2023年中考数学二轮复习《压轴题-角的关系综合问题》强化练习(含答案)

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2023年中考数学二轮复习《压轴题-角的关系综合问题》强化练习1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D(1，0)，将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．(1)求抛物线解析式；(2)连接BE，求△BCE的面积；(3)抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．             2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过A(﹣，0)，B(3，)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．                3.已知：抛物线y＝﹣(x＋k)(x﹣7)交x轴于A、B(A左B右)，交y轴正半轴于点C，且OB＝OC．(1)如图1，求抛物线的解析式；(2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，连接AP，AP交y轴于点D，设P的横坐标为m，CD的长为d，求d与m的函数解析式(不要求写出自变量m的取值范围)；(3)如图3，在(2)的条件下，过点P作PE⊥y轴于点E，延长EP至点G，使得PG＝3CE，连接CG交AP于点F，且∠AFC＝45°，连接AG交抛物线于T，求点T的坐标．                 4.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A，B两点(点B在点A的右边)，点A坐标为(1，0)，抛物线与y轴交于点C，S△ABC＝3．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P(x，y)是抛物线上一动点，且x＞3．作PN⊥BC于N，设PN＝d，求d与x的函数关系式；(3)在(2)的条件下，过点A作PC的平行线交y轴于点F，连接BF，在直线AF上取点E，连接PE，使PE＝2BF，且∠PEF＋∠BFE＝180°，请直接写出P点坐标．                  5.如图1所示，直线y＝x＋3与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C(1，2)在经过点A，B的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为线段AB上(不与端点重合)的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ＋PB取得最大值时点P的坐标；(3)如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G(﹣1，0)，直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD＋∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．               6.抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴的正半轴交于C点，△ABC的面积为6．(1)直接写出点A、B的坐标为 　    ；抛物线的解析式为 　    ．(2)如图1，连结AC，若在第一象限抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离为，求点D的坐标；(3)如图2，平行于AC的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，PQ恰好平分∠MPN，求P点坐标．                 7.抛物线y＝x2＋(t﹣2)x﹣2t(t＞0)与x轴交于A、B两点(A在B左边)，与y轴交于点 C．(1)直接写出A点坐标 　  　、B点坐标 　  　、C点坐标 　   　；(2)如图1，直线y＝kx＋b与抛物线交于M、N两点(M不与A重合，M在N左边)，连接MA，作NH⊥x轴于点H，过点H作HP∥MA交y轴于点P，PH交MN于点Q，求点Q的横坐标；(3)如图2，直线y＝d(d＞0)与抛物线交于第二象限点D，若∠ADB＝45°，求d﹣t的值．              8.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A(1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图2，M是x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标；(3)如图3，连接AC、BC，在抛物线上是否存在一点N(不与点A重合)，使得∠BCN＝∠ACB？若存在，求点N的横坐标；若不存在，请说明理由．      
参考答案1.解：(1)∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点A的坐标为(3，0)，点D的坐标为(1，0)，∴点E的坐标为(﹣1，0)．将A(3，0)，E(﹣1，0)代入y＝ax2＋bx＋3，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3．(2)当x＝0时，y＝﹣1×(0)2＋2×0＋3＝3，∴点B的坐标为(0，3)．设直线AB的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，将A(3，0)，B(0，3)代入y＝mx＋n，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x＋3．∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D(1，0)，当x＝1时，y＝﹣1×1＋3＝2，∴点C的坐标为(1，2)．∵点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，3)，点C的坐标为(1，2)，点E的坐标为(﹣1，0)，∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，∴S△BCE＝S△ABE﹣S△ACE＝AEOB﹣AECD＝×4×3﹣×4×2＝2，∴△BCE的面积为2．(3)存在，理由如下：∵点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，3)，∴OA＝OB＝3．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠BAE＝45°.∵点P在抛物线上，∴设点P的坐标为(m，﹣m2＋2m＋3)．①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，∴EM＝P1M，即m﹣(﹣1)＝﹣m2＋2m＋3，解得：m1＝﹣1(不合题意，舍去)，m2＝2，∴点P1的坐标为(2，3)；②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x轴于点N，在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，∴EN＝P2N，即m﹣(﹣1)＝﹣(﹣m2＋2m＋3)，解得：m1＝﹣1(不合题意，舍去)，m2＝4，∴点P2的坐标为(4，﹣5)．综上所述，抛物线上存在一点P，使∠PEA＝∠BAE，点P的坐标为(2，3)或(4，﹣5)．2.解：(1)将点A(﹣，0)，B(3，)代入到y＝ax2＋bx＋2中得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋2；(2)设点P(m，﹣m2＋m＋2)，∵y＝﹣x2＋x＋2，∴C(0，2)，设直线BC的解析式为y＝kx＋c，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x＋2，∴D(m，m＋2)，∴PD＝|﹣m2＋m＋2﹣m﹣2|＝|m2﹣3m|，∵PD⊥x轴，OC⊥x轴，∴PD∥CO，∴当PD＝CO时，以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，∴|m2﹣3m|＝2，解得m＝1或2或或，∴点P的横坐标为1或2或或；(3)①当Q在BC下方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴∠CHM＋∠BHN＝∠HBN＋∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∴△CHM≌△HBN(AAS)，∴CM＝HN，MH＝BN，∵H(m，n)，∵C(0，2)，B(3，)，∴，解得，∴H(，)，设直线CH的解析式为y＝px＋q，∴，解得，∴直线CH的解析式为y＝﹣x＋2，联立直线CF与抛物线解析式得，解得或，∴Q(，)；②当Q在BC上方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，同理得Q(，)．综上，存在，点Q的坐标为(，)或(，)．3.解：(1)当y＝0时，﹣(x＋k)(x﹣7)＝0，解得：x＝﹣k或7，∴点B的坐标为(7，0)，A(﹣k，0)，∵OB＝OC，∴OC＝OB＝7，∴点C的坐标为(0，7)，将点C的坐标代入抛物线表达式得：﹣(0＋k)(0﹣7)＝7，解得：k＝2，∴y＝﹣(x＋2)(x﹣7)＝﹣x2＋x＋7，故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋x＋7；(2)过点P作PK⊥AB与点K，PE⊥y轴于点E，如图1，∵y＝﹣(x＋2)(x﹣7)，∴P(m，﹣(m＋2)(m﹣7))，A(﹣2，0)，∴AK＝m＋2，tan∠PAB＝＝，∴DO＝AOtan∠PAB＝2()＝7﹣m，∴CD＝7﹣(7﹣m)＝m，∴d＝m．(3)过点C作WC⊥ED使得WD＝PD，TL⊥AB，连接WD，WP，设EC＝k，则PG＝3k，∵∠WCD＝∠DEP，CD＝EP，WD＝PD，∴△WCD≌△DEP，则△PWD为等腰直角三角形，∴∠WPD＝45°＝∠CFD，∴WP∥CG，∴四边形CGPW为平行四边形，∴CW＝PG＝3k＝ED，∴CD＝2k＝PE，∴tan∠APE＝＝，由(2)可得tan∠PAB＝，∴＝，∴m＝4，k＝2，∴EO＝7＋2＝9，EG＝10，∴G(10，9)，A(﹣2，0)，∴tan∠GAB＝＝，再设T坐标为(t，﹣ (t＋2)(t﹣7))，则tan∠TAB＝＝，∴t＝，∴T(，)．4.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3与y轴交于点C，当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)，即OC＝3，∵S△ABC＝3，∴×AB×OC＝3，即AB×3＝3，∴AB＝2，又∵A(1，0)且点B在点A的右边，∴B(3，0)，把A点和B点坐标代入抛物线y＝ax2＋bx＋3，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x＋3；(2)由(1)知，C(0，3)，B(3，0)，设直线BC的解析式为y＝kx＋t，代入B点和C点的坐标得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋3，过点P作PD⊥x轴交BC延长线于点E，交x轴于点D，∵OC＝OB，∴∠CBO＝45°，又∵∠COB＝∠PDO＝90°，且∠CBO＝∠DBE＝45°，∴∠PEC＝45°，且PN⊥CB，∴∠NPE＝45°，∴cos∠NPE＝cos45°＝，∴PN＝PE，设P(m，m2﹣4m＋3)，则E(m，﹣m＋3)，∴PE＝m2﹣4m＋3﹣(﹣m＋3)＝m2﹣3m，∴PN＝d＝PE＝(m2﹣3m)＝m2﹣m，∴d＝x2﹣x；(3)如下图，过点P作PH⊥FE于点H，过点C作CI⊥FE于点I，过点B作BJ⊥FE于点J，设FE交BC于点K，∵∠PEF＋∠BFE＝180°，且∠PEF＋∠PEH＝180°，∴∠BFE＝∠PEH，∵∠PHE＝∠CIJ＝∠BJH＝90°，又∵PE＝2BF，∴△PEH∽△BJF，∴BJ＝PH，又∵CP∥AH，且CI∥PH，∴四边形CPHI是矩形，∴CJ＝PH，又∵∠CJI＝∠BKJ，∴BJ＝CI，∴BK＝CK，∴K(2，1)，设直线AF的解析式为y＝sx＋n，代入K点和A点的坐标得，解得，∴直线AF的解析式为y＝x﹣1，设直线PC的解析式为y＝x＋g，代入C点坐标得g＝3，∴直线PC的解析式为y＝x＋3，联立直线PC和抛物线的解析式得，解得或，∴P(5，8)．5.解：(1)由题意得：A(﹣4，0)，B(0，3)，∴，∴，∴y＝﹣﹣＋3；(2)如图1，作PD⊥OB于D，设Q(m，﹣﹣＋3)，P(m， m＋3)，∴PQ＝﹣﹣＋3﹣(＝﹣﹣，∵PD∥OA，∴△BPD∽△BAO，∴＝，∴＝，∴PB＝﹣m，∴PQ＋PB＝﹣﹣m﹣m＝﹣﹣，∴当m＝﹣，∵×(﹣)＋3＝，∴P(﹣，)；(3)如图2，作CN⊥AD于N，作MT⊥AB于T，∵C(1，2)，G(﹣1，0)，∴CN＝GN＝2，∴∠CGN＝∠NCG＝45°，∴∠CFD＋∠GDF＝45°，∵∠CFD＋∠ABH＝45°，∴∠GDF＝∠ABH，∵∠GDF＝∠HBO，∴∠ABH＝∠HBO，∴OM＝MT，∵S△ABM＋S△BOM＝S△AOB，∴，∴5OM＋3OM＝3×4，∴OM＝，∴M(﹣，0)，∴直线BM的解析式为：y＝2x＋3，∵C(1，2)，G(﹣1，0)，∴直线CG的解析式为：y＝x＋1，由2x＋3＝x＋1得，x＝﹣2，∴x＋1＝﹣1，∴H(﹣2，﹣1)． 6.解：(1)令y＝0，即ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A(﹣1，0)，B(3，0)；令x＝0，则y＝﹣3a，∴C(0，﹣3a)，即OC＝﹣3a，∴S＝×4×(﹣3a)＝6，解得a＝﹣1，∴函数解析式为：y＝﹣x2＋2x＋3．故答案为：A(﹣1，0)，B(3，0)；y＝﹣x2＋2x＋3．(2)由(1)知，A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)，∴OA＝1，OC＝3，AB＝，过点O作OG⊥AC于点G，∴S△OAC＝OAOB＝ACOG∴×1×3＝×OG，∴OG＝，设点D到直线AC的距离h＝＝2OG，延长GO到点G′，使得OG′＝OG，过点G′作AC的平行线与x轴交于点A′，与抛物线在第一象限内交于点D，∴∠GAO＝∠G′A′O，∵∠GOA＝∠G′OA′，∴△GAO≌△G′A′O(AAS)，∴OA＝OA′＝1，∴A′(1，0)，∵A(﹣1，0)，C(0，3)，∴直线AC的解析式为：y＝3x＋3，∴直线A′G′的解析式为：y＝3x﹣3，令3x﹣3＝﹣x2＋2x＋3，解得x＝2或x＝﹣3，∵点D在第一象限，∴D(2，3)．(3)如图，过点M作ME⊥DE于E，过点N作NF⊥DE于F，设M(x1，﹣x12＋2x1＋3)，N(x2，﹣x22＋2x2＋3)，P(x0，﹣x02＋2x0＋3)，则：ME＝﹣x12＋2x1＋3﹣(﹣x02＋2x0＋3)＝﹣x12＋2x1＋x02﹣2x0＝﹣(x1﹣x0)(x1＋x0)＋2(x1﹣x0)＝(x0＋x1﹣2)(x0﹣x1)，PE＝x0﹣x1，FN＝﹣x02＋2x0＋3﹣(﹣x22＋2x2＋3)＝﹣(x0＋x2﹣2)(x0﹣x2)，PF＝x0﹣x2，∵PQ恰好平分∠MPN，即∠MPE＝∠NPE，∠MEP＝∠NFP＝90°，∴△MPE∽△NPF，∴＝，∴＝，∴x0＝，∵A(﹣1，0)，C(0，﹣3)，∵MN∥AC，∴设直线MN的解析式为y＝3x＋b，令3x＋b＝﹣x2＋2x＋3，由消去y整理得：x2＋x﹣3＋b＝0，由韦达定理可知：x1＋x2＝﹣1，∴x＝，∴P(，)．7.解：(1)令y＝0，得x2＋(t﹣2)x﹣2t＝0，解得：x＝﹣t或x＝2，∴A(﹣t，0)，B(2，0)，令x＝0，得y＝﹣2t，∴C(0，﹣2t)，故答案为：A(﹣t，0)，B(2，0)，C(0，﹣2t)；(2)如图1，过点M作MK⊥x轴于K，过点Q作QL⊥x轴于L，∴∠MKA＝∠QLH＝90°，设M(x1，kx1＋b)、N(x2，kx2＋b)联立，整理得x2＋(m﹣2﹣k)x﹣2m﹣b＝0，∴x1＋x2＝2＋k﹣m，x1x2＝﹣2m﹣b，设点Q的横坐标为n，则Q(n，kn＋b)，∵MA∥QH，∴∠MAK＝∠QHL，∴△MKA∽△QLH，∴，即＝，整理得kx1x2＋b(x1＋x2)＋kmn＋bm﹣bn＝0，∴k(﹣2m﹣b)＋b(2＋k﹣m)＋kmn＋bm﹣bn＝0，∴(km﹣b)(n﹣2)＝0，①当km﹣b＝0，此时直线为y＝k(x＋m)，过点A(﹣m，0)，不符合题意；②当n﹣2＝0，此时n＝2，Q点的横坐标为2；(3)如图2，设D(m，m2＋(t﹣2)m﹣2t)，作∠DBE＝90°，交DA的延长线于E，作DF∥x轴，作BF⊥DF于F，作EG⊥FB交FB的延长线于G，∴∠F＝∠G＝90°，∠DBF＋∠EBG＝90°，∴∠FDB＋∠DBF＝90°，∴∠FDB＝∠EBG，∵∠ADB＝45°，∴∠AEB＝90°﹣∠DAB＝45°，∴BD＝BE，∴△DFB≌△BGE(AAS)，∴EG＝BF＝d，BG＝DF＝2﹣m，∴E(2﹣m，m﹣2)，设直线DE的解析式为：y＝px＋q，∴，∴，∴y＝(m﹣2)x＋(m﹣2)t，把x＝2﹣d，y＝m﹣2代入得，m﹣2＝(m﹣2)(2﹣d)(m﹣2)t，∴d﹣t＝1．8.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3过A(1，0)、B(3，0)两点，∴方程ax2＋bx＋3＝0的两根为x＝1或x＝3，∴1＋3＝﹣，1×3＝，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x＋3； (2)∵二次函数解析式是y＝x2﹣4x＋3，∴C(0，3)．设直线BC的解析式为y＝kx＋t(k≠0)，则，解得：．∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋3．设点M(m，m2﹣4m＋3)，过点M作MN∥y轴，交BC于点N，∴N(m，﹣m＋3)，∴MN＝﹣m＋3﹣m2＋4m﹣3＝﹣m2＋3m，∵A(1，0)、B(3，0)，C(0，3)．∴S△MOC＝OCm＝m，S△MBC＝MNOB＝﹣m2＋m，∵△MOC的面积是△MBC面积的3倍，∴m＝3(﹣m2＋m)，∴m＝0(舍去)或，∴点M的坐标为(，﹣)；(3)抛物线上存在一点N，使得∠BCN＝∠ACB．过点B作BE⊥AB交CN与E，∵B(3，0)，C(0，3)．∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，∴∠OBC＝∠EBC＝45°，∵BC＝BC，∠BCN＝∠ACB．∴△ABC≌△EBC(ASA)，∴BE＝AB＝2，∴E(3，2)，设直线CN的解析式为y＝mx＋n，∴，解得，∴直线CN的解析式为y＝﹣x＋3，联立y＝x2﹣4x＋3得，或 (舍去)，∴抛物线上存在一点N，使得∠BCN＝∠ACB．点N的横坐标为．