中考数学总复习第15讲 一元一次方程的实际应用（一）难点解析与训练

第15讲 一元一次方程的实际应用（一）

【学习目标】

1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；

2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．

【要点梳理】

要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

审、设、列、解、检验、答．

要点二、常见列方程解应用题的几种类型

1．和、差、倍、分问题

  （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，

现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．

（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．

2．行程问题

  （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间
　（2）基本类型有：
　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间

                            Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第一，   同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；

第二，   同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．

③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度－水流速度，

顺水速度－逆水速度＝2×水速；

Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．

（3）借助画行程图来分析．

3．工程问题

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：

（1）总工作量=工作效率×工作时间；

（2）总工作量=各单位工作量之和．

4．调配问题

   寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

【典型例题】

类型一、和差倍分问题

1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
 

举一反三：

【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票?

类型二、行程问题

1.车过桥问题

2. 某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．

期望数学岛

【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A点表示火车头)：

(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长．

(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度．

举一反三：

【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？

2.相遇问题（相向问题）

3．小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米.求A、B两地间的路程.

举一反三：

【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A站34km，已知甲车的速度是70km/h，乙车的速度是52km/h，求A、B两站间的距离.

3.追及问题（同向问题）

4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度．

4.航行问题（顺逆风问题）

5．(武昌区联考)盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小时．已知A、C两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，求A、B两地间的距离．

【思路点拨】由于C的位置不确定，要分类讨论：（1）C地在A、B之间；（2）C地在A地上游．

【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4小时构建方程求解．

5.环形问题

6．环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度

    的倍，环城一周是20千米，求两个人的速度。
 

举一反三：

【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以63m/min的速度，乙从B以72m/min的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?

类型三、工程问题

7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?

举一反三：

【变式】收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割后，改用新式农机，工作效率提高到原来的倍，因此比预计时间提早1小时完成，求这块水稻田的面积．

类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）

8．某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 m3或运土3 m3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?

举一反三：

【变式】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？

【巩固练习】

一、选择题

1．甲乙两地相距180千米，已知轮船在静水中的航速是a千米/小时，水流速度是10千米/小时，若轮船从甲地顺流航行3小时到达乙地后立刻逆流返航，则逆流行驶1小时后离乙地的距离是（   ）.

A．40千米       B．50千米      C．60千米       D．140千米

2.一列长150米的火车，以每秒15米的速度通过600米的隧道，从火车进入隧道口算起，这列火车完全通过隧道所需时间是  （        ）

A．60秒         B．30秒          C．40秒         D．50秒

3. 有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m＋10＝43m－1； ②； ③； ④40m＋10＝43m＋1，其中正确的是（    ）

A．①②     B．②④      C．②③   D．③④

4．甲组人数是乙组人数的2倍，从甲组抽调8人到乙组，这时甲组剩下的人数恰比乙组人数的一半多2个，设乙组原有x人，则可列方程(    )．

  A．         B．  

C.       D．

5．某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3km都需付7元车费)，超过3km以后，每增加1km，加收2.4元(不足1km按1km计).某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程的最大值是(        )

A．11　        B．8　         C．7　          D．5

二、填空题

6．(江苏淮安)小明根据方程5x+2＝6x-8编写了一道应用题．请你把空缺的部分补充完整：某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；______________．请问手工小组有几人?(设手工小组有x人)．

7．9人14天完成了一件工作的，而剩下的工作要在4天内完成，则需增加的人数是__________．

8. 轮船在静水中速度为每小时20km,水流速度为每小时4km,从甲码头顺流航行到乙码头,再返回甲码头,共用5小时(不计停留时间),求甲、乙两码头的距离.若设两码头间的距离为x km,可列方程           ．        

9．王会计在结账时发现现金少了153.9元，查账时得知是一笔支出款的小数点看错了一位．王会计查出这笔看错了的支出款实际是________元．

10．某市开展“保护母亲河”植树造林活动，该市金桥村有1000亩荒山绿化率达80%，300亩良田视为已绿化，河坡地植树面积已达20%，目前金桥村所有土地的绿化率为60%，则河坡地有________亩．

11.（重庆市潼南）某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本用电量为a度,超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费,某用户在5月份用电100度,共交电费56元,则a =   度.

三、解答题

12. 某工人按原计划每天生产20个零件，到预定期限还有100个零件不能完成，若把工效提高25%，到期将超额完成50个，问此工人原计划生产零件多少个?预定期限是多少天?

13. 在广州亚运会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1 800条或者脖子的丝巾1 200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？

14. 已知甲乙两人在一个200米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的4段，即两条直道和两条弯道的长度相同.甲平均每秒跑4米，乙平均每秒跑6米，若甲乙两人分别从A、C两处同时相向出发（如图），则：

（1）几秒后两人首次相遇？请说出此时他们在跑道上的具体位置.

（2）首次相遇后，又经过多少时间他们再次相遇？

（3）他们第100次相遇时，在哪一段跑道上？