中考数学总复习第13讲 因式分解及其应用难点解析与训练

第13讲  因式分解及其应用

考点·方法·破译

1．因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；

2．因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等；

3．因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；

4．竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项阿、配方法和待定系数法等方法、另外形如的多项式，当p＝a＋b，q＝ab时可分解为（x＋a）（x＋b）的形式；

5．利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解.

经典·考题·赏析

【例１】

⑴若是完全平方式，则k＝______________

⑵若是完全平方式，则k＝______________

【解法指导】形如的形式的式子，叫做完全平方式.其特点如下：⑴有三项；⑵有两项是平方和的形式；⑶还有一项是乘积的2倍，符号自由.

解：⑴是完全平方式，∴  ∴；

⑵是完全平方式，∴   ∴

【变式题组】

01．若是一个完全平方式，则k＝________

02．若，求x、y的值.

03．若，求a、b的值.

04．（四川省初二联赛试题）已知a、b、c满足，求的值.

【例2】⑴（北京）把分解因式，结果正确的是（  ）

A．  B．  C．  D．

⑵（杭州）在实数范围内分解因式＝____________

⑶（安徽）因式分解＝_______________

【解法指导】分解因式的一般步骤为：一提，二套，三分组，四变形

解：⑴

⑵

⑶

【变式题组】

⑴    ⑵

⑶     ⑷

⑸

【例3】要使二次三项式在实数范围内能进行因式分解，那么整数P的取值可能有（                            ）

A．2个       B．4个 C．6个  D．无数多个

【解法指导】由可知，在整数范围内分解因式，p为的积为整数，∴p有无数多个，因而选D

【变式题组】

⑴已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是（               ）

A．2个   B．4个   C．6个   D．8个

⑵在1~100间，若存在整数n，使能分解为两个整系数的一次因式的乘积，则这样的n有__个

【例4】分解因式：⑴

⑵

⑶

⑷

【解法指导】

解：⑴ ∴

⑵

⑶设，则原式可变为

∴原式＝

⑷

【变式题组】

01．分解因式：

⑴  ⑵

⑶  ⑷

⑸

【例5】⑴（上海竞赛试题）求方程的整数解；

⑵（希望杯）设x、y为正整数，且，求xy的值

【解法指导】⑴结合方程的特点对其因式分解，将不定方程转化为方程组求解；

⑵将等式左边适当变形后进行配方，利用x、y为正整数的特点，结合不等式求解.

解：⑴，，，

∴，∵x、y都是整数 ∴

∴，∴方程的整数解为，

⑵，，，∵∴

∵x为正整数，∴x＝1，2，…，10 ，又∵是平方数，∴x＝6或8

当x＝6时＝64，y＝6，当x＝8时＝36，y ＝4，∴xy＝36或32

【变式题组】

01.设x、y是正整数，并且，则代数式的值是___________

02.（第二届宗沪杯）已知a、b为整数，则满足a＋b＋ab＝2008的有序数组（a，b）共有__________

03．（北京初二年级竞赛试题）将2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有（  ）

A．16种        B．14种  C．12种   D．10种

04．方程的正整数解的个数为（  ）

A．0个         B．1个  C．2个   D．不少于3个

05．一个正整数，如果加上100是一个完全平方数：如果加上168则是另外一个完全平方数，求这个正整数.

【例6】已知k、a都是正整数，2004k＋a、2004（k＋1）＋a都是完全平方数

⑴请问这样的有序正整数（k、a）共有多少组？

⑵试指出a的最小值，并说明理由.

解：⑴① ②，这里m、n都是正整数，则

故

注意到，、奇偶性相同，则，解得，

当n＝502，m＝500时，由①得2004k＋a＝250000，所以③

由于k、a都是正整数，故k可以取值1，2，3，…，124，相应得满足要求的正整数数组（k、a）共124组

当n＝170，m＝164时，由①得2004k＋a＝26896

所以④

由于k、a都是正整数，故k可以取值1，2，3，…，13，相应得满足要求的正整数数组（k、a）共13组

从而，满足要求的正整数组（k、a）共有124＋13＝137（组）

⑵满足式③的最小正整数a的值为1504，满足式④的最小正整数a的值为844，所以，所求的a的最小值为844

【变式题组】

01．（北京竞赛）已知a是正整数，且是一个正整数的平方，求a的最大值.

02．设x、y都是整数，，求y的最大值

演练巩固  反馈提高

01．如果分解因式，那么n的值为（ ）

A．2           B．4 C．6 D．8

02．若多项式，则p、q的值依次为（  ）

A．，    B．6，  C．，  D．，

03．下列各式分解因式正确的是（        ）

A． B．

C． D．

04．多项式的公因式是（       ）

A．     B． C． D．不存在

05．分解因式的结果是（   ）

A．     B． C． D．

06．若能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（  ）

A．4个        B．6个 C．8个 D．无数个

07．已知，则的值为（  ）

A．3           B． C． D．

08．分解因式：＝__________________

09．分解因式：＝__________________

10．分解因式：＝___________________

11．已知，，那么的值等于____________

12．分解因式：＝_______________

13．分解因式：＝_________________

14．分解因式：＝___________________

15．已知，则的值为_____________

16．求证：能被45整除

17．已知可被在60到70之间的两个整数整除，求这两个整数

培优升级  奥赛检测

01．（四川省初二数学联赛试题）使得为完全平方数的正整数n的值为（  ）

A．2            B．3 C．4 D．5

02．（四川省初二数学联赛试题）设m、n是自然数，并且，则m＋n的最小值是（  ）

A．100          B．102 C．200 D．不能确定

03．（四川省初二数学联赛试题）满足方程的正整数对（x，y）有（  ）

A．0对          B．1对 C．3对 D．无数对

04．（全国初中数学竞赛试题）方程的整数解（x，y）的个数是（  ）

A．0            B．1 C．3 D．无穷多

05．（四川省初二数学试题）已知，其中p、q为质数，且满足，则M＝（）

A．2009         B．2005     C．2003     D．2000

06．（仙桃竞赛试题）不定方程的所有整数解为_________________

07．已知多项式可以分解为的形式，那么的值是______

08．对于一个正整数n，如果能找到a、b，使得n＝a＋b＋ab，则称n为一个“好数”，例如：3＝1＋1＋1×1，3就是一个好数，在1~20这20个正整数中，好数有_______个

09．一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数，如，64就是一个完全平方数；若，求证a是一个完全平方数

10．已知实数a、b、x、y满足，，求的值

11．若a为自然数，则是质数还是合数？请你说明理由

12．正数a、b、c满足，求的值

13．某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班有m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（mn＋9m＋11n＋145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.