10讲 带电粒子在磁场中的运动解析版

2022-2023高考物理二轮复习（新高考）

10讲 带电粒子在磁场中的运动

  带电粒子在磁场中的运动的思维导图

  重难点突破

1.磁场对通电导体的作用

(1)通电导体在磁场中受到的安培力

①方向：根据左手定则判断。

②大小：F＝BIL。

a．B、I与F三者两两垂直；

b．L是有效长度，即垂直磁感应强度方向的长度。

(2)熟悉“两个等效模型”

①变曲为直：如图甲所示通电导线，在计算安培力的大小和判断方向时均可等效为ac直线电流。

②化电为磁：环形电流可等效为小磁针，通电螺线管可等效为条形磁体，如图乙所示。

2．磁场对带电粒子的作用

(1)带电粒子在磁场中的受力情况

①磁场只对运动的电荷有力的作用，对静止的电荷无力的作用。磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。

②洛伦兹力的大小和方向：其大小为F＝qvB sin θ，注意：θ为v与B的夹角。F的方向由左手定则判定，四指的指向应为正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向。

(2)洛伦兹力做功的特点

由于洛伦兹力始终和速度方向垂直，所以洛伦兹力不做功。

3．带电粒子在匀强磁场中常见的运动类型

(1)匀速直线运动：当v∥B时，带电粒子以速度v做匀速直线运动。

(2)匀速圆周运动：当v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度大小做匀速圆周运动。

  考点应用

1.磁场中通电导体类问题的解题步骤

(1)选定研究对象进行受力分析，受力分析时考虑安培力。

(2)作受力分析图，标出辅助方向(如磁场的方向、通电直导线电流的方向等)，有助于分析安培力的方向。由于安培力F、电流I和磁感应强度B的方向两两垂直，涉及三维空间，所以在受力分析时要善于用平面图(侧视图、剖面图或俯视图等)表示出三维的空间关系。

(3)根据平衡条件、牛顿第二定律或功能关系列式求解。

例1：（2022秋·辽宁大连·高二校考期中）如图所示，质量为m、长为l的直导线置于倾角为的光滑斜面上，并处于匀强磁场中。当导线中通以垂直于纸面向外、大小为I的电流时，导线保持静止，则匀强磁场的磁感应强度方向和大小可能为（　　）

A．竖直向上， B．竖直向上，

C．垂直斜面向下， D．垂直斜面向下，

【答案】B

【详解】AB．当磁感应强度方向竖直向上时，根据左手定则可知导线所受安培力水平向左，根据平衡条件可得

解得

故A错误，B正确；

CD．当磁感应强度垂直斜面向下时， 根据左手定则可知导线所受安培力沿斜面向下，导线在这种情况下不可能静止，故CD错误。

故选B。

跟踪训练1：如图，在倾角为的光滑斜面上垂直纸面放置一根长为L，质量为m的直导体棒，一匀强磁场垂直于斜面，当导体棒内通有垂直纸面向里的电流I时，导体棒恰好静止在斜面上（重力加速度为g）则（　　）

A．磁感应强度的大小为，方向垂直斜面斜向上

B．磁感应强度的大小为，方向垂直斜面斜向下

C．磁感应强度的大小为，方向垂直斜面斜向上

D．磁感应强度的大小为，方向垂直斜面斜向下

【答案】B

【详解】根据共点力平衡知，安培力的方向沿斜面向上，根据左手定则知，磁场的方向垂直斜面向下．

根据平衡知，安培力

解得：

故B正确，ACD错误；

故选B。

2．带电粒子在有界匀强磁场中做圆周运动时轨迹圆心和半径的确定

带电粒子在有界匀强磁场中的轨迹圆心和半径的确定是解题的第一步，也很容易出错，特别是四分之一坐标轴磁场、矩形磁场、三角形磁场和圆形磁场，要注意轨迹圆心不一定在坐标轴或磁场直线边界上。要准确确定轨迹圆心，需要抓住以下两点：①轨迹半径垂直于速度方向；②轨迹圆心在弦的垂直平分线上。轨迹圆心确定了，就可以由几何知识确定轨迹半径。

临界问题

(1)解决带电粒子在磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。常用方法如下：

①动态放缩法：定点粒子源发射速度大小不同、方向相同、比荷和电性都相同的粒子，速度越大半径越大，圆心在垂直初速度方向的直线上。

②旋转平移法：定点粒子源发射速度大小v相等、方向不同、比荷和电性都相同的粒子，运动轨迹的圆心在以入射点为圆心、半径为R＝的圆周上，其中B为匀强磁场的磁感应强度。

(2)粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。

例2：（2022秋·天津·高二校考期末）如图所示，有一圆形匀强磁场区域，O为圆的圆心，磁场方向垂直纸面向里。一个正电子和一个负电子（正负电子质量相等，电量大小相等，电性相反）以不同的速率沿着PO方向进入磁场，运动轨迹如图所示。不计电子之间的相互作用及重力。a与b比较，下列判断正确的是（　　）

A．a为正电子，b为负电子 B．b的速率较小

C．a在磁场中所受洛伦兹力较小 D．b在磁场中运动的时间较长

【答案】C

【详解】A．电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由左手定则可知，b向上偏转， b应带正电，a向下偏转，a应带负电，A错误；

B．由题图可知，b的半径较大，由洛伦兹力提供向心力，则有

解得

可知电子b的半径较大，速率较大，B错误；    

C．由洛伦兹力计算公式可知，两电子的电荷量相等，速率较小的电子a受的洛伦兹力较小，速率较大的电子b受的洛伦兹力较大，C正确；

D．两电子在磁场中运动的周期为

相同，两电子在磁场中运动时间，可有

a在磁场中转动的圆心角较大，则a在磁场中运动的时间较长，D错误。

故选C。

跟踪训练2：（2022秋·北京海淀·高二校考期末）如图所示，静止的氡原子核（）在垂直于纸面的匀强磁场中，由于衰变放出某种粒子而生成一个新的原子核，新核和粒子的运动径迹是两个在纸面内的外切圆。已知大圆与小圆直径之比是。则（　　）

A．该核反应方程是 B．该核反应方程是

C．该核反应方程是 D．大圆轨迹是新核的，磁场方向垂直纸面向里

【答案】B

【详解】A．设新核和粒子的质量分别为m1、m2，速度大小分别为v1、v2，电荷量分别为q1、q2。新核做圆周运动过程中洛伦兹力提供向心力

则新核做圆周运动的半径为

同理可得，粒子做圆周运动的半径为

静止的氡原子核由于衰变放出某种粒子而生成一个新的原子核的过程动量守恒，则有

联立可得

由上述分析可知，轨迹半径与电荷量成反比，故小圆轨迹是新核的，大圆轨迹是粒子的，新核与粒子受力方向相反，速度方向也相反，由左手定则可知，新核与粒子电性相同，故二者均带正电，且电荷量之比为85:1，故AC错误，B正确；

D．由上述分析可知，小圆轨迹是新核的，大圆轨迹是粒子的。因为新核与粒子均带正电，由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里，D错误。

故选B。

3.带电粒子在组合场中运动的解题思路

(1)明性质：要清楚场的性质、方向、强弱、范围等。

(2)定运动：带电粒子依次通过不同场区时，由受力情况确定粒子在不同区域的运动情况。

(3)画轨迹：正确画出粒子的运动轨迹。

(4)用规律：根据区域和运动规律的不同，将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律进行处理。

(5)找关系：要明确带电粒子通过不同场区的交界处时速度大小和方向的关系，上一个区域的末速度往往是下一个区域的初速度。

例3：（2022秋·辽宁营口·高三校考期末）如图所示，在直角坐标系的第一象限的空间内存在沿轴负方向、电场强度的匀强电场，第二象限的空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场。质量均为、电荷量均为的两带电粒子、先后以的速率，从轴上点沿轴正、负方向射出，之间的距离，经过一段时间后，、两粒子先后到达轴时运动方向相同。若两粒子之间的相互作用、所受重力以及空气阻力均可忽略不计，，。求：

（1）、两粒子到达轴时速度方向；

（2）匀强磁场磁感应强度的大小。

【答案】（1）与轴的夹角为；（2）0.12T

【详解】（1）粒子在电场中运动的加速度

粒子沿轴方向做匀加速直线运动，由有

粒子到达轴时运动方向与轴的夹角为，则

解得

（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其运动半径为，、两粒子先后到达轴时运动方向相同，如图所示

由几何知识有可得

根据牛顿第二定律有

解得

跟踪训练3：（2022秋·北京顺义·高三统考期末）如图所示，两平行金属板P、Q水平放置，板间存在电场强度为E的匀强电场和磁感应强度为B1，方向垂直纸面向里的匀强磁场。一个带正电的粒子在两板间沿中心线OʹO做匀速直线运动。粒子通过两平行板后从O点进入磁感应强度为B2，方向垂直纸面向外的匀强磁场中，粒子做匀速圆周运动，经过半个圆周后打在挡板MN上的A点，测得O、A两点间的距离为L，不计粒子重力，求：

（1）试判断金属板P和金属板Q哪板电势高；

（2）粒子在P、Q两板间做匀速直线运动的速度大小v；

（3）粒子的电荷量与质量之比。

【答案】（1）金属板P；（2）；（3）

【详解】（1）粒子做匀速直线运动，电场力和洛伦兹力平衡，根据左手定则可知洛伦兹力的方向向上，故电场力方向向下，粒子带正电，则匀强电场方向向下，金属板P电势高。

（2）电场力与洛伦兹力平衡解得

（3）带电粒子在右侧磁场中做匀速圆周运动，

解得

4.带电粒子在叠加场中运动的处理方法

(1)弄清叠加场的组成。

(2)正确分析带电粒子的受力及运动特点。

(3)画出粒子的运动轨迹。

①若只有两个场，合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态，例如电场与磁场中满足qE＝qvB时、重力场与磁场中满足mg＝qvB时、重力场与电场中满足mg＝qE时。

②若三场共存，合力为零，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直。

③若三场共存，粒子做匀速圆周运动，则有mg＝qE，qvB＝m。

④当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动量定理、动能定理或能量守恒定律求。

例4：（重庆市北碚区2022-2023学年高二上学期期末学生学业质量调研抽测物理试题）如图所示，在xoy坐标系内，圆心角为127°的内壁光滑的圆管ab，圆心位于原点O处，Oa连线与x轴重合。坐标系内有水平向右的匀强电场，在第四象限有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将一质量为m、带电荷量为+q的小球从圆管的a端无初速度释放，小球从圆管的b端飞出后沿直线运动到x轴。已知圆管直径略大于小球直径，重力加速度为g。求：

（1）该匀强电场的电场强度E的大小；

（2）小球从b端飞出后第二次到达x轴时的横坐标。

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）粒子从圆管的b端飞出后沿直线运动，由于其仅仅受到重力、电场力与洛伦兹力，则粒子做匀速直线运动，对粒子分析，如图所示

则有

解得

（2）根据上述可知

解得

小球从b端飞出后第一次到达x轴时的横坐标

小球在圆管运动过程有

解得

之后小球在第一象限做类斜抛运动，水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做双向匀变速直线运动，到第二次到达x轴时有，

解得

则小球从b端飞出后第二次到达x轴时的横坐标为

跟踪训练4：

5.交变电磁场问题的处理思路

交变电磁场具有周期性，画好研究对象运动的轨迹图，按时间顺序结合图象将转折点信息在图上标注，对一个周期内的不同过程选择各自所用的规律分析解决，进而解决问题。

例5：（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响。求：

(1)磁感应强度B0的大小；

(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。

【答案】(1)；(2) (n=1，2，3，…)

【详解】(1)正离子射入磁场，由洛伦兹力提供向心力，即qv0B0=

 做匀速圆周运动的周期T0=

联立两式得磁感应强度B0=

(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，离子的运动轨迹如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有

R=

当在两板之间正离子共运动n个周期，即nT0时，有R=  (n=1，2，3，…)

联立求解，得正离子的速度的可能值为v0== (n=1，2，3，…)

跟踪训练5：如图（a）所示，两块水平放置的平行金属板A、B，板长，两板间距，两板之间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度，两板加上如图（b）所示的周期性变化的电压，时A板带正电．已知时，有一个质量，带电荷量的粒子，以速度，从距A板2.5cm处，沿垂直于磁场、平行于两板的方向射入两板之间，若不计粒子的重力，取，求：

（1）粒子在t=0至内做怎样的运动?位移多大?

（2）带电粒子从射入到射出板间所用的时间。

【答案】（1）做匀速直线运动，6cm；（2）

【详解】（1）由公式  

因为

所以粒子在第一个时间内做匀速直线运动，其位移

（2）在第二个t0时间内，由于，粒子做匀速圆周运动，根据

其周期T为T==1×10－4s

恰好等于t0，在一个周期内恰好回到圆周运动的起点，其轨道半径

直径是2.0cm，小于射入方向到A板的距离，所以粒子不会碰到A板，由此可以判断粒子在第一个t0内作匀速直线运动，在第二个t0内作匀速圆周运动，如此往复，经过5个t0，粒子向前18cm，还有才能射出两板，如图所示

粒子经过5t0后做匀速圆周运动的圆心角为θ，则

所以

总时间

基础训练

1.（2022秋·河南安阳·高二安阳市第三十九中学阶段练习）如图，在倾角为θ的光滑斜面上垂直纸面放置一根长为L，质量为m的直导体棒，在空间加一匀强磁场，使导体棒内通有垂直纸面向外的电流I时，导体棒恰好静止在斜面上（重力加速度为g），则下列选项正确的是（   ）

A．所加磁感应强度最小为，方向垂直斜面斜向下

B．所加磁感应强度最小为，方向垂直斜面斜向上

C．若所加磁场方向竖直向上，则磁感应强度大小为

D．若所加磁场方向竖直向上，则磁感应强度大小为

【答案】C

【详解】A．对导体棒受力分析，受重力mg、支持力FN和安培力FA，三力平衡，合力为零，将支持力FN和安培力FA合成，合力与重力相平衡，如图

当安培力平行斜面向上时，安培力最小，由公式FA= BIL可知，此时磁感应强度最小，由平衡可得

mgsinθ = BminIL解得

由左手定则可知，磁场方向为垂直斜面向上，AB错误；

CD．若所加磁场方向竖直向上，根据左手定则可知，安培力水平向左。受力如图

有平衡条件可得

解得

C正确、D错误。

故选C。

2.如图所示，两根间距为d的平行光滑金属导轨间接有电源E，导轨平面与水平面间的夹角θ=30°，金属杆ab垂直导轨放置，导轨与金属杆接触良好。整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中。当磁场方向垂直导轨平面向上时，金属杆ab刚好处于静止状态，要使金属杆能沿导轨向下运动，可以采取的措施是（　　）

A．增大磁感应强度B

B．调节滑动变阻器滑片向下滑动

C．将电源正负极对调使金属杆中的电流方向改变

D．减小导轨平面与水平面间的夹角θ（磁场方向仍垂直导轨平面向上）

【答案】C

【详解】A．金属杆ab刚好处于静止状态，根据平衡条件可得

增大磁感应强度B，安培力增大，金属棒将沿导轨向上运动，A错误；

B．调节滑动变阻器滑片向下滑动，其接入阻值减小，电流增大，安培力增大，金属棒将沿导轨向上运动，B错误；

C．将电源正负极对调使金属杆中的电流方向改变，安培力将沿导轨向下，金属棒将沿导轨向下运动，C正确；

D．减小导轨平面与水平面间的夹角θ，导致

金属棒将沿导轨向上运动，D错误。

故选C。

3.（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）如图所示，两个倾角分别为和的光滑斜面固定于水平地面上，并处于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，两个质量均为m、电荷量均为q的带正电小滑块甲和乙分别从两个斜面顶端由静止释放，运动一段时间后，两小滑块都将飞离斜面（斜面足够长），在此过程中（　　）

A．在斜面上运动过程中，甲的加速度大于乙的加速度

B．飞离斜面瞬间的速度，甲比乙小

C．在斜面上运动的时间，甲比乙小

D．在斜面上运动过程中的重力平均功率，甲和乙相等

【答案】D

【详解】A．根据左手定则可知，小滑块所受洛伦兹力垂直斜面向上，则小滑块在没有飞离斜面前做匀加速直线运动，加速度大小为，

所以甲的加速度比乙的加速度小。故A错误；

B．当小滑块刚好飞离斜面时，洛伦兹力与重力在垂直斜面方向的分力平衡，故

解得

故斜面角度越小，飞离斜面瞬间的速度越大，即飞离斜面瞬间的速度甲比乙大。故B错误；

C．根据AB选项中分析可知

故斜面角度越小，时间越长，故在斜面上甲运动的时间比乙长。故C错误；

D．由平均功率公式，重力的平均功率为

则可解得

故D正确。

故选D。

4.（2022秋·北京通州·高三统考期末）带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹。如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中观察到某带电粒子的轨迹，其中a和b是运动轨迹上的两点。该粒子使云室中的气体电离时，其本身的动能在减少，而其质量和电荷量不变，重力忽略不计。下列说法正确的是（　　）

A．粒子带正电 B．粒子先经过a点，再经过b点

C．粒子运动过程中洛仑兹力对其做负功 D．粒子运动过程中所受洛伦兹力逐渐减小

【答案】D

【详解】AB．由题意可知该粒子本身的动能在减少，而其质量和电荷量不变，可知速度大小在减小，根据洛伦兹力提供向心力可得

所以粒子半径减小，粒子先经过b点，再经过a点；根据左手定则可知粒子带负电，故AB错误；

C．由于运动过程中洛伦兹力一直和速度方向垂直，洛伦兹力不做功，故C错误；

D．根据

可知粒子运动过程中所受洛伦兹力逐渐减小，故D正确。

故选D。

5.如图所示，竖直平面内，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里，一质量为m、带电荷量为q的粒子以速度v与磁场方向垂直，与电场方向成45°角射入复合场中，恰能做匀速直线运动，则关于电场强度E和磁感应强度B的大小，正确的是(重力加速度为g)(　　)

A．E＝，B＝ B．E＝，B＝

C．E＝，B＝ D．E＝，B＝

【答案】A

【详解】假设粒子带负电，则其所受的电场力水平向左，根据左手定则，洛伦兹力方向斜向右下方与速度v垂直，根据平衡条件，这种情况粒子无法做匀速直线运动。所以粒子带正电，受力情况如图

由图可知，根据平衡条件 

联立解得，

故A正确，BCD错误。

故选A。

能力提升

6.如图所示，长为的两正对平行金属板MN、PQ水平放置，板间距离为2d，板间有正交的匀强电场和匀强磁场。一带电粒子从MP的中点O垂直于电场和磁场方向以初速度射入，恰沿直线从NQ的中点A射出；若只撤去电场，该带电粒子仍从O点以初速度水平射入，则粒子从N点射出，粒子重力不计。以下说法正确的是（　　）

A．该粒子一定带正电

B．该粒子带正电、负电均可

C．若只撤去磁场，该带电粒子仍从O点以初速度水平射入，则粒子从AQ之间射出

D．若只撤去磁场，该带电粒子仍从O点以初速度水平射入，则粒子打在板PQ上

【答案】AC

【详解】AB．由于撤去电场时，该带电粒子从N点射出，可知洛伦兹力方向向上，根据左手定则可知，粒子带正电，A正确，B错误；

CD．有电场与磁场作用时，由于粒子恰沿直线从NQ的中点A射出，可知，此时粒子做匀速直线运动，则有

解得

若只撤去电场，粒子从N点射出，作出轨迹如图所示

根据几何关系有解得R=2d

在磁场中

结合上述解得

若只撤去磁场，该带电粒子仍从O点以初速度水平射入，若粒子从AQ之间射出，则有，

解得

可知，粒子从AQ之间射出，C正确，D错误。

故选AC。

7.（2022春·四川成都·高二成都七中期末）如图所示，空间存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，磁场垂直于纸面向里，一个带电小球进入此空间后做直线运动，速度方向垂直磁场斜向右上方，与电场方向夹角。已知小球质量为，电量为，匀强磁场的磁感应强度为，重力加速度为，则（　　）

A．小球带正电

B．小球运动的速度大小为

C．匀强电场的电场强度大小为

D．小球运动到图中点时，撤去磁场，小球运动到与点等高位置所用时间为

【答案】AD

【详解】A．带电小球在复合场中做匀速直线运动，则带点小球受力平衡，由受力分析知小球带正电，故 A正确；

B．由受力分析可得

由可得

故B错误；

C．由受力分析可得

由可得

故C错误；

D．小球运动到图中点时，撤去磁场后小球在水平方向受到电场力做匀加速直线运动，竖直方向受重力先向上做匀减速直线运动至零后向下做匀加速直线运动，减速至零的时间为

所以小球运动到与点等高位置所用时间为

故D正确。

故选AD。

8.（2022秋·广东广州·高二广州科学城中学校考期末）2021年11月1日，央视报道我国一款新型电磁炮，专门用来扑灭山林大火的。发生山林大火时，山高路陡，人力灭火十分困难，利用电磁炮在山脚下发射消防灭火弹，为了研究方便将待发射的炮弹视为一个导体棒，（如图所示），导体棒质量，电阻，把导体棒垂直放置于两条与水平面成角的平行导轨的下端，导轨宽，导轨长，导轨下端接电源，电动势，内阻。垂直导轨平面有一向上的匀强磁场，磁感应强度，其余电阻不计以及摩擦力都忽略不计，取。

求：（1）画出导体棒的受力示意图；

（2）导体棒受到安培力的大小和方向；

（3）导体棒离开导轨时的速度大小。

【答案】（1）

（2）安培力大小1.1N，方向沿导轨向上

（3）

【详解】（1）如图所示

（2）由左手定则可知，导体棒受到安培力的方向沿导轨向上。

根据闭合电路欧姆定律可知   

联立解得

（3）由受力分析可知

根据匀变速直线运动位移与速度的关系

联立解得