湘豫名校联考2023届高三4月二模理科数学试题（含答案）

湘豫名校联考2023届高三4月二模理科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．某电影制片厂从2013年至2022年生产的纪录影片、科教影片的时长（单位；分钟）如图所示，则（    ）

A．该电影制片厂2013年至2022年生产的纪录影片时长的中位数为270分钟

B．该电影制片厂2013年至2022年生产的科教影片时长的平均数小于660分钟

C．该电影制片厂2013年至2022年生产的科教影片时长的标准差大于纪录影片时长的标准差

D．该电影制片厂2013年至2022年生产的科教影片时长的极差是纪录影片时长的极差的4倍

4．已知抛物线的准线为，圆与抛物线交于两点，与交于，两点，则由四点所围成的四边形的周长为（    ）

A．20 B．24 C．28 D．32

5．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

6．如图，网格纸上用粗实线绘制了一个几何体的三视图，每一个小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

7．已知等差数列满足，，则（    ）

A．25 B．35 C．40 D．50

8．执行如图所示的程序框图，输出的（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

9．已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.则在上的值域为（    ）

A． B． C． D．

10．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

11．已知圆台的母线长为，，分别为上、下底面的圆心，上、下底面的半径分别为，，且，则当该圆台的体积最大时，其外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上一点，点，且，，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为______.

14．若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为______.

15．已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为______.

16．设锐角三角形的内角 ，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是______.

三、解答题

17．在数列中，，.

(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

18．如图所示，在三棱柱中，点，，，分别为棱，，，上的点，且，，，.

(1)证明：平面；

(2)若，，四边形为矩形，平面平面，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

19．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用2米长的吸管成功喝到了芒果汁.这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识比赛，比赛规则：每组两个班级，每个班级各派出3名同学参加比赛，每一轮比赛中每个班级派出1名同学代表其所在班级答题，两个班级都全部答对或者都没有全部答对，则均记0分；一班级全部答对而另一班级没有全部答对，则全部答对的班级记1分，没有全部答对的班级记分，三轮比赛结束后，累计得分高的班级获胜.设甲、乙两个班级为一组参加比赛，每轮比赛中甲班全部答对的概率为，乙班全部答对的概率为，甲、乙两班答题相互独立，且每轮比赛互不影响.

(1)求甲班每轮比赛得分、0分、1分的概率；

(2)两轮比赛后甲班得分为，求的分布列和数学期望；

(3)求甲班没有获胜的概率.

20．已知椭圆的离心率为，椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点到直线的距离为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线交椭圆于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，点为的中点，证明：直线的斜率为定值.

21．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，动点到定点的距离为，记动点的轨迹为曲线.

(1)求直线的普通方程，曲线的直角坐标方程与极坐标方程；

(2)设点，且直线与曲线交于，两点，求的值.

23．设函数.

(1)作出函数的图象，并求的值域；

(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.

参考答案：

1．D

2．D

3．C

4．B

5．A

6．B

7．A

8．C

9．C

10．B

11．D

12．A

13．

14．

15．

16．

17．(1)证明见解析；；

(2)

18．(1)证明见解析；

(2)

19．(1)

(2)分布列见解析；

(3)

20．(1)

(2)

21．(1)

(2)

22．(1)；；.

(2)6

23．(1)图象见详解，.

(2)