中考数学总复习第06讲 一元一次方程概念和等式性质难点解析与训练

第06讲  一元一次方程概念和等式性质

考点·方法·破译

1．了解一元一次方程、等式的概念，能准确进行辨析．

2．掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用．

经典·考题·赏析

【例１】  下面式子是方程的是(    )

    A．x＋3    B． x＋y＜3    C．2x2 ＋3 ＝0    D．3＋4 ＝2＋5

【解法指导】判断式子是方程，首先要含有等号，然后看它是否含有未知数，只有同时具有这两个条件的就是方程．2x2 ＋3 ＝0是一个无解的方程，但它是方程，故选择C．

【变式题组】

01．在①2x ＋3y －1．②2 ＋5 ＝15－8，③1－x＝x＋l，④2x ＋y＝3中方程的个数是(    )

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

02．（安徽舍肥）在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使乙处工作的人数是甲处工作人数的，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调多少人到甲处，则下列方程正确的是(    )

A． 272＋x＝ (196－x)          B． (272－x)  ＝196 –x

C．×272 ＋x ＝196－x         D． (272 ＋x) ＝196－x

03．根据下列条件列出方程：

⑴3与x的和的2倍是14   ⑵x的2倍与3的差是5   ⑶x的与13的差的2倍等于1

【例２】下列方程是一元一次方程的是(    )

A．x2－2x－3＝0   B．2x－3y＝4    C．＝3    D．x＝0

【解法指导】判断一个方程是一元一次方程，要满足两个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1，只有这样的方程才是一元一次方程．故选择D．

【变式题组】

01．以下式子：①－2 ＋10＝8；②5x ＋3 ＝17；③xy；④x＝2；⑤3x ＝1；⑥＝4x；⑦（a＋b）c＝ac＋bc；⑧ax＋b其中等式有___________个；一元一次方程有___________个．

02．（江油课改实验区）若（m－2）＝5是一元一次方程，则m的值为(    )

A．±2    B．－2    C．2    D．4

03．（天津）下列式子是方程的是(    )

A．3×6＝ 18    B．3x－8    c．5y＋6    D．y÷5＝1

【例3】若x＝3是方程－kx＋x＋5 ＝0的解，则k的值是(    )

A．8    B．3    C．    D．

【解法指导】 方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，所以－3k＋3 ＋5 ＝0，k＝故选择D．

    【变式题组】

01．（海口）x＝2是下列哪个方程的解(    )

A．3x＝2x－1    B．3x －2x＋2 ＝0    C．3x －1 ＝2x＋1    D．3x＝2x－2

02．（自贡）方程3x ＋6 ＝0的解的相反数是(    )

A．2    B．－2    C．3    D．－3

03．（上海）如果x＝2是方程的根，那么a的值是(    )

A．0   B．2    C．－2    D．－6

04．（徐州）根据下列问题，设未知数并列出方程，然后估算方程的解：

 (1)某数的3倍比这个数大4；

 (2)小明年龄的3倍比他的爸爸的年龄多2岁，小明爸爸40岁，问小明几岁？

 (3)一个商店今年8月份出售A型电机300台，比去年同期增加50%，问去年8月份出售A型电机多少台？

【例4】  （太原）c为任意有理数，对于等式a＝2×0.25a进入下面的变形，其结果仍然是等式的是(    )

A．两边都减去－3c    B．两边都乘以

C．两边都除以2c    D．左边乘以2右边加上c

【解法指导】等式的性质有两条：①等式两边都加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，故选择A．

【变式题组】

01．（青岛）如果ma＝ mb，那么下列等式不一定成立的是(    )

A．ma＋1＝mb＋1    B．ma−3＝mb−3    C．ma＝mb   D．a＝b

02．（大连）由等式3a −5 ＝2a＋b得到a＝11的变形是(    )

A．等式两边都除以3    B．等式两边都加上（2a －5）

C．等式两边都加上5    D．等式两边都减去（2a －5）

03．（昆明）下列变形符合等式性质的是(    )

A．如果2x−3 ＝7，那么2x ＝7−x    B．如果3x−2＝x＋l，那么3x−x ＝1−2

C．如果－2x ＝5，那么x＝－5＋2    D．如果－x ＝1，那么x＝－3

【例5】  利用等式的性质解下列方程：

⑴x ＋7 ＝19    ⑵－5x ＝30    ⑶ －x−5 ＝4

⑴解：两边都减去7得 x＋7 −7 ＝19 −7

    合并同类项得 x＝12

⑵解：两边都乘以得x＝ －6

⑶解：两边都加上5得－x−5＋5 ＝4 ＋5

    合并同类项得－x ＝9

  两边都乘以－3得x＝－27

【解法指导】  要使方程x＋7 ＝19转化为x＝a（常数）的形式，要去掉方程左边的7，因此要减7，类似地考虑另两个方程如何转化为x＝a的形式．

【变式题组】

01．（黄冈）某人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是，回来的速度是，则他的平均速度为(    )

A．    B．    C．   D．

02．（杭州）已知是方程2x−ay＝3的一个解，那么a的值是(    )

A．1    B．3    C．－3    D．－1

03．（郑州）下列变形正确的是(    )

A．由x＋3＝4得x＝7  B．由a＋b＝0，得a＝b

C．由5x＝4x－2得x＝2  D．由＝0，得x＝0

04．（南京）解方程 (  )

A．同乘以    B．同除以   C．同乘以－    D．同除以

【例6】  根据所给出的条件列出方程：小华在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息1080元，问他存人的本金是多少元？（只列方程）

【解法指导】  生活中常碰见的储蓄问题是中考中常见的一种题型，应正确理解利息税的含义，清楚本息和：本金＋利息（除税后）是解题的关键．题中的利息税是把利息的20%扣除作为税上交国家．

解：设他存入的本金是x元，则5个月的利息是2%×5x＝0.1x元，需交利息税0.lx×20%＝0.02x元，根据题意得：x ＋0. lx−0.02x＝ 1080．

【变式题组】

01．（甘肃）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打八折的基础上，再打八折销售，则该商品现在售价是(    )

A．160元    B．128元    C．120元    D．8元

02．（辽宁）根据下列条件，列出方程并解之：  

(1)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上7，求某数；

(2)长方形的周长是50厘米，长与宽之比为3∶2，求长方形面积，

【例7】  （“希望杯”邀请赛试题）已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是l．求代数式40p ＋l0lq ＋4的值．

【解法指导】用代入法可得到p、q的关系式，再综合运用整数知识：偶数＋奇数＝奇数、奇数＋奇数＝偶数、偶数＋偶数＝偶数．

解：把x＝l代入方程px ＋5q ＝97，得p＋5q ＝97，故p与5q中必有一个数是偶数：

(1)若p＝2，则Sq＝ 95，q＝19，40p ＋l01q ＋4 ＝40×2 ＋101×19 ＋4＝ 2003；

(2)若5q为偶数，则q＝2，p＝87，但87不是质数，与题设矛盾，舍去．∴40p ＋l0lq ＋4的值为2003.

【变式题组】

01．（广东省竞赛题）已知＝3x ＋1，则（64x2 ＋48x ＋9）2009＝_______．

02．（第18届“希望杯”竞赛题）对任意四个有理数a、b、c、d，定义新运算：＝ ad− bc，已知＝18，则x＝(    )

A．－1    B．2    C．3    D．4

 演练巩固 反馈提高

01．下面四个式子是方程的是(    )

    A．3 ＋2 ＝5    B．x＝2    C．2x −5    D．a2 ＋2ab≠b2

02，下列方程是一元一次方程的是(    )

A．x2 −2x−3＝0    B．2x−3y＝3    C．x2−x−1＝ x2＋1    D．

03．“x的一半比省的相反数大7”用方程表达这句话的意思是(    )    

A． ＝7−x    B．＋7 ＝−x   C．＋7 ＝x   D．＝x＋7

04．（石家庄）把1200g洗衣粉分别装入5个大小相同的瓶子中，除一瓶还差15g外，其余四瓶都装满了，问装满的每个瓶子中有洗衣粉多少克？若设装满的每个瓶子有xg洗衣粉，列方程为(    )

A．5x ＋15＝ 1200    B．5x －15 ＝1200    C．4x ＋15＝ 1200    D．4（x＋15)＝1200

05．在方程①3x−4 ＝7；②＝3；③5x−2 ＝3；④3（x＋1）＝2（2x＋1）中解为x＝1的方程是(    )

A．①②    B．①③    C．②④    D．③④

06．如果方程2n＋b＝n−1的解是n＝－4，那么b的值是(    )

A．3    B．5    C．－5    D．－13

07．若“△”是新规定的某种运算符号，设a△b＝ a2 ＋b则（－2）△x＝10中x为(    )

A．－6    B．6    C．8    D．－8

08．（武汉）小刚每分钟跑am，用6分钟可以跑完3000m，如果每分钟多跑l0m，则可以提前1分钟跑完3000m，下列等式不正确的是(    )

A．(a＋10)(b－1) ＝ab    B．（a−10)(b＋l) ＝3000

C．＝a＋10    D．＝b−1

09．已知关于x的方程(m＋2)xm＋4 ＝2m－1是一元一次方程，则x＝_______．

10．在数值2，－3，4，－5中，是方程4x−2＝ 10 ＋x的解是_______．

11．（福州）已知−1＝，试用等式的性质比较m、n的大小．

12.（西宁）已知方程a−2x＝－4的解为x＝4，求式子a3−a2−a的值．

13．三个连续自然数的和是33，求这三个数．

14．某班有70人，其中会游泳的有52人，会滑冰的有33人，这两项都不会的有6人，这两项都会的有多少人？

15．甲车队有司机80人，乙车队有50人，要使两个车队的司机人数一样多，应该从甲车队调多少个司机到乙车队？

培优升级   奥赛检测

01．下列判断中正确的是(    )    

A．方程2x －3 ＝1与方程x(2x －3)＝x同解，

B．方程2x －3 ＝1与方程x(2x －3)＝x没有相同的解．

C．方程x(2x －3)＝x的解是方程2x －3 ＝1的解．

D．方程2x −3 ＝1的解是方程x(2x －3)＝x的解．

02．方程的解是(  )

A．2008    B．2009    C．2010    D．2011

03．（江苏省竞赛题）已知a是任意有理数，在下面各题中

 (1)方程ax ＝0的解是x＝l    (2)方程ax ＝a的解是x＝l

 (3)方程ax ＝1的解是x＝   (4)的解是x＝±1

结论正确的的个数是(    )

A．0    B．1    C．2    D．3

04．（“希望杯”邀请赛）已知关于x的一元一次方程(3a ＋8b)x＋7 ＝0无解，则ab是(    )

A．正数    B．非正数    C．负数    D．非负数

05．（第十一届“希望杯”邀请赛试题）已知a是不为0的整数，并且关于x的方程ax＝2a3−3 a2−5a ＋4有整数解，则a的值共有(    )

A．1个    B．3个    C．6个    D．9个

06．（“祖冲之杯”邀请赛）方程＋（x−5）＝0的解的个数为(    )

A．不确定    B．无数个    C．2个    D．3个

07．若x＝9是方程的解，则a＝______；又若当a＝1时，则方程的解是______．

08．方程的解是_____，方程的解是_____．

09．（北京市“迎春杯”竞赛试题）已知 ＝1995，那么x＝____．

10．（“希望杯”邀请赛试题）已知，那么19x99 ＋3x＋27的值为____．

11．（广西竞赛）解关于x的方程＝－3．

12．a为何值，方程有无数个解．

13．（“五羊杯”竞赛题）若干本书分给小朋友，每人m本，则余14本；每人9本，则最后一人只得6本，问小朋友共几人？有多少本书？

14．（上海市竞赛题）甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的k（是不等于1的正整数）倍还多6人，问乙队原有多少人？