河南省许昌、济源、洛阳、平顶山四市2023届高三第三次质量检测文数试题及解析

许济洛平2022～2023学年高三第三次质量检测

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集，集合，，则（    ）．

A．  B．

C．  D．

2．已知复数为纯虚数，则实数m的值为（    ）．

A． B． C． D．1

3．在平行四边形中，对角线与交于点O，，则（    ）．

A．  B．

C．  D．

4．若如图所示的程序框图输出的结果为，则图中空白框中应填入（    ）．

A． B． C． D．

5．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（    ）．

A．这14天中有5天空气质量为“中度污染”

B．从2日到5日空气质量越来越好

C．这14天中空气质量指数的中位数是214

D．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日

6．设，是方程的两根，且，则（    ）．

A． B． C．或 D．

7．已知三棱锥中，底面，若，，则三棱锥的外接球的体积为（    ）．

A． B． C． D．

8．将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把所得图像向左平移个单位长度，得到函数的图像．若对任意的，均有，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

9．著名物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．统计学家发现网络热搜度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，热搜度会逐渐降低．假设事件的初始热搜度为，经过t（天）时间之后的热搜度变为，其中为冷却系数．若设某事件的冷却系数，则该事件的热搜度降到初始的50％以下需要的天数t至少为（    ）．（，t取整数）

A．7 B．6 C．4 D．3

10．已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（    ）．

A． B． C． D．

11．如图，双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心，为半径作圆，过作圆的切线，切点为T．延长交E的左支于P点，若M为线段的中点，且，则双曲线E的离心率为（    ）．

A． B． C．2 D．

12．已知向量，是夹角为的单位向量，若对任意的，，且，，则m的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．在区间内随机取一个数x，使得成立的概率为__________．

14．已知抛物线的焦点为F，点，点M在抛物线C上，且，则__________．

15．定义在R上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是__________．

16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则面积的最大值为__________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

已知数列满足，．

（1）证明：为等差数列；

（2）设，求数列的前n项和．

18．（12分）

某校即将举办春季运动会，组委会对一项新增的运动项目进行了调查，以了解学生对该项目是否有兴趣．组委会随机抽取1000人进行问卷调查，经统计知男女生人数之比为，对该项目没有兴趣的学生有480人，其中女生占．

（1）完成列联表，并判断能否有99.9％的把握认为对该项目有兴趣与性别有关？

（2）若从对该运动项目没有兴趣的学生中按性别用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选出2人进一步了解没有兴趣的原因，求选出的2人均为男生的概率．

附：，其中．

19．（12分）

如图，四棱锥的底面为矩形，，，侧面底面，E是上的动点（不含A、B点）．

（1）证明：平面平面；

（2）若，，当E为的中点时，求点C到平面的距离．

20．（12分）

已知函数，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若对于任意的，都存在，使得成立，试求a的取值范围．

21．（12分）

已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线，分别交直线于E，F两点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

（2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的最小值为2，且，求的最小值．