中考数学总复习二次函数动点问题解答方法技巧（含例解答案）难点解析与训练

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函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。二、          抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线（a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。      第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。                              070809动点个数两个   一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形  考 点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性     特   点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。②一个动点速度是参数字母。③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性 ①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）                  共同点：  ①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。  二次函数的动态问题（动点） 1.如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，．（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），顶点为，四边形的面积为．若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点与点重合为止．求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．   [解] （1）点，点，点关于原点的对称点分别为，，． 设抛物线的解析式是，则解得所以所求抛物线的解析式是． （2）由（1）可计算得点． 过点作，垂足为．当运动到时刻时，，． 根据中心对称的性质，所以四边形是平行四边形．所以．所以，四边形的面积． 因为运动至点与点重合为止，据题意可知．所以，所求关系式是，的取值范围是． （3），（）．所以时，有最大值． 提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形能形成矩形． 由（2）知四边形是平行四边形，对角线是，所以当时四边形是矩形．所以．所以． 所以．解之得（舍）．所以在运动过程中四边形可以形成矩形，此时． [点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，点的横坐标为，过点的直线与轴交于点，点是线段上的一个动点，于点．若，且．（1）确定的值：；（2）写出点的坐标（其中用含的式子表示）：；（3）依点的变化，是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由． [解] （1）　　　　　　　　　 （2）　　　　　　　　　　　　　　　　（3）存在的值，有以下三种情况　　　　①当时　　　　　，则　　　　　　　　　　　　　　　　②当时　　　　　得　　　　　　　　　　　③当时，如图　　　　　解法一：过作，又　　　　　　　　　则　　　　　　　　　又　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解法二：作斜边中线　　　　　　　　　　则，　　　　　　　　　　此时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解法三：在中有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（舍去）　　　　　　　　　　又　　　　　　　　　　当或或时，为等腰三角形．解法四：  数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析          Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用t表示，进行分组讨论即可计算。[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的矛盾，应舍去3.如图1，已知直线与抛物线交于两点．（1）求两点的坐标；（2）求线段的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．           [解] （1）解：依题意得解之得    （2）作的垂直平分线交轴，轴于两点，交于（如图1）    由（1）可知：         过作轴，为垂足    由，得：，    同理：     设的解析式为        的垂直平分线的解析式为：．（3）若存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与轴，轴交于两点（如图2）．           抛物线与直线只有一个交点，    ，    在直线中，    设到的距离为，    到的距离等于到的距离． 另解：过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大（h与PC 夹角固定），则S△PBA最大 → 问题转化为求PC最大值，设P（x, ）,C（x, ）,从而可以表示PC长度，进行极值求取。      最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。 [点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。4.如图①，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．（1）求正方形的边长． （2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求两点的运动速度． （3）求（2）中面积（平方单位）与时间（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标． （4）若点保持（2）中的速度不变，则点沿着边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小．当点沿着这两边运动时，使的点有　　　　　个． （抛物线的顶点坐标是．           [解] （1）作轴于．，．．（2）由图②可知，点从点运动到点用了10秒．又．两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作轴于，则．，即．．．，． 即．，且，当时，有最大值．此时，点的坐标为． （8分）方法二：当时，．设所求函数关系式为．抛物线过点，． ，且，当时，有最大值．此时，点的坐标为． （4）． [点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。．5. 如图①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．（1）求的度数．（2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度．（3）求（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．（4）如果点保持（2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小，当点沿这两边运动时，使的点有几个？请说明理由．解: （1）．（2）点的运动速度为2个单位/秒．（3）（）．当时，有最大值为，此时．（4）当点沿这两边运动时，的点有2个．①当点与点重合时，，当点运动到与点重合时，的长是12单位长度，作交轴于点，作轴于点，由得：，所以，从而．所以当点在边上运动时，的点有1个．②同理当点在边上运动时，可算得．而构成直角时交轴于，，所以，从而的点也有1个．所以当点沿这两边运动时，的点有2个． 6. （本题满分14分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线 按→→的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S .①请问、两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；③设是②中函数S的最大值，那么 =                .解：（1）令，则；令则．∴．∵二次函数的图象过点，∴可设二次函数的关系式为又∵该函数图象过点．∴解之，得，．∴所求二次函数的关系式为  （2）∵=∴顶点M的坐标为  过点M作MF轴于F∴=∴四边形AOCM的面积为10 （3）①不存在DE∥OC      ∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时，在中，．设点E的坐标为∴，∴  ∵，∴  ∴  ∵>2，不满足．∴不存在．②根据题意得D，E两点相遇的时间为（秒）现分情况讨论如下：ⅰ）当时，；ⅱ）当时，设点E的坐标为∴，∴∴ ⅲ）当2 <<时，设点E的坐标为，类似ⅱ可得设点D的坐标为∴，∴∴= ③ 7.关于的二次函数以轴为对称轴，且与轴的交点在轴上方．（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作垂直于轴于点，再过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作垂直于轴于点，得到矩形．设矩形的周长为，点的横坐标为，试求关于的函数关系式；（3）当点在轴右侧的抛物线上运动时，矩形能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．参考资料：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线．解：（1）据题意得：，．当时，．当时，．又抛物线与轴的交点在轴上方，．抛物线的解析式为：．函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）（2）解：令，得．不时，，，．当时，，．．关于的函数关系是：当时，；当时，．（3）解法一：当时，令，得．解得（舍），或．将代入，得．当时，令，得．解得（舍），或．将代入，得．综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．解法二：当时，同“解法一”可得．正方形的周长．当时，同“解法一”可得．正方形的周长．综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．解法三：点在轴右侧的抛物线上，，且点的坐标为．令，则．，①或②由①解得（舍），或；由②解得（舍），或．又，当时；当时．综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为；当时，正方形的周长为．8.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）　（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得 　解得∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8　　（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC∴＝　　即＝∴EF＝过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝∴＝　∴FG＝·＝8－m∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　自变量m的取值范围是0＜m＜8　　（4）存在．理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　且－＜0，∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8　　∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）∴△BCE为等腰三角形．　　 9.（14分）如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.  （1） 求抛物线的解析式.  （2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。（注：抛物线的对称轴为）              （1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)     因为B（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3     所以抛物线解析式为解法二：设抛物线的解析式为，依题意得：c=4且  解得 所以  所求的抛物线的解析式为 （2）连接DQ，在Rt△AOB中，所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB  即所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，    所以t的值是（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小理由：因为抛物线的对称轴为所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线对称连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900    DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE，  △DQE ∽△ABO  即 所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）设直线AQ的解析式为则  由此得 所以直线AQ的解析式为  联立由此得  所以M则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。 10. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.            （1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …1分将A、B、C三点的坐标代入得            ……………………2分解得：                                        ……………………3分所以这个二次函数的表达式为：           ……………………3分方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）           ………………………1分设该表达式为：                      ……………………2分将C点的坐标代入得：                            ……………………3分所以这个二次函数的表达式为：           ……………………3分（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3）             ……………………4分理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：∴E点的坐标为（－3，0）                              ……………………4分由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴存在点F，坐标为（2，－3）                          ……………………5分方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：∴E点的坐标为（－3，0）                              ………………………4分∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）   代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合∴存在点F，坐标为（2，－3）                          ………………………5分（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得  …………6分②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），则N（r+1，－r），代入抛物线的表达式，解得   ………7分∴圆的半径为或．   ……………7分（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，－3），直线AG为．……………8分设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．               ……………………9分当时，△APG的面积最大此时P点的坐标为，．      ……………………10分11．（本小题12分）解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得　解得∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8　（3）∵AB＝8，OC＝8∴S△ABC ＝×8×8=32（4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，   ∴AC＝10∵EF∥AC　  ∴△BEF∽△BAC∴＝　　即＝    ∴EF＝过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝∴＝　  ∴FG＝·＝8－m∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　自变量m的取值范围是0＜m＜8　（5）存在．  理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　且－＜0，∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）∴△BCE为等腰三角形．                                 12.（12分）已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点．（1）写出直线的解析式．（2）求的面积．（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？ 解：（1）在中，令，，········································1分又点在上的解析式为·························································2分（2）由，得  ·······················································4分，，································································5分·································································6分（3）过点作于点·································································7分·································································8分由直线可得：在中，，，则，································································9分································································10分································································11分此抛物线开口向下，当时，当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为．·······························12分