高考 第4讲 用累加法与累乘法求通项公式

第4讲   用累加法与累乘法求通项公式

考点一　由an＋1－an＝f(n)求an型

累加法：已知a1且an－an－1＝f(n)(n≥2)，则an－an－1＝f(n)，an－1－an－2＝f(n－1)，…，a3－a2＝f(3)，a2－a1＝f(2)．所有等式左右两边分别相加，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 (n≥2)．代入a1得an．

[典例 1]　设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．

解析：　

由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，

∴an－an－1＝n(n≥2)．

以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝．

∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．

∵当n＝1时也满足此式，∴an＝．

[典例 2]　若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，则数列的通项公式为an＝________．

解析：　

由题意，知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1

＝＝2n－1．

[典例 3]　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

解析：　

方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，

a3＝＋－＝2－＝，a4＝＋－＝2－＝，a5＝＋－＝2－＝，

又a1＝1，由此可得数列的一个通项公式为an＝．

方法二　(迭代法)　a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，…，an＝an－1＋－(n≥2)，

则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝(n≥2)．

又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)．

方法三　(累加法)　an＋1－an＝－，a1＝1，a2－a1＝1－，a3－a2＝－，

a4－a3＝－，…an－an－1＝－(n≥2)，@钻研数学

以上各项相加得an＝1＋1－＋－＋…＋－．

所以an＝(n≥2)．因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)．

[典例 4]　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)

A．2＋ln n　　　　B．2＋(n－1)ln n　　　　C．2＋nln n　　　　D．1＋n＋ln n

解析：　

因为an＋1－an＝ln＝ln(n＋1)－lnn，

所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln 4－ln 3，……，

an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)．

把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln1，则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也适合，

因此an＝2＋ln n(n∈N＋)．

[典例 5]　在数列{an}中，a1＝1，(n2＋2n)·(an＋1－an)＝1(n∈N*)，则通项公式an＝________．

解析：　

由(n2＋2n)(an＋1－an)＝1(n∈N*)，得an＋1－an＝＝＝，

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝＋＋…＋＋1

＝＋1＝－．

[典例 6]　(2018·浙江)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n．

(1)求q的值；

(2)求数列{bn}的通项公式．

解析：　

(1)由a4＋2是a3，a5的等差中项得a3＋a5＝2a4＋4，

所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，解得a4＝8．

由a3＋a5＝20得8＝20，解得q＝2或q＝，因为q>1，所以q＝2．

(2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}前n项和为Sn．

由cn＝解得cn＝4n－1．

由(1)可知an＝2n－1，所以bn＋1－bn＝(4n－1)·n－1，

故bn－bn－1＝(4n－5)·n－2，n≥2，

bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)

＝(4n－5)·n－2＋(4n－9)·n－3＋…＋7·＋3．

设Tn＝3＋7·＋11·2＋…＋(4n－5)·n－2，n≥2，

Tn＝3·＋7·2＋…＋(4n－9)·n－2＋(4n－5)·n－1，

所以Tn＝3＋4·＋4·2＋…＋4·n－2－(4n－5)·n－1＝7－(4n＋3)·n－1，

因此Tn＝14－(4n＋3)·n－2，n≥2，

又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)·n－2．

【典例精练】

1．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝____________．

解析：　

由题意得，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1．

又a1＝2＝＋1，符合上式，因此an＝＋1．

2．已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，则an＝________．

解析：　

∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)．

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋5＋2

＝×n＝(n≥2)．

当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋．

3．若数列{an}满足a1＝1，an＋1－an－1＝2n，则an等于(　　)

A．2n＋n－2　　　　B．2n－1＋n－1　　　　C．2n＋1＋n－4 　　　　D．2n＋1＋2n－2

解析：　

∵an＋1－an＝2n＋1，

∴a2－a1＝21＋1，a3－a2＝22＋1，a4－a3＝23＋1，…，an－an－1＝2n－1＋1(n≥2)，

以上各式相加得，an－a1＝21＋…＋2n－1＋(n－1)＝＋n－1＝2n＋n－3，

∴an＝2n＋n－2，选A．

4．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________．

解析：　

原递推公式可化为an＋1－an＝－，

则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝＋＋…＋＋3

＝1－＋3＝4－．

5．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，则an＝________．

解析：　

因为an＝an－1＋－(n≥2)，所以an－an－1＝－．

所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1＝－＋1．

又a1＝1也符合上式，

所以an＝－＋1，n∈N*．

6．在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则an＝________．

解析：　

由题意得－＝ln(n＋1)－lnn，－＝ln n－ln(n－1)(n≥2)．

∴－＝ln 2－ln 1，－＝ln3－ln2，…，－＝ln n－ln(n－1)(n≥2)．

累加得－＝lnn，∴＝2＋ln n(n≥2)，又a1＝2适合，故an＝2n＋nln n．

7．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an(1－nan＋1)，则数列{an}的通项公式为________．

解析：　

原数列递推公式可化为－＝n，

令bn＝，则bn＋1－bn＝n，

因此bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＋b1

＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＋1＝，

所以an＝．

8．已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2，n∈N*)．

(1)求a2，a3的值；

(2)证明：an＝．

解析：　

(1)因为a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2，n∈N*)，

所以a2＝32－1＋1＝4，a3＝33－1＋a2＝9＋4＝13．

(2)因为an＝3n－1＋an－1(n≥2，n∈N*)，所以an－an－1＝3n－1，

所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝3n－1＋3n－2＋…＋3＋1＝(n≥2，n∈N*)．

当n＝1时，a1＝＝1满足上式．所以当n∈N*时，an＝．

9．已知a1＝2，a2＝4，数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2且an＋1－an＝bn．

(1)求证：数列{bn＋2}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

解析：　

(1)由题知，＝＝2，∵b1＝a2－a1＝4－2＝2，∴b1＋2＝4，

∴数列{bn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．

(2)由(1)可得，bn＋2＝4·2n－1，故bn＝2n＋1－2．∵an＋1－an＝bn，

∴a2－a1＝b1，a3－a2＝b2，a4－a3＝b3，……an－an－1＝bn－1．

累加得，an－a1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1(n≥2)，

an＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n－2)

＝2＋－2(n－1)

＝2n＋1－2n，

故an＝2n＋1－2n(n≥2)．

∵a1＝2＝21＋1－2×1，∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1－2n(n∈N*)．

@钻研数学

考点二　由＝f(n)求an型

累乘法：已知a1且＝f(n)(n≥2)，则＝f(n)，＝f(n－1)，…，＝f(3)，＝f(2)，所有等式左右两边分别相乘，即an＝··…···a1(n≥2)．代入a1得an．

[典例 7]　已知数列满足a1＝1，an＋1＝an，则an等于(　　)

A．n＋1　　　　　　　　B．n　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

解析：　

由题意，因为数列满足an＋1＝an，

所以＝，所以an＝··…···a1＝××…×××1＝．

[典例 8]　在数列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，则数列的通项公式为an＝________．

解析：　

由递推关系得＝，又a1＝4，

∴an＝··…···a1＝×××…×××4

＝×4＝2n(n＋1)(n∈N*)．

[典例 9]　已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________．

解析：　

∵＝2n，∴当n≥2时，＝2n－1，＝2n－2，……＝22，＝2，

∴an＝··…···a1＝2n－1·2n－2·…·22·2·2＝21＋2＋3＋…＋(n－1)·2＝＝

又a1＝2满足上式，∴an＝．

[典例 10]　设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________．

解析：　

方法一　(累乘法)把(n＋1)a－na＋an＋1an＝0分解因式，

得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0．∵an>0，∴an＋1＋an>0，

∴(n＋1)an＋1－nan＝0，

∴＝，∴···…·＝×××…×＝(n≥2)，

∴＝．又∵a1＝1，∴an＝a1＝．

又a1＝1也适合上式，∴an＝，n∈N*．

方法二　(迭代法)同方法一，得＝，∴an＋1＝an，

∴an＝·an－1＝··an－2

＝···an－3…＝···…·a1＝a1．

又∵a1＝1，∴an＝．

方法三　(构造特殊数列法)同方法一，得＝，∴(n＋1)an＋1＝nan，

∴数列{nan}是常数列，∴nan＝1·a1＝1，∴an＝(n∈N*)．

[典例 11]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公式为(　　)

A．(2n＋1)2－1　　　　　B．(2n＋1)2　　　　　C．8n2　　　　　　　　　　D．(n＋1)3

解析：　

在4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an中，令n＝1，得8(a1＋1)＝9a1，所以a1＝8，

因为4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，①，

所以4n·(Sn－1＋1)＝(n＋1)2an－1(n≥2)，②，

①－②得，4an＝an－an－1，即an＝an－1，an＝an－1，

所以an＝××…××a1＝××…××8＝(n＋1)3(n≥2)，

又a1＝8也满足此式，所以数列{an}的通项公式为(n＋1)3．故选D．

【典例精练】

1．已知在数列{an}中，an＋1＝an(n∈N*)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式an＝________．

解析：　

由an＋1＝an，得＝，故＝，＝，…，＝(n≥2)，

以上式子累乘得，＝··…···＝．

∵a1＝4，∴an＝(n≥2)．

又a1＝4满足上式，∴an＝．

2．若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________________．

解析：　

由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得＝(n≥2)．

所以an＝···…···a1＝···…···1＝(n≥2)，

又因为a1也满足上式，所以an＝．

3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则通项公式an为________．

解析：　

an＋1＝2an＝an，即＝．

∴an＝··…··a1＝··…··2＝n·2n．

4．在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an，则{an}的通项公式为____________．

解析：　

由题设知，a1＝1．当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1．

∴＝．∴＝，…，＝，＝，＝3．

以上n－1个式子的等号两端分别相乘，得到＝，

又∵a1＝1，∴an＝．

5．已知正项数列{an}中，a1＝1，且(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，则它的通项公式为(　　)

A．an＝　　　　　B．an＝　　　　　C．an＝　　　　　D．an＝n

解析：　

因为(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，所以[(n＋2)an＋1－(n＋1)an](an＋1＋an)＝0．

又{an}为正项数列，所以(n＋2)an＋1－(n＋1)an＝0，即＝，

则an＝··…··a1＝··…··1＝．故选B．

6．若{an}满足2(n＋1)·a＋(n＋2)·an·an＋1－n·a＝0，且an>0，a1＝1，则an＝____________．

解析：　

由2(n＋1)·a＋(n＋2)·an·an＋1－n·a＝0得n(2a＋an·an＋1－a)＋2an(an＋an＋1)＝0，

∴n(an＋an＋1)(2an－an＋1)＋2an(an＋an＋1)＝0，(an＋an＋1)[(2an－an＋1)·n＋2an]＝0，

又an>0，∴2n·an＋2an－n·an＋1＝0，∴＝，

又a1＝1，∴当n≥2时，

an＝··…···a1＝×××…×××1＝2n－1·n．

又n＝1时，a1＝1适合上式，∴an＝n·2n－1．

7．在数列{an}中，a1＝1，a1＋＋＋…＋＝an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．

解析：　

根据a1＋＋＋…＋＝an，①，

有a1＋＋＋…＋＝an－1(n≥2)，②，

①－②得＝an－an－1(n≥2)⇒n2an－1＝(n2－1)an(n≥2)⇒＝(n≥2)，

所以××…×＝××…×(n≥2)，

所以an＝a1×××…×

＝

＝

＝(n≥2)．a1＝1满足上式，∴an＝．

8．已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an．

(1)求a2，a3；

(2)求{an}的通项公式．

解析：　@钻研数学

(1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3；

由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6．

(2)由题设知a1＝1．

当n＞1时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理，得an＝an－1，

于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2，an＝an－1，

将以上n个等式两端分别相乘，整理，得an＝，经检验n＝1时，也满足上式

综上，{an}的通项公式an＝．