中考数学总复习第5讲 等边三角形难点解析与训练

第5讲   等边三角形

考点 方法 破译

1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；

2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；

3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．

经典  考题  赏析

【例1】如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上．AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．

    (1)求证：△ACE≌△DCB;

    (2)求∠AFD的度数；

    (3)判断△CMN的形状

    【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题．解：(1)∵等边三角形DAC与等边三角形EBC ∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°

∴  ∠ACE＝∠DCB

   ∴在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB

(2) ∵∠ACE≌∠DCB, ∴∠1＝∠2

又∵∠1＋∠DFA＝＝∠2＋∠ACD    ∴∠AFD＝∠ACD＝60°

(3) 在△ACM和△DCN中,

∴△ACM≌△DCN ∴CM＝CN 

 又∵∠DCN ＝60°∴△CMN是等边三角形．

【变式题组】

01．(天津)如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，

则∠BAC的大小等于__________  度

02．(荆州)如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．

03．如图，在正△ABC中，D,E分别是BC、AC上的一点，且AE＝CD ．AD与BE相交于点P，且BQ⊥AD于Q．求证BP＝2PQ

04．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q是BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC于D，求DE的长．

【例2】P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，求∠APC的度数

【解法指导】 由于∠PAB ＝∠PAC,因而PA平分∠BAC,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一：在AB边上截取；方法二：延长AC边，又由于∠BPA＝150°是特殊角，考虑∠BPA的完整性，因而取方法二的可能性更大．

解：延长AC到D，使AD＝AB，连接PD、BD,∵∠PBA＝8°∠PAB ＝22°

∴∠BPA＝150°，在△ABP和△ADP中，∴△ABP≌△ADP ∴∠APB＝∠APD ＝ 150°，BP＝DP ,∠PBA＝∠APD ＝8°

∴∠BPD＝60°, ∴△BPD是正三角形

∵∠PBC＝30°   ∴∠PBC＝∠DBC

在△PBC和△DBC中，

∴△PBC≌△DBC , ∴PC＝CD  ∴∠CPD＝∠CDP＝8°

∴∠APC＝∠APD一∠CPD＝150°一8°＝142°

【变式题组】

01．如图，D是等边三角形ABC内一点，E为ABC外部一点，满足DA＝DB，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC．求∠BED的度数．

02．如图．D是△ABC外一点．AB＝AC＝BD＋CD，∠ABD＝60°求∠ACD的度数．

【例3】如图(1)，△ABC等边三角形，△BDC是顶角120°的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB、AC交于点M和N，连接MN．

(1)探究：MN、NC之间的关系，并加以证明;

(2)若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，再探究线段BM、MN、NC之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由

【解法指导】对于(1)，这时在△DMB中，有∠DBM＝∠DBC＋∠CBA＝30°＋60°＝90°

为了把BM，MN，NC集中到一个三角形中去，将△DMB 绕D点顺时针旋转120°得到△DGC．如图(3)．从而有MB＝GC．而此时恰又有△MND≌△GND·得MN＝NG＝NC＋CG＝NC＋BM．对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以推得MN＝CN一BM

  解(1)关系为MN＝BM＋NC

  证明：延长AC到G，使CG＝BM，连接DG，如图(3)

    ∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD＝90°

    在△DMB和△DGC中； DB＝DC．BM＝CG

     ∴△DMB≌△DGC ∴DM＝DG．∠MDB＝∠GDC．

    在△MND和△GND中，ND公用，DM＝DG，∠MDN＝60°

    ∠GDN＝∠GDC＋∠DCN＝∠MDB＋∠CDN＝60°

     ∴△MND≌△GND ∴ MN＝GN＝GC十NC＝BM＋NC

    (2)此时．图形如图(4)，有关系式MN＝CN—BM理由如下：

    在CN上截取GG＝BM．连接DG，如图(4)与(1)中情况类似．可推得

   ∠ABD＝∠ACD＝90°．且Rt△DMB≌△DGC ，得DM＝DG．∠MDB＝∠GDC

仍与(1)中情况娄似，可推得△MND≌△GND．就有MN＝GN＝NC—CG＝NC—BM．

【变式题组】

01．用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成四边形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合．两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转

(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于点E，F时，(如图1)，通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；  

(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于点F时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗，简要说明理由．

02．如图．四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°

求证：AC＝BC＋DC．

巩固练习  反馈提高

01．如图．△ABC是等边三角形，AD⊥BC，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC＝(    )

A 105°   B 85°    C 95°     D 75°

第1题图                        第2题图

02．如图，等边△ABC，D在AC上，延长BC到E．使CE＝CD，若BD＝DE，给出下列结论：① BD平分∠ABC ② AD ＝ AB  ③ CE＝ BC ④∠A＝2∠E，其中正确结论的个数是(    )

A．4个    B 3个     C 2个   D 1个

03．(河北)如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC 上的点，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在A’处，且A’在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________  cm

04．在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°，得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP＝__________．

05．如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，试判断△DEF是否为等边三角形，并说明理由．

06．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) ．

07．如图，点D是等边△ABC边AB上的一点．AB＝3AD，DE⊥BC于点E，AE、CD相交于点F

(1)求证：△ACD≌△BAE：

(2)过点C作CG⊥AE，垂足为点G，探究CF与FG之间的数量关系，并证明．

08．如图：△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC，AE．

求证：△ADE≌△DFC

09．如图：△ABC是等边三角形，点D、E分别在CA、AB的延长线上，   AD＝BE．DB的延长线交EC于F．

求证：(1)DB＝EC；(2) ∠BFC＝60°

10．(常德)如图1，若△ABC与△ADE为等边三角形，M、N分别是EB、CD的中点，易证：CD＝BE，△AMN是等边三角形．

  (1)当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD＝BE是否仍然成立? 若成立请证明，若不成立请说明理由；

  (2) 当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形? 若成立请证明，若不成立请说明理由．