深圳实验学校高中部2022-2023学年第二学期高一期中考试数学试卷

深圳实验学校高中部2022-2023学年第二学期期中考试

高一数学

时间:120分钟     满分：150分       命题人：迟菲      审题人：方永松

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、考号填涂清楚。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须黑色字迹的签字笔书写。

3．请按照题号顺序在答题卡的答题区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效。

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知为两个非零向量，其中，若，则

A． B． C． D．

2. 复数，则的虚部是

A． B． C． D．

3．已知单位向量满足，则cos=

A． B． C． D．

4. 从正方体的8个顶点上任取4个顶点，则这4个顶点构成的几何图形不可能是

A．三个面是直角三角形的正三棱锥

B. 有一个面是钝角三角形的四面体

C. 每个面都是等边三角形的四面体

D. 每个面都是直角三角形的四面体

5．在△中，已知，则一定成立的是

A． B．  C． D．

6. 在△中，，若三角形有两解，则的取值范围是

A． B． C．      D．

7．过△的重心的直线分别交线段于点，若

，则的最小值为（   ）

A.            B.              C.         D.

8. 在锐角△中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（    ）

A.             B.                C.           D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．设为平面内任意三个非零向量，下列结论正确的是（    ）

A．的充要条件是 B．的充要条件是

C．若，则 D．若，则

10. 已知复数，下列结论正确的是（     ）

A．的充要条件是 B．是纯虚数的充要条件是

C．若，则 D．若，则是纯虚数

11. 在正四面体中，若,为的中点，下列结论正确的是（    ）

A．正四面体的体积为 B．正四面体外接球的表面积为

C．如果点在线段上，则的最小值为 

D．正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为

12. 在△中，角所对的边分别为，，是△的外接圆圆心，下列结论正确的是（    ）

A．的最大值是 B． 的取值范围是

C．若，则△是等腰三角形

D．的最大值是3

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．

13．若为单位向量，且，则在方向上的投影向量为           ．

14. 在复数范围内方程的两根为，，则__________.

15. 若为△的重心，，则的最小值为__________.

16. 水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切.若用一个半球形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是____.

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.（10分）

  已知，．

(1)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围；

(2)当时，求的取值范围．

18. （12分）

已知半圆圆心为点，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示.

(1)若，求与夹角的大小；

(2)试求点的坐标，使取得最小值，并求此最小值.

19. （12分）

如图，在中，，，且点在线段上．

(1)若，求的长；

(2)若，，求的面积．

20. （12分）

已知正四棱锥的侧棱长为和底面边长为2.

（1）求正四棱锥的体积和表面积；

（2）若点分别在侧棱上，且，求三棱锥的体积.

21.（12分）

正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为，，高为，如图水平放置，盛有水深为．

(1)求玻璃容器的体积；

(2)将一根长度为的搅棒置入玻璃容器中，的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．（容器厚度，搅棒粗细均忽略不计）

22. （12分）

如图1，某景区是一个以为圆心，半径为的圆形区域，道路，成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点，分别在和上，修建的木栈道与道路，围成三角地块．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．

（1）若的面积，求木栈道长；

（2）如图2，若景区中心与木栈道段连线的，求木栈道的最小值．