中点辅助线

教学目标：

1.掌握等腰三角形的中线，三角形的中位线

2.掌握倍长中线或类中线的方法

3.建立关于中点的条件反射，当遇到中点时可以考虑的辅助线做法

知识梳理：

1.掌握倍长中线或类中线构造全等三角形方法

2.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接，用“三线合一”

3.已知三角形一边的中点，可以考虑三角形的中位线

4.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线

5.有些题目中的中点不直接给出，此时需要找出隐藏的中点，例如等腰三角形底边的中点，直角三角形斜边的中点等，然后添加辅助线△ABC中AD是BC边中线

典型例题：

例1：△ABC中，AB=20，AC=12，求中线AD的取值范围

例2：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且AF=EF，延长BE交AC于F，求证：BE=AC

例4：已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC

例5：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED⊥FD，试判断线段BE、EF、FC的数量关系.

例6：已知AD 为 △ABC 的中线 ， ∠ADB ， ∠ADC 的平分线分别交AB 于点E ，交AC 于点F 。求证：BE ＋CF ＞EF 。

例7：在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2+CN2=DM2+DN2，求证：AD2=（AB2+AC2）.

例8：已知△ABC 中，AB ＝AC ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD＝AB ，求证：CD ＝2CE

例9已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

例10 问题1：如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，求证：∠BME=∠CNE．

问题二：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；

问题三：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．

当堂练习：

1： 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE=CD，EF=AC，求证：EF∥AB.

2：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE

3：如图，在△ABC 中，BC ＝18 ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，F 、G 分别是BC 、DE 的中点，若ED ＝10 ，则FG 的长为_____ 。

4：如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.

5：在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.

6：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以BC为底作等腰直角△BCD，E是CD的中点，求证： AE⊥EB且AE=BE 

7：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，求证EF=2AD

8：如图 ， 等腰梯形ABCD 中 ，CD ∥AB ， 对角线AC 、BD 交于O ， ∠ACD＝60 °，点S 、P 、Q 分别是OD 、OA 、BC 的中点。求证：△PQS是等边三角形。

9：已知：在中，，在中，，连结，取的中点，连结和．

⑴ 若点在边上，点在边上且与点不重合，如图①，探索、的关系并给予证明；

⑵ 如果将图①中的绕点逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

课后练习：

1：已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

2：已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

3：如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为多少.

4：如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：∠AEF=∠EAF

5：如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF，求证：AD为△ABC的角平分线.

6：如图，在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，∠BAC=∠EAD，F为CD的中点．求证：BF=EF

7：在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论。

8：△ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F．

（1）如图1，当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论；

（2）如图2，当AB≠ AC，其它条件不变时，（ 1）中的结论是否发生改变？请说明理由．

9：在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点求证：AM=AD

10：如图甲，操作：把正方形CGEF的对∠线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．
（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；
（2）将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG=2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；
（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．