最新人教版初二下册（春季班）数学期中考试试题及答案13

新人教版初中数学学科教材分析

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 

1．高度抽象性

数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。

2．严密逻辑性 

数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。逻辑严密也并非数学所独有。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。

3．广泛应用性

    数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 数学的这三个显著特点是互相联系的，数学的高度抽象性，决定了其逻辑的严密性，同时又保证其广泛的应用性。

人教版八年级数学下册期中考试试卷

及参考答案13

　一、（共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的）

1．在实数、、、（）0中，无理数有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

2．下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．等腰三角形 B．正三角形 C．平行四边形 D．正方形

3．下列说法不正确的是（　　）

A．﹣的相反数是 B．﹣3的绝对值是3﹣

C．2是的平方根 D．﹣是﹣3的立方根

4．下列各式中正确的是（　　）

A．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1 B．若a＞b，则a2＞b2

C．若a＞b，且c≠0，则ac＞bc D．若＞，则a＞b

5．已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． C． D．

6．下列命题错误的是（　　）

A．矩形的对角线相等

B．平行四边形的对角线互相平分

C．对角线相等的四边形是矩形

D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

7．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是（　　）

A．1 B．2 C． D．4

8．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（　　）

A．75 B．100 C．120 D．125

9．若=x，则实数x是（　　）

A．负实数 B．所有正实数 C．0或1 D．不存在

10．平行四边形的一条边长是12cm，那么它的两条对角线的长可能是（　　）

A．8cm和16cm B．10cm和16cm C．8cm和14cm D．8cm和12cm

11．关于x的不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是（　　）

A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1

12．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分，只要求写出最后结果）

13．若a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，则ab=　　　　　　．

14．不等式（m﹣2）x＞2﹣m的解集为x＜﹣1，则m的取值范围是　　　　　　．

15．已知2a﹣1的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是6，则a+2b的平方根是　　　　　　．

16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF，若EF=，BD=4，则菱形ABCD的面积为　　　　　　．

17．如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形AnBnCnDn的面积为　　　　　　．

三、解答题（本大题共8小题，共69分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（1）计算：（﹣3）0×6﹣+|π﹣2|

（2）解不等式：＞1﹣．

19．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．

20．如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．

试求：（1）∠BAD的度数；

（2）四边形ABCD的面积．

21．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．

（1）求证：四边形AEBD是矩形；

（2）求四边形AEBD的面积．

22．已知，关于x，y的方程组的解满足x＞y＞0，求a的取值范围．

23．为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？

24．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE．

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；

（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．

25．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF=BD，连结BF．

（1）求证：BD=CD；

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为正方形？（写出条件即可，不要求证明）

人教版八年级数学下册期中考试试卷13

参考答案

一、（共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的）

1．在实数、、、（）0中，无理数有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】无理数；零指数幂．

【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断．

【解答】解： =3是整数，是有理数；

是分数，是有理数；

是无理数；

（）0=1是整数，是有理数．

则无理数只有1个．

故选A．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（2015•株洲）下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．等腰三角形 B．正三角形 C．平行四边形 D．正方形

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确．

故选D．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．下列说法不正确的是（　　）

A．﹣的相反数是 B．﹣3的绝对值是3﹣

C．2是的平方根 D．﹣是﹣3的立方根

【考点】实数的性质．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数；差的绝对值是大数减小数，开方运算，可得答案．

【解答】解：A、只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确；

B、﹣3的绝对值是3﹣，故B正确；

C、2是4的平方根，故C错误；

D、﹣是﹣3的立方根，故D正确；

故选：C．

【点评】本题考查了实数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数；注意差的绝对值是大数减小数．

4．下列各式中正确的是（　　）

A．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1 B．若a＞b，则a2＞b2

C．若a＞b，且c≠0，则ac＞bc D．若＞，则a＞b

【考点】不等式的性质．

【分析】根据不等式的性质，可得答案．

【解答】解：A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A错误；

B、当a＜0时，不等式两边乘负数，不等号的方向改变，故B错误；

C、当c＜0时，ac＜bc，故C错误；

D、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故D正确；

故选：D．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

5．已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；点的坐标．

【专题】数形结合．

【分析】根据第二象限内点的坐标特点，可得不等式，根据解不等式，可得答案．

【解答】解：已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，

3﹣m＜0且m﹣1＞0，

解得m＞3，m＞1，

故选：A．

【点评】本题考查了在数轴上不等式的解集，先求出不等式的解集，再把不等式的解集表示在数轴上．

6．下列命题错误的是（　　）

A．矩形的对角线相等

B．平行四边形的对角线互相平分

C．对角线相等的四边形是矩形

D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

【考点】命题与定理．

【分析】根据矩形的性质对A进行判断；根据平行四边形的性质对B进行判断；根据矩形的判定方法对C进行判断；根据菱形的判定方法对D进行判断．

【解答】解：A、矩形的对角线相等，所以A为真命题；

B、平行四边形的对角线互相平分，所以B为真命题；

C、对角线相等的平行四边形是矩形，所以C为假命题；

D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以D为真命题．

故选C．

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

7．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是（　　）

A．1 B．2 C． D．4

【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OC=OA，又由点E是BC边的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得AB的长．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OC=OA，

∵点E是BC边的中点，

即BE=CE，

∴OE=AB，

∵OE=1，

∴AB=2．

故选B．

【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．注意平行四边形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．

8．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（　　）

A．75 B．100 C．120 D．125

【考点】勾股定理．

【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．

【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，

∴△EFC为直角三角形，

又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，

∴CM=EM=MF=5，EF=10，

由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．

故选B．

【点评】本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．

9．若=x，则实数x是（　　）

A．负实数 B．所有正实数 C．0或1 D．不存在

【考点】平方根．

【专题】计算题．

【分析】由于=x，表示一个数的算术平方根等于它本身，根据算术平方根的定义即可解决问题．

【解答】解：∵ =x，

∴x=1或0．

故选C．

【点评】此题主要考查了算术平方根性质，解题注意：0的平方根是0，1的算术平方根也还是它本身．

10．平行四边形的一条边长是12cm，那么它的两条对角线的长可能是（　　）

A．8cm和16cm B．10cm和16cm C．8cm和14cm D．8cm和12cm

【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．

【分析】根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知．

【解答】解：A、4+8=12，不能构成三角形，不满足条件，故A选项错误；

B、5+8＞12，能构成三角形，满足条件，故B选项正确．

C、4+7＜12，不能构成三角形，不满足条件，故C选项错误；

D、4+6＜12，不能构成三角形，不满足条件，故D选项错误．

故选：B．

【点评】主要考查了平行四边形中两条对角线的一半和一边构成三角形的性质．并结合三角形的性质解题．

11．关于x的不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是（　　）

A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1

【考点】不等式的解集．

【分析】根据题意结合不等式解集的确定方法得出答案．

【解答】解：∵关于x的不等式组的解集为x＞1，

∴a的取值范围是：a≤1．

故选：C．

【点评】此题主要考查了不等式的解集，正确利用不等式解集确定方法是解题关键．

12．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．

【专题】压轴题．

【分析】首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，CB=CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE=3，设AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF．

【解答】解：如图，延长FD到G，使DG=BE；

连接CG、EF；

∵四边形ABCD为正方形，

在△BCE与△DCG中，

，

∴△BCE≌△DCG（SAS），

∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，

∴∠GCF=45°，

在△GCF与△ECF中，

，

∴△GCF≌△ECF（SAS），

∴GF=EF，

∵CE=3，CB=6，

∴BE===3，

∴AE=3，

设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x，

∴EF==，

∴（9﹣x）2=9+x2，

∴x=4，

即AF=4，

∴GF=5，

∴DF=2，

∴CF===2，

故选：A．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分，只要求写出最后结果）

13．若a＜＜b，且a、b是两个连续的整数，则ab=　8　．

【考点】估算无理数的大小．

【分析】先估算出的范围，即可得出a、b的值，代入求出即可．

【解答】解：∵2＜＜3，

∴a=2，b=3，

∴ab=8．

故答案为：8．

【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出的范围．

14．不等式（m﹣2）x＞2﹣m的解集为x＜﹣1，则m的取值范围是　m＜2　．

【考点】不等式的解集．

【分析】根据不等式的性质3，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．

【解答】解：不等式（m﹣2）x＞2﹣m的解集为x＜﹣1，

∴m﹣2＜0，

m＜2，

故答案为：m＜2．

【点评】本题考查了不等式的解集，由不等号方向改变，得出未知数的系数小于0．

15．已知2a﹣1的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是6，则a+2b的平方根是　±2　．

【考点】立方根；平方根；算术平方根．

【专题】计算题；实数．

【分析】利用平方根、立方根定义求出a与b的值，即可确定出a+2b的平方根．

【解答】解：根据题意得：2a﹣1=27，3a+b﹣1=36，

解得：a=14，b=﹣5，

则a+2b=14﹣10=4，4的平方根是±2，

故答案为：±2

【点评】此题考查了立方根、平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF，若EF=，BD=4，则菱形ABCD的面积为　4　．

【考点】三角形中位线定理；菱形的性质．

【分析】根据EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理求的AC的长，然后根据菱形的面积公式求解．

【解答】解：∵E、F是AB和BC的中点，即EF是△ABC的中位线，

∴AC=2EF=2，

则S菱形ABCD=AC•BD=×2×4=4．

故答案是：4．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的面积公式，理解中位线定理求的AC的长是关键．

17．如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形AnBnCnDn的面积为　　．

【考点】正方形的性质．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】首先在Rt△A1BB1中，由勾股定理可求得正方形A1B1C1D1的面积=，然后再在Rt△A2B1B2中，由勾股定理求得正方形A2B2C2D2的面积=，然后找出其中的规律根据发现的规律即可得出结论．

【解答】解：在Rt△A1BB1中，由勾股定理可知； ==，即正方形A1B1C1D1的面积=；

在Rt△A2B1B2中，由勾股定理可知： ==；即正方形A2B2C2D2的面积=

…

∴正方形AnBnCnDn的面积=．

故答案为：．

【点评】本题主要考查的是正方形的性质和勾股定理的应用，通过计算发现其中的规律是解题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，共69分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（1）计算：（﹣3）0×6﹣+|π﹣2|

（2）解不等式：＞1﹣．

【考点】解一元一次不等式；实数的运算；零指数幂．

【分析】（1）根据零指数幂，二次根式的性质，绝对值分别求出每一部分的值，再代入求出即可；

（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．

【解答】解：（1）原式=1×6﹣4+π﹣2

=π；

（2）去分母得：2x＞6﹣（x﹣3），

去括号得：2x＞6﹣x+3，

移项得：2x+x＞6+3，

合并同类项得：3x＞9，

系数化成1得：x＞3．

【点评】本题考查了解一元一次不等式，零指数幂，二次根式的性质，绝对值的应用，能熟记知识点是解此题的关键．

19．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．

【解答】解：，

由①得，x＞﹣3，

由②得，x≤2，

故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．

在数轴上表示为：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．

20．如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．

试求：（1）∠BAD的度数；

（2）四边形ABCD的面积．

【考点】勾股定理；三角形的面积；勾股定理的逆定理．

【专题】计算题．

【分析】连接AC，则在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，AD，CD的长可以判定△ACD为直角三角形，

（1）根据∠BAD=∠CAD+∠BAC，可以求解；

（2）根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题．

【解答】解：（1）连接AC，

∵AB⊥CB于B，

∴∠B=90°，

在△ABC中，∵∠B=90°，

∴AB2+BC2=AC2，

又∵AB=CB=，

∴AC=2，∠BAC=∠BCA=45°，

∵CD=，DA=1，

∴CD2=5，DA2=1，AC2=4．

∴AC2+DA2=CD2，

由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°；

（2）∵∠DAC=90°，AB⊥CB于B，

∴S△ABC=，S△DAC=，

∵AB=CB=，DA=1，AC=2，

∴S△ABC=1，S△DAC=1

而S四边形ABCD=S△ABC+S△DAC，

∴S四边形ABCD=2．

【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，本题中求证△ACD是直角三角形是解题的关键．

21．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．

（1）求证：四边形AEBD是矩形；

（2）求四边形AEBD的面积．

【考点】矩形的判定．

【分析】（1）利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．

（2）在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得BD的长度，则矩形的面积=长×宽=AD•BD，即可得出结果．

【解答】（1）证明：∵AE∥BC，BE∥AC，

∴四边形AEDC是平行四边形．

∴AE=CD．

在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，

∴∠ADB=90°，BD=CD．

∴BD=AE．

∴四边形AEBD是矩形．

（2）解：在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，BD=CD=BC=3，

∴AD==4．

∴四边形AEBD的面积=BD•AD═3×4=12．

【点评】本题考查了矩形的判定与性质和勾股定理，根据“等腰三角形的性质和有一内角为直角的平行四边形为矩形”推知平行四边形AEBD是矩形是解题的难点．

22．已知，关于x，y的方程组的解满足x＞y＞0，求a的取值范围．

【考点】二元一次方程组的解．

【专题】计算题；一次方程（组）及应用．

【分析】把a看做已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出a的范围即可．

【解答】解：，

①+②得：3x=6a+3，即x=2a+1，

把x=2a+1代入①得：y=a﹣2，

代入不等式得：2a+1＞a﹣2＞0，

解得：a＞2．

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

23．为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？

【考点】一元一次不等式的应用．

【分析】设购买球拍x个，根据乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，购买的金额不超过200元，列出不等式，求解即可．

【解答】解：设购买球拍x个，依题意得：

1.5×20+22x≤200，

解之得：x≤7，

由于x取整数，故x的最大值为7，

答：孔明应该买7个球拍．

【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．

24．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE．

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；

（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．

【考点】菱形的性质；平行四边形的判定．

【专题】证明题．

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=BE，从而得到AF=CE，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠1=∠2，根据等边对等角可得然后∠F=∠3，然后求出∠2=∠F，再根据同位角相等，两直线平行求出CE∥AF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；

（2）根据菱形的四条边都相等可得AC=CE，然后求出AC=CE=AE，从而得到△AEC是等边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是60°求出∠CAE=60°，然后根据直角三角形两锐角互余解答．

【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，E是BA的中点，

∴CE=AE=BE，

∵AF=AE，

∴AF=CE，

在△BEC中，∵BE=CE且D是BC的中点，

∴ED是等腰△BEC底边上的中线，

∴ED也是等腰△BEC的顶角平分线，

∴∠1=∠2，

∵AF=AE，

∴∠F=∠3，

∵∠1=∠3，

∴∠2=∠F，

∴CE∥AF，

又∵CE=AF，

∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）解：∵四边形ACEF是菱形，

∴AC=CE，

由（1）知，AE=CE，

∴AC=CE=AE，

∴△AEC是等边三角形，

∴∠CAE=60°，

在Rt△ABC中，∠B=90°﹣∠CAE=90°﹣60°=30°．

【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质与判定方法是解题的关键．

25．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF=BD，连结BF．

（1）求证：BD=CD；

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为正方形？（写出条件即可，不要求证明）

【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．

【分析】（1）证明△AEF≌△DEC可得AF=DC，再根据条件AF=BD可利用等量代换可得BD=CD；

（2）首先判定四边形AFBD为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，进而可得四边形AFBD为矩形；

（3）当AB=AC，且∠BAC=90°时，四边形AFBD为正方形，首先证明∠ABC=45°，∠BAD=45°，可得AD=BD，进而可得四边形AFBD为正方形．

【解答】（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠ECD．

∵E是AD的中点，

∴DE=AE，

在△AEF与△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=DC，

∵AF=BD，

∴BD=CD；

（2）答：四边形AFBD为矩形；

解：∵AF=BD，AF∥BD，

∴四边形AFBD为平行四边形，

∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC，

∴∠BDA=90°，

∴四边形AFBD为矩形；

（3）AB=AC，且∠BAC=90°；

∵AB=AC，且∠BAC=90°，

∴∠ABC=45°，

∵AD⊥BC，

∴∠BAD=45°，

∴AD=DB，

∴四边形AFBD为正方形．

【点评】此题主要考查了正方形的判定，矩形的判定，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握邻边相等的矩形是正方形．

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