中考数学总复习第9讲 一次函数与方程、不等式难点解析与训练

第9讲 一次函数与方程、不等式

考点·方法·破译

1． 一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx＋b＝0(k、b为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y＝kx＋b中，当y＝0时则为一元一次方程．

2． 一次函数与二元一次方程(组)的关系：

⑴任何二元一次方程ax＋by＝c(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)都可以化为y＝的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；

⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．

3． 一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．

经典·考题·赏析

【例1】直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为(    )

 A．x＞－1  B．x＜－1  C．x＜－2  D．无法确定

【解法指导】由图象可知l1与l2的交点坐标为(－1，－2)，即当x＝－1时，两函数的函数值相等；当x＞－1时，l2的位置比l1高，因而k2x＞k1x＋b；当当x＜－1时，l1的位置比l2高，因而k2x＜k1x＋b．因此选A．

【变式题组】

01．(咸宁)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x＋b的解集为________．

第1题图    第2题图    第3题图  第4题图

02．(浙江金华)一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是(    )

 A．0    B．1    C．2    D．3

03． 如图，已知一次函数y＝2x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式2x＋b＞ax－3的解集是________．

04． (武汉)如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式x＞kx＋b＞－2的解集为_________．

【例2】若直线l1：y＝x－2与直线l2：y＝3－mx在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m的取值范围．

【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足，从而求出m的取值范围．

解：，∴，∵，∴，即，∴－1＜m＜．

【变式题组】

01． 如果直线y＝kx＋3与y＝3x－2b的交点在x轴上，当k＝2时，b等于(    )

 A．9    B．－3    C．    D．

02． 若直线与直线相较于x轴上一点，则直线不经过(    )

 A．第四象限   B．第三象限   C．第二象限   D．第一象限

03． 两条直线y1＝ax＋b，y2＝cx＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c而解出它们的交点坐标为(，)，则这两条直线的解析式为____________．

04． 已知直线y＝3x和y＝2x＋k的交点在第三象限，则k的取值范围是________．

【例3】(四川省初二数学联赛试题)在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点，设k为整数，当直线y＝x－2与y＝kx＋k的交点为整点时，k的取值可以取(    )

 A．4个    B．5个    C．6个    D．7个

【解法指导】两直线的交点为整点即对应方程组的解均为整数．

 解：由得，

∵两直线交点为整数，

∴x、y均为整数，

又当x为整数时，y为整数，

∴为整数即可，，

∵k－1是整数，

∴k－1＝±1，±3时，x、y为整数，

∴k＝－2，0，2，4．

所以选A．

【变式题组】

01． (广西南宁)从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p和q(p≠q)，构成函数y＝px－2和y＝x＋q，并使这两个函数图象的交点在直线x＝2的右侧，则这样的有序数对(p，q)共有(    )

 A．12对    B．6对    C．5对    D．3对

02． (浙江竞赛试题)直线l：y＝px(p是不等于0的整数)与直线y＝x＋10的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线l有(    )

 A．6条    B．7条    C．8条    D．无数条

03． (荆州竞赛试题)点A、B分别在一次函数y＝x，y＝8x的图像上，其横坐标分别是a、b(a＞0，b＞0)．若直线AB为一次函数y＝kx＋m的图象，则当是整数时，求满足条件的整数k的值．

【例4】已知x、y、z都为非负数，满足x＋y－z＝1，x＋2y＋3z＝4，记ω＝3x＋2y＋z．求ω的最大值与最小值．

【解法指导】将x、y、z中的三个未知量选定一个看成已知，则关于x、y、z的三元方程可变成关于x、y的二元方程，从而求出x与y，然后代入ω＝3x＋2y＋z中，可得ω与z的一次函数关系式，然后再求出z的取值范围，即可求出ω的最大值与最小值．

解：由已知得：，∴，∴ω＝3x＋2y＋z＝3(5z－2)＋2(3－4z)＋z＝8z．

∵x、y、z都为非负数，

∴，∴，

∴ω的最大值为8×＝6，ω的最小值为8×＝．

【变式题组】

01． (荆州竞赛试题)已知x满足不等式：，|x－3|－|x＋2|的最大值为p，最小值为q，则pq的值是(    )

 A．6    B．5    C．－5    D．－1

02． 已知非负数a、b、c满足条件：3a＋2b＋c＝4，2a＋b＋3c＝5．设S＝5a＋4b＋7c的最大值为m，最小值为n，则n－m＝________．

03． (黄冈竞赛试题)若x＋y＋z＝30，3x＋y－z＝50，x、y、z均为非负数，则M＝5x＋4y＋2z的取值范围是(    )

 A．100≤M≤110  B．110≤M≤120  C．120≤M≤130  D．130≤M≤140

【例5】已知直线l1经过点(2，5)和(－1，－1)两点，与x轴的交点是点A，将直线y＝－6x＋5的图象向上平移4个单位后得到l2，l2与l1的交点是点C，l2与x轴的交点是点B，求△ABC的面积．

【解法指导】设直线l1的解析式为y＝kx＋b，∵l1经过(2，5)，(－1，－1)两点，

∴，解得，

∴y＝2x＋1，∴当y＝0时，2x＋1＝0，x＝，∴A(，0)．

又∵y＝－6x＋5的图象向上平移4个单位后得l2，∴l2的解析式为y＝－6x＋9，

∴当y＝0时，－6x＋9＝0，x＝，∴B(，0)．

∴，∴，∴C(1，3)，∴AB＝－()＝2，∴S△ABC＝×2×3＝3．

【变式题组】

01． 已知一次函数y＝ax＋b与y＝bx＋a的图象相交于A(m，4)，且这两个函数的图象分别与y轴交于B、C两点(B上C下)，△ABC的面积为1，求这两个一次函数的解析式．

02． 如图，直线OC、BC的函数关系式为y＝x与y＝－2x＋6．点P(t，0)是线段OB上一动点，过P作直线l与x轴垂直．

⑴求点C坐标；

⑵设△BOC中位于直线l左侧部分面积为S，求S与t之间的函数关系式；

⑶当t为何值时，直线l平分△COB面积．

第2题图

演练巩固·反馈提高

01． 已知一次函数y＝x＋m，和y＝x＋n的图象交点A(－2，0)，且与y轴分别交于B、C两点，那么△ABC的面积是(    )

 A．2    B．3    C．4    D．6

02． 已知关于x的不等式ax＋1＞0(a≠0)的解集是x＜1，则直线y＝ax＋1与x轴的交点是(    )

A．(0，1)   B．(－1，0)   C．(0，－1)   D．(1，0)

第3题图      第6题图

03． 如图，直线y＝kx＋b与x轴交于点A(－4，0)，则y＞0时，x的取值范围是(    )

A．x＞－4   B．x＞0    C．x＜－4   D．x＜0

04． 直线kx－3y＝8，2x＋5y＝－4交点的纵坐标为0，则k的值为(    )

A．4    B．－4    C．2    D．－2

05．  直线y＝kx＋b与坐标轴的两个交点分别为A(2，0)和B(0，－3)．则不等式kx＋b＋3≥0的解集为(    )

A．x≥0    B．x≤0    C．x≥2    D．x≤2

06． 如图是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象l1、l2，设y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，则方程组的解是(    )

A．   B．   C．   D．

07． 若直线y＝ax＋7经过一次函数y＝4－3x和y＝2x－1的交点，则a＝_________．

08．  已知一次函数y＝2x＋a与y＝－x＋b的图象都经过A(－2，0)，且与y轴分别交于B、C两点，则S△ABC＝_________．

09． 已知直线y＝2x＋b和y＝3bx－4相交于点(5，a)，则a＝___________．

10．已知函数y＝－x＋m与y＝mx－4的图象交点在x轴的负半轴上，则m的值为__________．

11．直线y＝－2x－1与直线y＝3x＋m相交于第三象限内一点，则m的取值范围是___________．

12．若直线与直线的交点在第一象限，且a为整数，则a＝_________．

13．直线l1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l2与l1交于点(－2，a)，且与y轴的交点的纵坐标为7．

⑴求直线l2、l1的解析式；

⑵求l2、l1与x轴围成的三角形的面积；

⑶x取何值时l1的函数值大于l2的函数值？

14．(河北)如图，直线l1的解析式为y＝－3x＋3，l1与x轴交于点D，直线l2经过点A(4，0)，B(3，)．

⑴求直线l2的解析式；

⑵求S△ADC；

⑶在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得S△ADP＝S△ADC，求P点坐标．

第14题图 

15．已知一次函数图象过点(4，1)和点(－2，4)．求函数的关系式并画出图象．

⑴当x为何值时，y＜0，y＝0，y＞0？

⑵当－1＜x≤4时，求y的取值范围；

⑶当－1≤y＜4时，求x的取值范围．

16．某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2h时血液中含药量最高，达每毫升6μg(1μg＝10－3mg)，接着就逐步衰减，10h后血液中含药量为每毫升3μg，每毫升血液中含药量y(μg)随时间x(h)的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后，

⑴分别求x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；

⑵如果每毫升血液中含药量在4μg或4μg以上时，治疗疾病才是有效的，那么这个有效时间是多长？

第16题图