(3)利用以上结论求值：．
【答案】(1)，
(2)①；②
(3)

【分析】（1）先利用多项式乘以多项式法则计算，再归纳类推出一般规律即可得；
（2）①将代入即可得；
②根据即可得；
（3）将所求的式子变形为，利用（1）中的规律进行计算即可得．
（1）
解：

，
则猜想：，
故答案为：，．
（2）
解：①，
故答案为：；
②因为当时，，
，
故答案为：．
（3）
解：



．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．

类型九、平方差的几何应用
【解惑】
（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解数学问题．

(1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1：______；图2：______；图3：______．
其中，完全平方公式可以从“形”的角度进行探究，通过图形的转化可以解决很多数学问题，在图4中，已知，，求的值．
解：∵，∴，
又∵，∴，
∴.即．
类比迁移：
(2)若，则______；
(3)如图5，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，阴影部分面积为______．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)12．

【分析】（1）根据阴影部分面积的不同表示方式，列式后即可得出能解释的数学公式；
（2）将和看作是整体，然后利用完全平方公式变形，化简后整体代入求解即可；
（3）设，则，根据可得，然后根据列式求出，进而可得答案．
【详解】（1）解：图1中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为，
故可得：；
图2中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为，
故可得：；
图3中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为，
故可得：
故答案为：，，；
（2）解：∵，
∴



，
故答案为：28；
（3）解：设，则，
∵两正方形的面积和，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，灵活运用乘法公式是解题的关键．

【融会贯通】
1．（2022春·山东青岛·七年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）如图，有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形A和正方形B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为6，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积为（　　）

A．14 B．12 C．24 D．22
【答案】A
【分析】设正方形纸片A和B的边长分别为：a，b，由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，整体代入即可得出答案．
【详解】解：设正方形纸片A和B的边长分别为：a，b，
由图1可知，阴影部分面积，
图2可知，阴影部分面积，
所以，
由图3可知，阴影部分面积．
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景以及整式的加减，利用公式是解决问题的关键．
2．（2023春·广东汕头·七年级汕头市金禧中学校考期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别列式表示．
【详解】解：根据两个图形中阴影部分的面积相等得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查如何根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别列式表示即可求出结果．
3．（2021春·河南郑州·七年级校考期中）4张长为a，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则a，b满足的关系式是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用含有a、b的代数式分别表示，，再根据，整理可得结论．
【详解】解：由题意可得：；




；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，数形结合并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级兵团二中校考期中）如图1，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形，然后将图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．

(1)上述操作能验证的等式是______（用，表示）；
(2)请利用你从（1）得出的等式，完成下列各题：
①已知，，则______；
②计算：．
【答案】(1)
(2)①；②

【分析】（1）图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，图2阴影部分是长为，宽为的长方形，可表示其面积，由两种方法所求的面积相等可得答案；
（2）①根据平方差公式将转化为，再根据，进而求出的值；
②利用平方差公式将原式化为，进而得出即可．
【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
由图1、图2的面积相等得，，
故答案为：；
（2）解：①，
，
又，
，
故答案为：3；
②原式


．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
5．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．

(1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请用含a、b的代数式表示∶______，______（只需表示，不必化简）；
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______
(3)运用（2）中得到的公式，计算∶．
【答案】(1)，
(2)
(3)1

【分析】（1）结合图形写出此题结果；
（2）结合（1）题结果，可得乘法公式；
（3）将变形为，再运用平方差公式进行计算．
【详解】（1）解：由题意得，，，
故答案为：，；
（2）解：由（1）题结果，可得乘法公式，
故答案为：；
（3）解：



．
【点睛】此题考查了平方差乘法公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确列式、计算、归纳．






6．（2022秋·上海奉贤·七年级统考期中）阅读以下材料，并解答问题．

阅读一：画与三角形面积相等的长方形．
(1)如图1，已知，①画边上的高；②取线段的中点E；③以为边画长方形，使得那么长方形的面积等于的面积．
根据“阅读一”，如果，那么长方形的面积=______．
阅读二：画与长方形面积相等的正方形．
如图2，已知长方形，①延长，截取；
②以的中点O为圆心，为半径作半圆；
③过点F画 的垂线，交半圆于点I；④以为边画正方形那么正方形的面积等于长方形的面积．
(2)根据“阅读二”，设，如果等面积的正方形边长为5，请猜想a、b的数量关系并加以说明；
(3)根据“阅读一”由画出它的等面积长方形，在长方形的基础上，再根据“阅读二”画出等面积正方形FIJK，设，当H为的中点时，m、n的数量关系为：______．
【答案】(1)16
(2)；证明见解析
(3)

【分析】（1）由长方形的面积等于的面积可得答案；
（2）根据，得，，而等面积的正方形边长为5，有，故；
（3）求出，由H为的中点，得，而，即得，从而．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵长方形的面积等于的面积，
∴，
故答案为：16；
（2）解：；
证明：∵，
∴，，
∵等面积的正方形边长为5，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵长方形的面积等于的面积，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵H为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的运算，涉及三角形，长方形，正方形的面积，解题的关键是读懂题意，利用等面积列出所需等式．

类型十、完全平方的几何应用
【解惑】
（2023春·全国·七年级期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到三者之间的等量关系式：________﹔

【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，
如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：．
利用上面所得的结论解答下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】[知识生成]（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]（1）25；（2）90
【分析】[知识生成]利用面积相等推导公式（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]利用体积相等推导；
（1）应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可；
（2）应用知识生成的公式，进行变形，由知识迁移的等式可得结论．
【详解】[知识生成]
方法一：已知边长直接求面积为（a-b）2；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴面积为（a+b）2-4ab，
∴由阴影部分面积相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；
故答案为：（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知识迁移]
（1）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，
可得（x-y）2=（x+y）2-4xy，
∵x+y=6，xy=，
∴（x-y）2=62-4×，
∴（x-y）2=25，
（2）∵a+b=6，ab=7，
∴a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）=216-3×7×6=90．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．

【融会贯通】
1．（2021春·四川成都·七年级校考期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：．

(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来．
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式；
（2）利用（1）中的等式变形后，直接代入求得答案即可；
【详解】（1）；
（2）∵，，
∴；
【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．
2．（2020秋·江苏扬州·七年级校联考期中）图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的方法拼成一个边长为的正方形．

(1)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
方法： ；
方法： ．
(2)观察图写出，，三个代数式之间的等量关系： ．
(3)根据（）中你发现的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)

【分析】（1）一种方法是先用m、n表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示；另一种方法是先表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；
（2），，三个代数式别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积-四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系；
（3）由（2）得出的关系式变形，再代入求值即可得结果．
【详解】（1）根据图形可得：
方法：；
方法：．
故答案为：，．
（2）由阴影部分的两个面积代数式相等，
可得： ．
故答案为：．
（3）∵，，


．
【点睛】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．






3．（2022春·广东深圳·七年级校考期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：

(1)图中阴影部分的正方形的边长是______．
(2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积：
方法：______；方法：______．
(3)观察图，请你写出、、之间的等量关系是______．
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，则______．
【答案】(1)；
(2)，
(3)；
(4)14．

【分析】（1）由拼图可直接得出答案；
（2）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去个长为，宽为的长方形面积即可；
（3）由（2）两种方法所表示的面积相等可得答案；
（4）由（3）的结论代入计算即可．
【详解】（1）由拼图可得，图中阴影部分的正方形的边长为，
故答案为：；
（2）方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去个长，宽为的长方形面积，即
故答案为：，
（3）由（2）得，，
故答案为：；
（4），，

    
          
，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．
4．（2022秋·福建泉州·八年级校联考期中）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．

(1)图2中的空白部分的正方形的边长是多少？（用含a，b的式子表示）
(2)已知，，求图2中空白部分的正方形的面积．
(3)观察图2，用一个等式表示下列三个整式：，，ab之间的数量关系．
(4)拓展提升：当时，求．
【答案】(1)
(2)25
(3)
(4)68

【分析】（1）通过观察图形发现空白部分的正方形的边长是a−b；
（2）图2中空白部分的正方形的面积＝大正方形的面积−4个小长方形的面积，从而求得空白部分的正方形面积；
（3）通过观察图2发现，大正方形的面积＝空白部分的正方形面积＋阴影的面积，从而得到三个式子之间的数量关系；
（4）把（x−10）看作a，把（20−x）看作b，然后运用（3）中的数量关系（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab，求得（a−b）2即（2x−30）2的值．
【详解】（1）解：图2中的空白部分的正方形的边长＝a−b．
（2）解：图2中空白部分的正方形的面积＝大正方形的面积−4个小长方形的面积
＝（a＋b）2−4ab
＝102−4×3
＝100−12
＝88．
（3）解：图2中大正方形的面积＝（a＋b）2，
空白部分的正方形面积＝（a−b）2，
阴影的面积＝4ab，
∵图2中大正方形的面积＝空白部分的正方形面积＋阴影的面积，
∴（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab．
（4）解：∵（x−10）＋（20−x）＝x−10＋20−x＝10，
∴[（x−10）＋（20−x）]2＝100，
由（3）的结论可知，
[（x−10）＋（20−x）]2＝[（x−10）−（20−x）]2＋4（x−10）（20−x），
把[（x−10）＋（20−x）]2＝100，（x−10）（20−x）＝8代入，
得100＝[（x−10）−（20−x）]2＋4×8，
100＝（x−10−20＋x）2＋32，
68＝（2x−30）2，
即（2x−30）2＝68．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形面积探究发现（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab，进而运用结论进行计算，是对学生探索发现结论并运用结论的能力的考查．




5．（2021春·山东青岛·七年级华东师范大学青岛实验中学校考期中）【知识生成】
通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：

(1)图②中阴影部分的正方形的边长是___________________．
(2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1：________________________．
方法2：________________________．
(3)观察图②，请你写出、、之间的等量关系是_________________．
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：
若，，则_________________．
(5)【知识迁移】
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
根据图③，写出一个代数恒等式：________________________．
(6)已知，，利用上面的规律求的值．
【答案】(1)
(2)；
(3)
(4)
(5)
(6)

【分析】（1）由图直接求得边长即可，
（2）已知边长直接求面积，阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，可得答案，
（3）利用面积相等推导公式；
（4）利用（3）中的公式求解即可，
（5）利用体积相等推导；
（6）应用（5）中的公式即可．
【详解】（1）解：由图直接求得阴影边长为；
故答案为：；
（2）方法一：已知边长直接求面积为；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴面积为；
故答案为；；
（3）由阴影部分面积相等可得；
故答案为：
（4）由，
可得，
∵，，
∴ ，
∴ ；
故答案为：；
（5）方法一：正方体棱长为a+b，
∴体积为，
方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，
即，
∴；
故答案为；
（6）∵；
将，，代入得：

；

【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义；同时考查对公式的熟练的应用，能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
6．（2022春·贵州·七年级校联考期中）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)观察图2，请你写出下列三个代数式 (a+b)2，(a-b)2，ab之间的等量关系为 ．
(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn=-3，m-n=4，试求(m+n)2的值．
(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和S1+S2=38，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)(a+b) 2=(a-b)2+4ab
(2)2或-2
(3)

【分析】（1）利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式；
（2）由（1）得到的关系式求解即可；
（3）设AC=m，BC=n，则m+n=8，m2+n2=38，由（1）得到的关系式求解即可．
（1）
由图形面积得(a+b)2=(a-b)2+4ab，
故答案为：(a+b) 2=(a-b)2+4ab；
（2）
由（1）题所得(a+b)2=(a-b)2+4ab，
∴(m+n)2=(m-n)2+4mn，
∴当mn=-3，m-n=4时，
(m+n)2=42+4×(-3)=4，
∴m+n=2或-2；
（3）
设AC=m，BC=n，
则m+n=8，m2+n2=38，
又由(m+n)2=m2+2mn+n2，得
，
∴图中阴影部分的面积为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何意义，关键是能用算式表示图形面积并进行拓展应用．
类型十一、平方差与完全平方的巧算
【解惑】
利用乘法公式简算：
（1） 1102－109×111 （2）98 （3）(x+3y+2)(x—3y+2)
【答案】(1)1；（2）9604；（3）x2+4x+4-9y2．
【详解】试题分析：（1）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用完全平方公式展开即可得到结果；
（3）原式利用平方差公式变形，再利用完全平方公式展开即可得到结果．
试题解析：（1）原式=1102-（110-1）×（110+1）=1102-1102+1=1；
（2）原式=（100-2）2=10000-400+4=9604；
（3）原式=（x+2）2-9y2=x2+4x+4-9y2．
考点：整式的混合运算．




【融会贯通】
1．（2023春·七年级课时练习）简算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)999999；
(2)9610；
(3)1；
(4)-2009；
(5)628．

【分析】（1）运用平方差公式简便运算即可；
（2）运用完全平方公式简便运算即可；
（3）部分运用平方差公式简便运算即可；
（4）部分运用平方差公式简便运算即可；
（5）先提取公因数，然后再运用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：



．
（2）解：



．
（3）解：
＝
＝
＝1.
（4）解：

=
=.
（5）解：
=
=
=
=628.
【点睛】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题额关键．
2．（2022春·辽宁沈阳·七年级统考期末）简算：
【答案】
【分析】先逆用平方差公式将分子变为两个多项式相乘，化简分子，再化简分数即可．
【详解】解：，
原式


．
【点睛】本题考查平方差公式的逆用，能够熟练逆用平方差公式是解决本题的关键．
3．（2022秋·八年级单元测试）简算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）将化为，利用平方差公式计算即可；
（2）将化为，利用平方差公式计算，再计算加减即可．
【详解】（1）解：




（2）解：



【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握并应用平方差公式计算是解答本题的关键．
4．（2021秋·山东德州·八年级校联考阶段练习）用乘法公式简算
（1）199×201；
（2）20132﹣2014×2012．
【答案】（1）39999；（2）1
【分析】（1）根据平方差公式即可求解；
（2）根据平方差公式即可求解．
【详解】（1）原式=（200-1）×（200+1）
=2002-12
=40000-1
=39999；
（2）20132﹣（2013+1）×（2013-1）
=20132-20132+1
=1．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握平方差公式是解题的关键．

5．（2021秋·八年级课时练习）巧算：．
【答案】
【分析】将原式变形后，利用平方差公式计算即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝．．．
＝．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6．（2019春·辽宁沈阳·七年级统考期末）利用乘法公式简算：（x+1）（x-1）（2x2+2）
【答案】2x4-2．
【分析】先根据平方差公式进行计算，并提取公因式2，再根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：(x+1)(x-1)(2x2+2)
=2(x2-1)(x2+1)
=2(x4-1)
=2x4-2．
【点睛】本题考查了平方差公式，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键，(a+b)(a-b)=a2-b2