中考数学总复习第2讲 角平分线的性质与判定难点解析与训练

第2讲  角平分线的性质与判定

考点·方法·破译

1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.

2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.

经典·考题·赏析

【例１】如图，已知OD平分∠AOB，在OA、OB边上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD.求证：PM＝PN

【解法指导】由于PM⊥BD，PN⊥AD.欲证PM＝PN只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD与△OAD全等即可.

证明：∵OD平分∠AOB  ∴∠1＝∠2

      在△OBD与△OAD中，    ∴△OBD≌△OAD

      ∴∠3＝∠4     ∵PM⊥BD，PN⊥AD     所以PM＝PN

【变式题组】

01．如图，CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证：点P在∠BAC的平分线上.

02．如图，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P是BD延长线上的一点，PM⊥AD，PN⊥CD.求证：PM＝PN

【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝(AB＋AD)，如果∠D＝120°，求∠B的度数

【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE⊥AB，联想到可作CF⊥AD于F，得CE＝CF，AF＝AE，又由AE＝(AB＋AD)得DF＝EB，于是可证△CFD≌△CEB，则∠B＝∠CDF＝60°.或者在AE上截取AM＝AD从而构造全等三角形.

解：过点C作CF⊥AD于点F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，点C是AC上一点，

∴CE＝CF

    在Rt△CFA和Rt△CEA中，  ∴Rt△ACF≌Rt△ACE  ∴AF＝AE

    又∵AE＝(AE＋BE＋AF－DF)，2AE＝AE＋AF＋BE－DF，∴BE＝DF

    ∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠F＝∠CEB＝90°

    在△CEB和△CFD中，，∴△CEB≌△CFD

    ∴∠B＝∠CDF   又∵∠ADC＝120°，∴∠CDF＝60°，即∠B＝60°.

【变式题组】

01．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AC＝5，BC＝3.求

02．(河北竞赛)在四边形ABCD中，已知AB＝a，AD＝b.且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问a与b的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180°，请画图并证明你的结论.

【例３】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE＝BD

【解法指导】由于BE平分∠ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形.

证明：延长CE交BA的延长线于F，∵∠1＝∠2，BE＝BE，∠BEF＝∠BEC

∴△BEF≌△BEC(ASA)  ∴CE＝EF，∴CE＝CF   ∵∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝90°，

∴∠1＝∠3

在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF 

 ∴BD＝CF    ∴CE＝BD

【变式题组】

01．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD.

02．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.

⑴请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由；

⑵求证：AE＋CD＝AC.

演练巩固·反馈提高

01．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则△ABD的面积是（    ）

A．mn    B．mn   C． mn    D．2 mn

02．如图，已知AB＝AC，BE＝CE，下面四个结论：①BP＝CP；②AD⊥BC；③AE平分∠BAC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的结论个数有（    ）个

A． 1    B．2    C．3    D．4

03．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（    ）

A． ①③   B．②③    C．①②    D．①②③

04．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③AD⊥BC且BD＝CD；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的是（    ）

A．②③    B．②④    C．②③④   D．①②③④

05．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB的度数为（    ）

A．50°    B．45°    C．40°    D．35°

06．如图，P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，给出下列结论：①AD＝AF；②AB＋EC＝AC＋BE；③BC＋CF＝AB＋AF；④点P是△ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是（   ）

A．①②③④   B．①②③   C．①②④   D．②③④

07．如图，点P是△ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（    ）

A．点P到△ABC三边的距离相等   B．点P在∠ABC的平分线上

C．∠P与∠B的关系是：∠P＋∠B＝90° D．∠P与∠B的关系是：∠B＝∠P

08．如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD与CD相交于D.给出下列结论：①点D到AB、AC的距离相等；②∠BAC＝2∠BDC；③DA＝DC；④DB平分∠ADC.其中正确的个数是（    ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

09．如图，△ABC中，∠C＝90°AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，下列结论中：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③ DE平分∠ADB；④AB＝AC＋BE.其中正确的个数有（    ）

A．3个    B．2个    C．1个    D．4个

10．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是_________

11．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.求证：BE＝CF

12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AD⊥EF.

培优升级·奥赛检测

01．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（    ）

A．一处    B．二处    C．三处    D．四处

02．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD:CD＝9:7，则D到AB边的距离为（    ）

A．18    B．16    C．14    D．12

03．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC＝3cm，DB＝4cm，AD＝8cm.DP的长为x(cm)，那么x的范围是__________

04．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF＝PG＝PE，则∠BPD＝__________

05．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，且OE＝2，则两平行线AB、CD间的距离等于__________

06．如图，AD平分∠BAC，EF⊥AD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：∠G＝(∠ACB－∠B)

07．如图,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:AB－AC＞DB－DC

08．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP