2022年高考数学强基计划讲义专题3：不等式性质与证明【原卷及解析版】

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1.【2020中科大11．】已知，证明：当时，不等式成立，且当时，该不等式不成立．
2.【2020年武大】设正整数使得关于方程在区间内恰有个实根，则（）
A. B.
C. D. ，，成等差数列
二、知识要点拓展
1. 作差比较与作商比较法
作差比较：
作商比较法：
注：作完差之后，我们一般采用配方或因式分解
只有正数的比较大小我们才会采用作商比较
2. 逐步调整法
特征：变量的个数大等于三个；
变量之间满足对称性；
等号在相等或极端值时取到。
注：逐步调整法可以和反证法相结合；这样步骤显得更精简些。
3.绝对值不等式
公式：
等号成立条件：A与B同号或异号时取到
注：不等式中加减号的选取依照具体题目的特点而定，关键是削去变量。
不等式中的等号成立条件一定要牢固掌握
不等式可以从两个进行推广
4．构造法与放缩法
构造法：一般我们可以构造函数，三角形或四边形来解决不等式的证明问题；这些问题需要我们丰富的联想和扎时的基础。
放缩法：一般运用在多变量求和的不等式中，许多式子在没有放缩时是无法求和的，经常是需要放缩之后，通过裂项相削来求和。所以，这类题目经常和数列结合在一起考。
5．不等式的衍生问题
不等式经常和函数，数列等内容结合在一起考，属于比较重要和综合的考点；这更要求我们在打牢基础的同时，积极思考，注意类比和推广，这样才能掌握好这块内容。
三、应试技巧和准备策略
强基计划中涉及到不等式的问题主要分为三类：不等式的证明、解不等式、不等式的应用，其中“不等式的证明”是难点。
证明不等式没有固定的程序，证法因题而异，而且灵活多样、技巧性强，一个不等式的证法常不止一种。证明不等式的基本方法主要有：反证法、数学归纳法、变量代换法、构造法（如构造函数、构造图形）等。
四、例题精讲
例1.（复旦）设有集合，
满足，则实数的取值范围是（）。
（B）（C）（D）
例2.（复旦）设实数，且满足，则函数的最大值是（）。
（B）（C）（D）
例3.（同济）求证：对于任何实数，三个数中至少有一个不小于。
例4.（清华），数列满足，且。
求的通项；
求证：。
例5.（清华）如图：，且，求面积的最大值。（原题为选择题）

例6.（复旦）设，则有性质（）
对任何实数，总是大于0
对任何实数，总是小于0
当时，
以上均不对
注：配方法是最基本的方法，尤其在证明时常用。
例7.设，且，求证
例8.（北大）求的最小值。
例9.已知，且，求的最小值。
例10.（清华）已知实数，，，当取到最大值时，有多少个-6？
五、真题精练
1.（复旦）若实数满足：对任意正数，均有，则的取值范围是（）
（B）（C）（D）不能确定
2.（复旦）设为非负实数，且满足方程，则的最大值和最小值（）。
互为倒数（B）其和为13 （C）其乘积为4 （D）均不存在
3.（复旦）下列不等式中正确的是（）
（B）
（C）（D）
4.（交大）已知是非负整数，且，，则的取值范围是。
5.（交大）已知不等式组有唯一解，则。
6.（复旦）是各不相同的自然数，，求证：。
7.（复旦）满足何条件，可使恒成立？
（复旦）求证：。
（交大）已知正整数列，对大于的，有，
。试证：中至少有一个小于。