四川省阆中中学2022-2023学年高三数学（理）下学期4月月考试题（Word版附答案）

四川省阆中中学校2023年春高2020级4月月考

数学（理科）试题

（满分：150分，时间：120分钟）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数，则复数的实部与虚部之和是（    ）

A．－6    B．－4    C．4     D．6

2．已知集合，，且，则（    ）

A．   B．        C．        D．

3．在中，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.阆中是中国历史文化名城，世界优秀旅游城市目的地，每年都会在这里举行“阆马”比赛，选手们沿着美丽的嘉陵江比赛，在阆苑古城中穿越，领略千年古城的魅力。小王为参加“阆马”比赛，每天坚持健身运动。依据小王2022年1月至2022年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据，整理并绘制成拆线图，根据该拆线图，下列结论正确的是（  ）

A.月跑步里程逐月增加

B.月跑步里程的极差小于15

C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D.1月至5月的月跑步里程的方差相对于6月至11月的

月跑步里程的方差更大

5.函数在区间上的图象大致为（    ）

6. 已知为正方形，其内切圆与各边分别切于,连接现向正方形内随机抛掷一枚豆子（豆子大小忽略不计），记事件A:豆子落在圆内；事件B:豆子落在四边形外，则（     ）

  A.                B.  

C.  D.

7.在中，，且，，动点M在线段AB上移动，则的最小值为（    ）

A．          B．        C．       D．

8．下面关于函数的叙述中，正确的是（    ）

①的最小正周期为          ②的对称中心为

③的单调增区间为    ④的对称轴为

A．①③         B．②③④        C．②④       D．①③④

9.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（   ）

10. 已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，若则（    ）

11.已知函数在区间上单调，且满足若函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为 （   ）

12. 设，，，则     (     )

A.   B.   C.   D.

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，则            

14．电影《中国乒乓之绝地反击》讲述了1992年至1995年期间，戴敏佳从国外回来担任主帅决心有一番作为，龚枫、白民和、黄昭、侯卓翔、董帅五名运动员在戴敏佳的带领下，在天津世锦赛绝地反击的故事。影片中主人公的奋斗历程和顽强拼搏、为国争光的精神激励我们奋勇前行！该影片于2023年1月14日正式上映．在《中国乒乓之绝地反击》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，影院要求每个小孩要有家长相邻陪坐，则不同的坐法共有__________种．

15. 如图，在正四棱台中，，，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积______.

16. 已知双曲线的左、右焦点分别为的渐近线与圆在第一象限的交点为M，线段与C交于点N，O为坐标原点．若，则C的离心率为__________．

三､解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题 （共60分）

17.已知公差不为的等差数列的前项和为，且，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.    

18. “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”，“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当阅读到这些话的时候，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量.为了解某地区普通高中学校学生的阅读时间，从该地区随机抽取了名普通高中学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求的值；

（2）为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；

（3）以样本的频率估计概率，从该地区所有学生中随机抽取名学生，用表示这学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中当最大时，写出的值.

19.如图甲所示的正方形中，对角线分别交于点，将正方形沿折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱

（1）若点在棱上，且，

证明：平面；

（2）求平面与平面所成角的余弦值.

20.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆交于M，N两点，M在N的左侧．

（1）若，求l的斜率；

（2）记直线的斜率分别为，证明：为定值．

21.已知函数（自然对数的底数）在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）试判断函数在区间内零点的个数？说明你的理由.

（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.

22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）若，在极坐标系中直线经过点，求的值；

（Ⅱ）若，直线与曲线交于、两点，求的最小值.

23. 已知函数

（1）求函数的最小值；

（2）若为正实数，且，求的最小值.

四川省阆中中学校2023年春高2020级4月月考

数学（理科）试题参考答案

一、选择题

1.因为．所以复数z的实部与虚部分别是4和2，故复数z的实部与虚部之和是．故选：D

2.由得所以

集合因为所以解得故选：C.

3.在中，.必要性成立；

反之，不能如时，

即，即充分性不成立，故可判断是的必要而不充分条件。

故选：B

4. 解:对于A,由折线图的变化趋势可知，月跑步里程不是逐月增加的，故选项A错误;

对于B,由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月为5,最大值出现在10月为25,极差为20,大于15,故选项B错误;

对于C,月跑步里程从小到大排列为: 2月，8月，3月，4月，1月,5月，7月,6月，11月，9月，10月，则5月对应的里程为中位数，故C正确;

对于D,由折线图的变化趋势可知，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，所以1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月的月跑步里程的方差更小，故选项D错误.故选: C.

5. 对于函数，

∵ 故为奇函数，图象关于原点对称，B、D错误；

又∵，且，

故，C错误；故选：A.

6.由题意，设正方形的边长为，则圆的半径为，面积为，

正方形的边长为，面积为；

所以所求的概率为故选：C.

7.以为原点，为轴建系，

所以，

所以，所以最小值为.故选：B

8. ，

①,函数的最小正周期，①正确；

的定义域关于原点对称且为偶函数，

的对称轴为

②错误，④正确；

当，即时，单调递增，③正确。

故选：D

9.依题意，设由得为的中点且

则易得直线的垂线的方程为

令得故由抛物线定义知，

故，故选：A.

10. 由为奇函数可得：，即令，则（即关于点对称）；

由得的图象关于直线对称，所以函数的周期.

所以，即，

联立解得故.所以.

故选：A.

11.在区间上单调,

的对称中心为且，

即,即，,

又的对称中心为,

在区间上恰有个零点，相邻两个零点之间的距离为，

即五个零点之间即，六个零点之间即，

只需即可，即，

又，,故选：B.

12.因为，所以，所以，，所以，所以，若，则，设在上单调递增，所以，即，不合题意，故选：A.

二、填空题：

13.        14.      15.      16.

13.由可得，故.

14.根据题意，将两名家长、孩子全排列，有种排法，

其中两个孩子相邻且在两端的情况有种，

则每个小孩子要有家长相邻陪坐的排法有24-8= 16种，故答案为: 16

15.设球O与上底面、下底面分别切于点，

与面，面分别切于点，

作出其截面如图所示，则，，

于是，

过点M作于点H，则，

由勾股定理可得︰,所以，

所以该球的表面积，故答案为：

16.的渐近线为：，焦点，

∵渐近线与圆在第一象限的交点为，

联立可得，所以N是的中点，，因为N在双曲线上，,化简得：

所以离心率为，故答案为：

三、解答题：

17.解：由条件知故                     …………1分

设数列的公差为，则

因为成等比数列，所以                  …………2分

即解得                           …………4分

所以         …………6分

（2）由（1）知所以＝＝     …………9分

故

＝＝                                     …………12分

21. 解：（Ⅰ）的定义域为.

，..  ……2分

∵在点处的切线方程为，

切线的斜率为.

∴得∴，.     ……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.

∴（为自然对数的底数）.

在区间内有两个零点.理由如下：                    ……7分

∵总成立，

∴在区间内零点的个数等价于在区间内零点的个数.                                                    ……8分

∵，.

又∵，由，得.

当时，得，得，即.

在上单调递减.

当时，得，得，即.

在上单调递增.

∴在处取得极小值，也是最小值.                      ……10分

.

综上所述，在区间和区间内各有唯一零点，

即在区间内有两个零点.

∴函数在区间内有两个零点.                           ……12分

22.解：（Ⅰ）设点的直角坐标为.因为，点的极坐标为.

∴，.                       ……2分

∴当时，得解之，得

∴.                                            ……5分

（Ⅱ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为.                                ……6分

∴曲线是以为圆心，半径的圆.

当时，若，化直线的参数方程为普通方程，

直线过定点.

若，直线的普通方程为，直线也过点.

∴直线恒过定点.

∵.∴点在圆内.                     ……8分

∴当为的中点时最小.这时，，.

∴.                  ……10分

23.解：（1）

结合图象知函数                       ……5分

（2）由已知得当时，则由得：

即：

则由柯西不等式：

所以当且仅当时等号成立.

所以的最小值为                                  ……10分