2022-2023学年河南省南阳市六校高一上学期第二次联考（月考）数学试题含解析

2022-2023学年河南省南阳市六校高一上学期第二次联考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据并集的运算规则进行求解.

【详解】解：由题意得：

集合，

故选：C

2．已知，为实数，则是的（    ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据对数的定义和对数函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】若，显然，但是没有意义，

当时，由于函数是正实数集上的增函数，故可得，

所以是的必要而不充分条件，

故选：A

3．将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5∶4∶1，若用分层抽样的方法抽取容量为250的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（    ）

A．25 B．35 C．75 D．100

【答案】A

【解析】算出丙层所占的比例即可

【详解】因为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5∶4∶1，

所以丙层所占的比例为，

所以应从丙层中抽取的个体数为，

故选：A.

【点睛】本题考查的是分层抽样，较简单.

4．若函数，且的图象过定点，则（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据对数函数且过定点代入求解即可.

【详解】依题意，函数且过定点，则.

故选：C.

5．如图是容量为500的样本的频率分布直方图，那么样本数据落在内的频率，频数分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据频率分布直方图中矩形面积为对应频率，结合频数的概念计算即可.

【详解】根据题意，易知样本数据落在内的频率为，频数为

.

故选：D.

6．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析函数的单调性，利用零点存在定理可得出函数的零点所在的区间.

【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，

又因为函数在上连续，

，，则，

由零点存在定理可知函数的零点所在的区间是.

故选：C.

7．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的单调性结合中间量法即可得解.

【详解】解：由题得，

，

，

所以.

故选：A.

8．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得满足，再利用基本不等式中“1”的妙用求得的最小值，最后解不等式即可.

【详解】由得，

，

当且仅当时，等号成立，

则使不等式有解，只需满足即可，

解得.

故选：C.

9．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得“，使”是真命题，再根据二次不等式恒成立满足的判别式关系求解即可.

【详解】命题“，使”是假命题，

命题“，使”是真命题，

则判别式，解得.

故选：C.

10．下列命题是真命题的有（    ）

A．有甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的乙个体数为9，则样本容量为32

B．数据的平均数､众数､中位数相同

C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为，则这两组数据中较稳定的是甲

D．一组数的分位数为4

【答案】B

【分析】根据分层抽样的定义计算可判断A；根据平均数､众数､中位数的定义判断B；根据方差公式计算乙组数据方差判断C；根据百分位数的定义判断D.

【详解】对A：甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样，故乙占了样本容量为，故A不正确；

对B：数据的平均数为，

众数为3，中位数为，故B正确；

对C：乙组数的平均数为，

方差为.

乙组数据更稳定，故C错误；

对D：将这组数据从小到大排列：1，2，2，3，

；又，则这组数据的分位数是第七个数与第八个数的平均数，为，故D错误.

故选：B.

11．已知函数，下列结论正确的是（    ）

A．单调增区间为，值域为

B．单调减区间是，值域为

C．单调增区间为，值域为

D．单调减区间是，值域为

【答案】C

【分析】由题意可知，函数是复合函数，根据复合函数同增异减的单调性原则可求其单调区间和值域.

【详解】要使函数有意义，则有，解得，

所以函数的定义域为.

因为，所以，即函数的值域.

因为当时，在内单调递增，在内单调递减，且在定义域内单调递增，

所以根据复合函数的单调性可得的单调减区间是，增区间为.

故选：C.

12．定义在上的函数满足，当时，，则下列说法错误的是（    ）

A．

B．为奇函数

C．在区间上有最大值

D．的解集为

【答案】C

【分析】根据题意，可令即可判断A；根据奇函数定义可判断函数满足，即B正确；再利用单调性的定义以及当时，可判断函数单调性，得出C错误；根据函数单调性的应用，即可解出不等式的解集.

【详解】解：对于选项，在中，令，可得，

解得，A选项正确；

对于B选项，由于函数的定义域为，在中，

令，可得，所以，则函数为奇函数，选项正确；

对于选项，任取，且，则，，

所以，所以，

则函数在上为减函数，所以在区间上有最大值，C选项错误；

对于选项，由可得，

又函数在上为减函数，则，

整理得，解得，

故D选项正确.

故选：C.

二、填空题

13．已知指数函数，若时，总有，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】由条件，结合指数函数的单调性列不等式可求的取值范围.

【详解】时，

所以指数函数的底数大于1，因此.

故的取值范围是，

故答案为：.

14．总体是由编号为的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________.

【答案】19

【分析】根据随机数表选取编号的方法求解即可.

【详解】随机数表第1行的第5列和第6列数字为15，则选取的5个个体依次为：15，

，故选出来的第5个个体的编号为19.

故答案为:19.

15．已知函数是奇函数，当时，函数的图像与函数的图像关于直线对称，则__________.

【答案】

【分析】根据反函数的性质可知当时，，再根据是奇函数，即可求出的值.

【详解】解：当时，的图像与函数的图像关于直线对称，

当时，当时，，

又是奇函数，.

故答案为：.

16．若若有两个零点，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】把有两个零点转化为两个函数有两个交点，结合图像可得实数的取值范围.

【详解】因为有两个零点，

所以与有两个不同的交点，如图所示，

所以有，即.

故答案为：.

三、解答题

17．计算：

(1)；

(2).

【答案】(1)1；

(2).

【分析】（1）利用对数运算法则即换底公式计算即可（2）将式中的代分数和小数形式化成真分数之后再进行分数指数幂的运算.

【详解】（1）

（2）

18．已知函数的定义域为.

(1)求；

(2)设集合，若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由函数的解析式有意义列不等式可求函数的定义域；

(2)根据指数函数的单调性化简集合，结合关系列不等式求的取值范围.

【详解】（1）由有意义可得，得，

函数的定义域为，

即；

（2）因为函数在上单调递减，所以可化为，所以，

所以集合，

又，

所以，即，

所以实数的取值范围.

19．已知函数，，其中.

(1)解关于的不等式：；

(2)若函数的最小值为，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据对数函数的定义域与单调性结合可得出关于的不等式组，解之即可；

（2）求出函数的定义域，结合对数型复合函数的单调性可得出的最小值的表达式，结合的取值范围可解得实数的值.

【详解】（1）解：不等式即为，

，则函数为上的减函数，

，解得，故不等式的解集为

（2）解：对于函数，由可得，即函数的定义域为，

则，

在上单调递增，在上单调递减，.

，且的最小值为，，得，所以.

20．随着新冠肺炎疫情的稳定，各地的经济均呈现缓慢的恢复趋势，为了更进一步做好疫情的防控工作，避免疫情的再度爆发，A地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将A地区20000个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14000人.

(1)求m，n的值；

(2)根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；

(3)计算A地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差.

【答案】(1)，；

(2)频率分布直方图见解析；

(3)平均数是7，方差是．

【分析】（1）由每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14000人求出6以上（含6）的频率，从而可得值，同样由6个以下的频率求得；

（2）根据频率表作出频率分布直方图；

（3）由每组数据中点值乘以频率相加得平均值，由每组数据中点值减去平均值后平方再乘以频率相加得方差．

【详解】（1）由已知，；

（2）频率分布直方图如下：

（3）由频率分布直方图得

一周内使用口罩的平均数为

，

方差为．

21．6月17日是联合国确定的“世界防治荒漠化和干旱日”，为增强全社会对防治荒漠化的认识与关注，聚焦联合国2030可持续发展目标——实现全球土地退化零增长.自2004年以来，我国荒漠化和沙化状况呈现整体遏制、持续缩减、功能增强、成效明显的良好态势.治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗埔中随机地抽测了200株树苗的高度（单位：cm），得到以下频率分布直方图.

（1）求直方图中的值及众数、中位数；

（2）若树高185cm及以上是可以移栽的合格树苗.

①求合格树苗的平均高度(结果精确到个位)；

②从样本中按分层抽样方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株？

【答案】（1），众数190，中位数为190；（2）①；②不合格树苗、合格树苗分别应抽取7株和13株.

【解析】（1）根据频率和为1，求，再根据众数公式和平均数公式求解；（2）①首先求树苗高度185cm及以上的频率，再根据公司拟求合格树苗的平均高度；②根据不合格、合格树苗的频率求解.

【详解】⑴

众数：190

设中位数为因为

则

⑵树苗高度185cm及以上的频率是：

⑶不合格的抽取株，合格的抽取株，    

故不合格树苗、合格树苗分别应抽取7株和13株 .

【点睛】易错点睛：本题第二问需注意审题，求合格树苗的平均高度，计算185以后的每个小矩形的数据中点值乘以本组的频率后，不要忘记除以合格树苗的频率.

22．已知，函数.

(1)若函数只有一个零点，求实数的取值范围；

(2)设，若对于任意实数，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求实数的取值范围.

【答案】(1)或-1

(2).

【分析】(1)根据函数零点的定义和一元二次方程根的分布求解即可；(2)根据函数的单调性求最值，再利用二次函数在给定区间求最值可求解.

【详解】（1）函数，

若函数只有一个零点，则

即方程只有1个正实根，

当时符合条件，函数零点为，

当时，，且符合条件，

当时，由，得，

此时方程的解为，则函数零点为1.

综上，实数或-1.

（2）首先证明函数在上单调递减.

任取且，

因为，则，即

，函数在上单调递减，

所以函数在区间上的最大值与最小值分别为与

即对于任意实数恒成立

令，

则对称轴方程为，所以在函数在上单调递增，

得即可，解得

实数的取值范围.