专题8：数列的通项与递推【原卷及解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

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1.【2021年北大18】已知数列满足，．数列满足，．若正整数满足，则的最小值为________．
2.【2020中科大4】若，，，则_______________．
二、知识要点拓展
等差数列：
1.通项公式：；
2.前项和公式：.
等比数列：
1.通项公式：；
2.前项和公式：或 .
数列的通项公式与前项的和的关系：(为数列的前项的和为).
常见数列的前项和公式：

【知识拓展】
一．对于数列，若存在正整数及一个将与前面项联系起来的方程
，则称数列是阶递推数列，此方程为递推方程。
由（*）得出，称为数列的递推关系。
一般说来，确定一个阶递推数列需要知道阶初始值：。
求通项问题的主要类型：
1．转化法：某些数列虽然不是等差等比数列，但可以通过对递推公式变形，重新构造新的数列，而这些数列为等差数列或等比数列，进一步通过对新数列的通项公式求出原数列的通项。
2.累加法：
►方法：利用叠加法，。
3.累积法：
►方法：利用迭代法，。
4.待定系数法：（为常数且，）
►方法：用待定系数法，构造一个公比为的等比数列，令，，从而
是一个公比为的等比数列。
5.（为非零常数且）
方法：上式两边同时除以，，令，有，转化为第一种类型，用叠加法解决。
6.特征根法：（）（为常数）
►方法：可用下面的定理求解。令为相应的二次方程的两根（此方程又称为特征方程）；
当时，其通项公式为：；
时，其通项公式为：，
其中分别由初始条件所得的方程组和唯一确定。
更一般地，对于常系数线性递推数列，其特征方程
的根（互不相同）有个，分别为，且是重根，，则，其中是关于的次多项式，其系数由初始值决定。
不动点法：形如（，且），的递推数列的通项问题常用不动点法解决.
类型I：（，且），令.
若有两个不相等的实数根，则（其中），即数列成等比数列，公比为，则可求.
若有两个相等的实数根，则（其中），即数列成等差数列，公差为，则可求.
（拓展）类型II：，令.
若有两个不相等的实数根，即、，从而有
、，所以
. 同理可得.
所以，两式相除，得，令，则，两边取对数，不难得到的通项公式，从而可得.
若有两个相等的实数根，则可得，.
由，令，化简可得，因此是等比数列.
三．周期数列：
对于数列，如果存在一个常数（），使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列是从第项起的周期为的周期数列。若，则称数列为纯周期数列，若，则称数列为混周期数列，的最小值称为最小正周期，简称周期。周期数列主要有以下性质：
①周期数列是无穷数列，其值域是有限集；
②周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；
③如果是数列的周期，则对于任意的，也是数列的周期；
④如果是数列的最小正周期，是数列的任一周期，则必有，即，；
⑤已知数列满足（，为常数），分别为的前项的和与积，若，，，则，；
⑥设数列是整数数列，是某个取定大于1的自然数，若是除以后的余数，即，且，则称数列是关于的模数列，记作。若模数列是周期的，则称是关于模的周期数列。
⑦任意阶齐次线性递归数列都是模的周期数列。
四．阶差数列：
对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列；如果，则称数列是数列的一阶差数列，是的二阶差数列；依此类推，可以得到数列的阶差数列，其中。
如果某一数列的阶差数列是一非零常数列，则称该数列为阶等差数列。其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。
高阶等差数列具有以下性质：
①如果数列是阶等差数列，则它的一阶差数列是阶等差数列；
②数列是阶等差数列的充要条件是：数列的通项是关于的次多项式；
③如果数列是阶等差数列，则其前项之和是关于的次多项式。
三、典例精讲
例1．（复旦）设，，，那么（ ）
数列是单调增的 （B）数列是单调减的
（C）数列或是单调增的，或是单调减的 （D）数列既非单调增的，也非单调减的。
例2．（复旦）设，，则数列的极限为（ ）
（B） （C） （D）
例3．（武大）在数列中，。
求证：数列是等比数列；
求数列的前项和。
例4．已知数列满足，求数列的通项公式。
例5．（上海交大）数列满足：，求和。
►分析与解答：
例6．已知数列满足性质：对于且求的通项公式.
练习1：已知数列满足：对于都有
（1）若求
（2）若求
（3）若求
（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？
且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.
例7．（复旦）设数列满足。
设，证明：若，则是等比数列；
若，求的值。
例8．（联考）设函数，且存在函数（），满足
。
证明：存在函数，满足；
设证明：。
四、真题训练
1．（复旦）是正数列，其前项和为，满足：对一切，和2的等差中项等于和2的等比中项，则（ ）。
（A）0 （B）4 （C）12 （D）100
2．（复旦）设是正数数列，其前项和为，满足：对所有正整数，与2的等差中项等于与2的等比中项，则（ ）
（A）0 （B）1 （C） （D）
3．（复旦）设数列、满足，如果，，且是公比为2的等比数列，又设，则（ ）
（A）0 （B） （C）1 （D）2
4．（复旦）已知数列满足（），且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）。
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
（上海交大）数列中，，则 。
（上海交大）已知数列满足且，则 。
7．（上海交大）已知为公差为6的等差数列，。
用表示数列的通项公式；
若，求的最小值及取最小值时的值。
8．（上海交大）在中，。
求证：；
求。
9．（浙大）如图，下有一系列正三角形，求第个正三角形的边长。
O
y
x

10.（复旦）已知数列满足，且，又。求：
；
（2）。
五、重点总结
熟练运用各种方法求数列的通项公式
六、强化训练
A组
1. (武大)在数列中，
（1）求证：数列是等比数列
（2）求数列的前n项和
2. (交大)数列满足：，求和
3. (复旦)是正数列，其前项和为，满足：对所有的正整数，和2的等差中项等于和2的等比中项，则（ ）
A.0 B.1 C. D.
4. (复旦)设数列，满足，如果，且是公比为2的等比数列，又设，则（ ）
A.0 B. C.1 D.2
5. (交大)数列1,3,2,…中，，则_____________
6. (交大)已知数列满足，则___________
7. (模拟题)已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，求的通项公式
8. (交大)已知月利率为r，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m关于r的函数关系式（假设贷款时间为2年）
B组
1. (浙大)如图，下有一系列正三角形，求第个正三角形的边长
2. (交大)已知函数，对于，定义，若，则______________
3. (模拟题)已知数列满足，其中p是给定的实数，n是正整数，试求n的值，使得的值最小