中考数学总复习第4讲.特殊三角形之等腰三角形.尖子班.学生版x难点解析与训练
展开等腰？
定 义 | 示例剖析 |
等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 如图，是等腰三角形， 则①、是该三角形的腰. ②是该三角形的底边. ③、是该三角形的底角， 且. ④是该三角形的顶角. |
， |
等腰三角形的性质： ⑴ 两腰相等． ⑵ 两底角相等（等边对等角）． ⑶ “三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． ⑷ 是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． |
是等腰三角形， ①若，则， ； ②若，则， ； ③若，则，. |
等腰三角形的判定方法： ⑴有两条边相等的三角形是等腰三角形． ⑵有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．
| 若或，则是等腰三角形. |
易错点：注意分类讨论，并舍去不符合条件的情况． | |
【例1】 ⑴ 如图，中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
⑵ 的一个内角的大小是，且，那么的外角的大小是( )
A． B．或 C． 或 D． 或
⑶如图，内有一点，且，若，，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【例2】 ⑴等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，则这个等腰三角形的底边的长为（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
⑵如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为_________．
【例3】 如图1，，、分别平分、．问：
⑴ 图1中有几个等腰三角形？
⑵ 过点作∥，交于，交于，如图2，图中又增加了几个等腰三角形?
⑶ 如图3，若将题中的改为不等边三角形，其它条件不变，图中有几个等腰三角形? 线段与、有什么关系?
⑷ 如图4，平分，平分外角.∥交于，交于．线段与、有什么关系?
⑸ 如图5，、为外角、的平分线，∥交延长线于，交延长线于，线段与、有什么关系?
【例4】 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
⑴求证：DE平分∠BDC；
⑵若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．
定 义 | 示例剖析 |
等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形． | 如图△ABC中，则△ABC是等边三角形. |
等边三角形的性质： 三边都相等，三个内角都相等，并且每一个角都等于．
|
如图，是等边三角形，则 |
等边三角形的判定： ⑴三条边都相等的三角形是等边三角形． ⑵三个角都相等的三角形是等边三角形． ⑶有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
| 若，则是等边三角形 若，则是等边三角形 若（或，或），则是等边三角形 |
【引例】下面给出的五种三角形：①所有外角都相等的三角形；②三边上的高都相等的三角形；③有两个角是的三角形；④有一个角是的等腰三角形；⑤以等边三角形三边中点为顶点的三角形．其中是等边三角形的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解析】 D. 点拨：所给五个命题都可通过证明得到它们都是等边三角形．
【例5】 ⑴如下左图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、AC边上，且AD=CE，BE、CD交于P点，则图中的角共有（ ）
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
⑵如下右图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A. B. C. D.不能确定
【例6】 数学课上，李老师出示了如下框中的题目.
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
⑴特殊情况，探索结论
当点为的中点时，如图1确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：
（填“”,“”或“=”）.
⑵特例启发，解答题目
解：题目中，与的大小关系是： （填“”,“”或“=”）.理由如下：如图2，过点作，交于点.（请你完成以下解答过程）
⑶拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且.若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）.
【例7】 是一个钢架，，在其内部添加一些钢管，，，，，…
添加的钢管长度都与相等．
⑴当添加到第五根钢管时，求的度数．
⑵假设、足够长，能无限地添加下去吗?如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根?
训练1. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为，则该三角形的一个底角为( )
A． B． C．或 D．或
训练2. 已知中，，点、在上，且，，求.
训练3. 已知等腰三角形的高与三角形一边的夹角为，求三角形的三个内角．
训练4. 已知如图，在正所在平面上找点使、、同时为等腰三角形，作出这些点．
知识模块一 等腰三角形 课后演练
【演练1】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底边长．
【演练2】 ，，如果恰好是等腰三角形，试求、的值．
【演练3】 如图，在中，与的角平分线相交于点，过作，交于，交于，若，则线段之长为 ．
知识模块二 等边三角形 课后演练
【演练4】 在中，如果只给出条件，那么还不能判定是等边三角形，给出下面四种说法：
① 如果再加上条件“”，那么是等边三角形；
② 如果再加上条件“”，那么是等边三角形；
③ 如果再加上条件“是的中点，且”，则是等边三角形；
④ 如果再加上条件“、边上的高相等”，那么是等边三角形．
其中正确的说法有 （把你认为正确的序号全部填上）．
【演练5】 已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的有（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
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