高考 第22讲 数列中的数学文化问题

第22讲   数列中的数学文化问题

纵观近几年高考，以数学文化为背景的数列问题，层出不穷，让人耳目一新，同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，本专题通过对典型考题的分析，让考生提高审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文化的理解，提升数学核心素养．

数列与数学文化解题3步骤

考点一　等差数列型

[典例 1]　《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为(　　)

A．钱　　　　　　　　B．钱　　　　　　　　C．钱　　　　　　　D．钱

解析：　

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

依题意有解得即甲得钱，故选D．

[典例 2]　《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的一份为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

解析：　

由100个面包分给5个人，每个人所得成等差数列，可知中间一人得20块面包，

设较大的两份为20＋d，20＋2d，较小的两份为20－d，20－2d，

由已知条件可得(20＋20＋d＋20＋2d)＝20－d＋20－2d，解得d＝，

所以最小的一份为20－2d＝20－2×＝．

[典例 3]　(多选)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列选项正确的有(　　)

A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺　　　　　

B．春分和秋分两个节气的晷长相同

C．立冬的晷长为一丈五寸　　　　　　　　　　　　

D．立春的晷长比立秋的晷长短

解析：　

由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15寸，a13＝135寸，

公差为d寸，则135＝15＋12d，解得d＝10寸，

同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，

首项b1＝135，末项b13＝15，公差d＝－10(单位都为寸)．故A正确；

∵春分的晷长为b7，∴b7＝b1＋6d＝135－60＝75，∵秋分的晷长为a7，

∴a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故B正确；∵立冬的晷长为a10，

∴a10＝a1＋9d＝15＋90＝105，即立冬的晷长为一丈五寸，故C正确；

∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，

∴a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d＝135－30＝105，

∴b4>a4，故D错误．故选A、B、C．

[典例 4]　《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为(　　)

A．18　　　　　　　　B．20　　　　　　　　C．21　　　　　　　　D．25

解析：　

依题意得，该女子每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，

设为{an}，其中a1＝5，前30项和为390，

于是有＝390，解得a30＝21，即该女子最后一天织21尺布．

[典例 5]　(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)

A．3 699块　　　　　B．3 474块　　　　　C．3 402块　　　　　D．3 339块

解析：　

由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，

记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n．

设数列{an}的前n项和为Sn，

由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，

所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，

所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，

得n＝9，

所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝＝＝3 402，故选C．

[典例 6]　(多选)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是(　　)

A．此数列的第20项是200　　　　　　　　　　

B．此数列的第19项是200

C．此数列偶数项的通项公式为a2n＝2n2　　　　　

D．此数列的前n项和为Sn＝n(n－1)

解析：　

观察此数列，偶数项通项公式为a2n＝2n2，奇数项是后一项减去后一项的项数，

a2n－1＝a2n－2n，由此可得a20＝2×102＝200，A正确，C正确；

a19＝a20－20＝180，B错误；Sn＝n(n－1)＝n2－n是一个等差数列的前n项和，

而题中数列不是等差数列，不可能有Sn＝n(n－1)，D错误．故选A、C．

【典例精练】@钻研数学

1．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．

解析：　

设该数列{an}的首项为a1，公差为d，

依题意即

解得则a5＝a1＋4d＝＋4×＝．

2．“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”([注]六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为(　　)

A．3.4升　　　　　　B．2.4升　　　　　C．2.3升　　　　　　D．3.6升

解析：　

设从下至上各节容积分别为a1，a2，…，a9为等差数列，公差d，则由题意可知，

故解得，d＝－0．2，a1＝2．4，

所以中间节a4＋a5＝1．8＋1．6＝3．4．故选A．

3．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 020这2 020个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列共有(　　)

A．98项　　　　　　　B．97项　　　　　　　C．96项　　　　　　　D．95项

解析：　

能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故an＝21n－20，

由1≤an≤2020得1≤n≤97，又n∈N＋，故此数列共有97项．

4．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2，2 019]时，符合条件的a共有________个．

解析：　

法一：由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N，则3m＝5n＋1，m，n∈N，

当m＝5k时，n不存在；当m＝5k＋1时，n不存在；

当m＝5k＋2时，n＝3k＋1，满足题意；当m＝5k＋3时，n不存在；

当m＝5k＋4时，n不存在，其中k∈N．

故2≤a＝15k＋8≤2 019，解得－≤k≤，则k＝0，1，2，…，134，共135个．

即符合条件的a共有135个，故答案为135．

法二：一个整数除以三余二，

这个整数可以为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，…，

一个整数除以五余三，这个整数可以为3，8，13，18，23，28，33，38，…，

则同时除以三余二、除以五余三的整数为8，23，38，…，

构成首项为8，公差为15的等差数列，通项公式为an＝8＋15(n－1)＝15n－7，

5．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为(　　)

A．184斤　　　　　　　　B．176斤　　　　　　　　C．65斤　　　　　　　　D．60斤

解析：　

依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，

设该等差数列为{an}，公差为d，前n项和为Sn，第一个孩子所得棉花斤数为a1，

则由题意得，d＝17，S8＝8a1＋×17＝996，解得a1＝65，∴a8＝a1＋(8－1)d＝184．

6．中国古代数学有一题为：“现有一女子擅长织布，每天织布量都比前一天多，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月(按30天计)，共织390尺布”，则该女最后一天织布________尺．

解析：　

由题意可得每天织布的尺数构成等差数列，设公差为d，

则前30天织布尺数的和S30＝390＝30×5＋d，解得d＝．

所以最后一天织布的尺数为5＋29d＝5＋29×＝21．

7．古代有这样一个问题：“今有墙厚22．5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞长度与第三天打洞长度相同，问两鼠几天能打通墙相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为(　　)

A．4　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．6　　　　　　　　D．7

解析：　

依题意得，大鼠每天打洞长度构成等差数列{an}，且首项a1＝1，公差d＝．

小鼠前三天打洞长度之和为＋1＋2＝，之后每天打洞长度是常数2，

令n·1＋·＋＋(n－3)·2≥22(n指天数，且n是正整数)，

则有n2＋11n－100≥0，即n(n＋11)≥100，则易知n的最小值为6．故选C．

8．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i＝1，2，…，10)，且a1<a2<…<a10，若48ai＝5M，则i＝(　　)

A．4　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．6　　　　　　　　D．7

解析：　

由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{an}，

设公差为d，则有⇒⇒

所以该金箠的总重量M＝10×＋×＝15．因为48ai＝5M，

所以有48＝75，解得i＝6，故选C．

9．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长度为5尺，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列．”则下列说法正确的是(　　)

A．该金锤中间一尺重3．5斤 

B．中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍

C．该金锤的重量为15斤 

D．该金锤相邻两尺的重量之差的为1.5斤．

解析：　

设该等差数列为{an}，公差为d，a5＝2，a1＝4，则4＋4d＝2，解得d＝－．

∴an＝4－(n－1)＝．∴a3＝3，S5＝＝15，

∴a2＋a3＋a4＝＋3＋＝9，a5＋a1＝6，故选C．

10．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方(如图①所示)．将1，2，…，9填入3×3的方格内(如图②所示)，使三行、三列及两条对角线上的三个数字之和都等于15，这个方阵叫做3阶幻方．一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n的方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数字之和都相等，这个方阵叫做n(n≥3)阶幻方．记n阶幻方的对角线上的数的和为Nn，如N3＝15，那么N9＝(　　)

A．41　　　　　　　　B．45　　　　　　　　C．369　　　　　　　　D．321

解析：　

根据题意得，幻方对角线上的数成等差数列，

则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加恰好等于1＋n2．

根据等差数列的求和公式得Nn＝，则N9＝＝369．故选C．

11．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有20位老人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90～100岁)，其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为(　　)

A．94岁　　　　　　　B．95岁　　　　　　　C．96岁　　　　　　　D．98岁

解析：　

设年长者的年龄为t，由已知，

其余19位老人的年龄从小到大依次排列构成公差d＝1的等差数列，

设最小者的年龄为a1，由“遂千百五二十岁”知，

一遂就是1 520岁(一遂有20部，一部有4章，一章有19岁，且20×4×19＝1 520)．

所以这20位老人的年龄之和为19a1＋d＋t＝1 520，整理得a1＋9＋＝80．

因为t∈N*，a1∈N*，所以∈N*．

又因为t∈(90，100)，所以t＝19×5＝95．故选B．

@钻研数学

考点二　等比数列型

[典例 7]　十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

解析：　

根据题意，设这个等比数列为{an}，设其公比为q，

又由a1＝1，a13＝2，则q12＝＝2，插入的第四个数应a5＝a1q4＝q4＝2，故选B．

[典例 8]　我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢？(　　)

A．2　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．6

解析：　

不妨设大老鼠和小老鼠每天穿墙的厚度为数列{an}和{bn}，

则由题意可知，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{bn}是首项为1，

公比为的等比数列，设前n天两鼠总共穿墙的厚度之和为Sn，

则Sn＝＋＝2n－n－1＋1，当n＝3时，S3＝<10，

当n＝4时，S4＝>10，故两个老鼠在第4天相逢．

[典例 9]　(2017·全国Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)

A．1盏　　　　　　　　B．3盏　　　　　　　　C．5盏　　　　　　　　D．9盏

解析：　

每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，

记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，

依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3．

[典例 10]　数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641](　　)

A．5　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．7　　　　　　　　D．8

解析：　

因为Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)，

所以an＝log4(Fn－1)＝log4(22n＋1－1)＝log422n＝2n－1，

所以{an}是等比数列，首项为1，公比为2，所以Sn＝＝2n－1．

所以32(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6，故选B．

[典例 11]　公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：让乌龟在阿基里斯前面1 000 米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍，当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000 米，则乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟．根据这样的规律，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离为(　　)

A．米　　　　　B．米　　　　　C．米　　　　　　D．米

解析：　

法一：设乌龟每次爬行的距离构成数列{an}，则数列{an}为等比数列，

设其公比为q，则a1＝100，q＝，an＝a1qn－1．

令10－2＝100×n－1，解得n＝5，所以S5＝＝＝，

即乌龟爬行的总距离为米．故选B．

法二：设乌龟每次爬行的距离构成数列{an}，则数列{an}为等比数列，

设其公比为q，则a1＝100，q＝．

令an＝10－2，则Sn＝＝＝＝，

即乌龟爬行的总距离为米．故选B．

【典例精练】

12．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　)

A．f　　　　　　　　B．f　　　　　　　　C．f　　　　　　　　D．f

解析：　

从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，

第一个单音的频率为f，由等比数列的概念可知，

这十三个单音的频率构成一个首项为f，公比为的等比数列，

记为{an}，则第八个单音频率为a8＝f()8－1＝f，故选D．

13．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)

A．192 里　　　　　　B．96 里　　　　　　C．48 里　　　　　　D．24 里

解析：　

选B　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝，

依题意有＝378，解得a1＝192，

则a2＝192×＝96，即第二天走了96 里，故选B．

14．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论．他提出让乌龟在阿基里斯前面 1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离(单位：米)为(　　)

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

解析：　

由题意知，乌龟每次爬行的距离(单位：米)构成等比数列{an}，

且首项a1＝100，公比q＝，易知a5＝10－2，

则乌龟爬行的总距离(单位：米)为S5＝＝＝．故选B．

15．中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为(　　)

A．里　　　　　B．1 050里　　　　　C．里　　　　　D．2 100里

解析：　

由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，

设该数列为{an}，则该匹马首日行走的路程为a1，公比为，

则有＝700，则a1＝，则＝(里)．故选C．

16．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为________里，后三天一共走________里．

解析：　

由题可知这六天中每天走的路程数组成公比为的等比数列，

设第一天走x里，则＝378，解得x＝192，

即该人第一天走的路程是192里；

后三天共走了192×＋192×＋192×＝42(里) ．

17．据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t倍．下列选项中，与t值最接近的是(　　)

A．11　　　　　　　　B．13　　　　　　　　C．15　　　　　　　　D．17

解析：　

设鱼原来的质量为a，饲养n年后鱼的质量为an，q＝200%＝2，

则a1＝a(1＋q)，a2＝a1＝a(1＋q)，…，

a5＝a(1＋2)×(1＋1)×××＝a≈12．7a，

即5年后，鱼的质量预计为原来的12．7倍，故选B．

考点三　其他型

[典例 12]　九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的多少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝则解下5个环所需的最少移动次数为(　　)

A．7　　　　　　　　B．10　　　　　　　　C．16　　　　　　　　D．22

解析：　

数列{an}满足a1＝1，且an＝

所以a2＝1，a3＝4，a4＝7，a5＝16．故选C．

[典例 13]　意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 022项的和为(　　)

A．672　　　　　　　　B．673　　　　　　　　C．1 348　　　　　　　　D．2 021

解析：　

由于{an}是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，

故{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…

所以{an}是周期为3的周期数列，且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2．

因为2 022＝674×3，所以数列{an}的前2 022项的和为674×2＝1 348．故选C．

[典例 14]　1772年德国的天文学家J．E．波得发现了求太阳和行星间距离的法则．记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：

除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则(某一数列规律)．当时德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28应该还有一颗大行星．1801年意大利天文学家皮亚齐通过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带．请你根据这个定则，估算出从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是(　　)

A．388　　　　　　　　B．772　　　　　　　　C．1 540　　　　　　　　D．3 076

解析：　

设an是从水星开始，第n个行星与太阳的平均距离，

依题意可知an＝an－1＋3·2n－3(n≥3)，a3＝10，a4＝16，a5＝28，a6＝52，a7＝100，

所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a4－a3)＋a3

＝3·(2n－3＋2n－4＋…＋21)＋10

＝3×2×＋10

＝3·2n－2＋4(n≥3)．

a2＝7也满足上式，故an＝3·2n－2＋4(n≥2)．

所以a10＝3×210－2＋4＝772．故选B．@钻研数学

[典例 15]　我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：

第一步：构造数列1，，，，…，．①

第二步：将数列①的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，…，an．

则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝(　　)

A．　　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　D．

解析：　

由题意知所得新数列为1×，×，×，…，×，

所以a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝

＝

＝＝，故选C．