中考数学总复习第八讲 因式分解与恒等变形难点解析与训练
展开第七讲 因式分解（十字相乘与分组分解）
知识点归纳
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时也把这一过程叫分解因式
因式分解和整式的乘法有互逆关系
一个多项式中每一项都含有相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式
把公因式提出取出来进行因式分解的方法，叫做提公因式法
提取公因式的一般步骤：
1、确定应提取的公因式
2、用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式
3、把多项式写成两个因式的积形式
提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式
添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积
两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方
利用公式把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法
十字相乘法：
引入：乘法公式
应用这个公式，我们可以得到分解形如的二次三项式的方法：
如果可以得到两个数a、b，使得常数项为两者的积，同时一次项系数为两者的和，也即ab=q,a+b=p,如下图：
1 a
1 b
例1分解因式（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
例2分解因式（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
例3分解因式 （1） （2）
（4） （4）
例4分解因式 （1） （2）
（3）
例5分解因式 （1） （2）
（4） （4）
例6分解因式 （1） （2）
（3）
例7 分解因式（1） （2）
例8 分解因式
例9分解因式 （1） （2）
例10分解因式
当堂检测
1．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
2．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2 C．y2﹣1=（y+1）（y﹣1） D．ax+by+c=x（a+b）+c
4．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（ ）
A．2a（4a2﹣4a+1） B．8a2（a﹣1） C．2a（2a﹣1）2 D．2a（2a+1）2
5．将下列各式因式分解：
（1）x2﹣9 （2）﹣3ma2+12ma﹣9m
（3）4x2﹣3y（4x﹣3y） （4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．
6．已知：x2﹣x﹣1=0，则﹣x3+2x2+2002的值为 ．
7．若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为 ．
8．要使二次三项式x2+mx﹣6能在整数范围内分解因式，则m可取的整数为 ．
9．阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn） （2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）
=m（a+b）+n（a+b） =x2﹣（y+1）2
=（a+b）（m+n） =（x+y+1）（x﹣y﹣1）
试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2= ．
10．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解
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