专题7：定积分与微分【原卷及解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

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（复旦）（1）设，求；
设，求常数，使得取得最小值；
设（2）中的最小值为，证明。
二、知识要点拓展
定积分：设函数在上有界，在中任意插入若干个分点
。把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为并作和，记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和趋于确定的极限，我们称这个极限为函数在区间上的定积分，记为。
二．定积分存在定理：
①当函数在区间上连续时，则在区间上可积；
②设函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积。
三．定积分的几何意义：
时，，则表示的图像与及轴围成的曲边梯形面积；
若，令，则表示的图像与及轴围成的曲边梯形面积的负值。
四．微积分基本定理：牛顿-莱布尼兹公式
如果是区间上的连续函数，并且，则。若记
，则。
牛顿-莱布尼兹公式沟通了导数与积分之间的关系，由此求定积分问题转化为求原函数问题。
五．洛必塔法则：设（1）如果当时，函数都趋于零；（2）在内，都存在，且；（3）极限存在（或为无穷大）；则存在，且。
上述准则称为洛必塔法则。
六．二次曲线在某点处的切线方程：
①设是圆上一点，则过的圆切线方程为；
②设是椭圆上一点，则过点的椭圆切线方程为；
③设是双曲线上一点，则过的双曲线切线方程为；
④设是抛物线上一点，则过的抛物线切线方程为；
函数的单调性：若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是（），。
八．函数的极值：
1.定义： 已知函数及其定义域内一点，对于存在一个包含的开区间内的所有点，如果都有

则称函数在点处取得极大值，记作，并把称为函数的一个极大值点；如果都有

则称函数在点处取得极小值，记作，并把称为函数的一个极小值点
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。
注意：
（1）.函数的最大（小）值是函数在指定区间内的最大（小）值；
（2）.极值与最值不同，极值只是相对一点附件的局部性质，而最值是想对整个定义域内或所研究问题的整体性质。
极值的必要条件：若函数在可导，且在处取得极值，则。
九．两个重要的极限：
1.， 2.
三、典例精讲
例1．（复旦）设为正数，，若在区间上大于0，则的取值范围是（ ）。
（B） （C） （D）
例2．（清华）已知，过的直线与该函数图像相切，且不是切点，求直线斜率。
例3．（南开）求证：。
例4．（复旦）已知过两抛物线的交点的各自的切线互相垂直，求。
例5．（清华）一元三次函数的三次项系数为，的解集为。
若有两个相等实根，求的解析式；
若在上单调递减，求的范围。
例6．（武大）已知是定义在区间上的可导函数，满足，且。
讨论函数的单调性；
设，比较函数与的大小。
四、真题训练
1.（武大）如果定义在上的函数的单调递增区间为，那么实数的大小关系是（ ）
（B） （C） （D）
2.（武大）在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为（ ）。
（B） （C） （D）
3.（南大）函数的单调减区间为 。
4.（武大）求常数的值，使。
5.（上海交大）若方程有3个不同实根，求实数的取值范围。
6.（上海交大）设在处可导，且原点到中直线的距离为，原点到中曲线部分最短距离为3，试求的值（）。
（清华）求的单调区间及极值。
8.（武大）已知函数。
判断函数的奇偶性；
若在区间上是增函数，求实数的取值范围。
9.（上海交大）已知函数满足：，又，求函数的解析式。
10.（清华），。
求证：恒成立；
试求的单调区间；
求证：为递减数列，且恒成立。
五、强化训练
A组
1、设，求。
2、已知f(x)为偶函数且，则等于( )
A．0 B．4 C．8 D．16
3、函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合，则该闭合图形的面积是( )
A．1 B.eq \f(4,3) C.eq \r(3) D．2
4、已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为eq \f(4,3)，则k=________.
5、设，求。
6、求曲线，及所围成的平面图形的面积.
7、若，求。
8、已知，求常数。
B组
9、在曲线上某一点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成图形的面积为，试求：
(1)切点的坐标；
(2)过切点的切线方程．
10、如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1＝S2，求点P的坐标．
11、设f(x)=
(1)当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；
(2)当a≥0时，求f(a)的最小值．