2022-2023学年吉林大学附中慧谷学校等五校联考九年级（下）质检数学试卷（一）（含解析）

2022-2023学年吉林大学附中慧谷学校等五校联考九年级（下）质检数学试卷（一）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个实数中，最小的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  从今年两会传来的数据看新时代中国发展之变截至年底，我国累计建设开通基站个，实现“县县通”“村村通宽带”，将这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是一种六角螺栓的示意图，其俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔的高度，信号塔对面有一座高米的瞭望塔，测得瞭望塔底与信号塔底之间的距离为米，若从瞭望塔顶部测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

6.  如图，是的直径，点、、都在上若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，，按下列步骤作图：以点为圆心，适当长为半径画圆弧分别交、于点和点再分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径画圆弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，已知点、，将线段绕点逆时针旋转得到线段若反比例函数为常数的图象经过点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  分解因式：        ．

10.  如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的值可以是        写出一个值即可

11.  孙子算经中记载：“今有甲、乙二人，持钱不知其数甲得乙中半，可满四十八乙得甲太半，亦满四十八问甲、乙二人元持钱各几何？”题目大意是：“甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱钱问甲、乙两人各带了多少钱？”设甲带了钱，乙带了钱，则可列方程组为        ．

12.  将两块直角三角尺如图摆放，其中，，，与交于点若，则的度数为______．

13.  圆心角为的扇形如图所示，过的中点作，，垂足分别为点、若半径，则图中阴影部分图形的面积和为        ．

14.  在平面直角坐标系中，抛物线经过点若关于的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，则的取值范围为        ．

三、解答题（本大题共10小题，共112.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
在一个不透明的布袋中只装有个黑色的围棋子和个白色的围棋子，围棋子除颜色不同外其余均相同．从这个布袋中随机地摸出个围棋子，记下颜色后放回，搅匀后再随机地摸出个围棋子记下颜色．请用画树状图或列表的方法，求两次摸出的围棋子颜色都是黑色的概率．

17.  本小题分
为了更好地满足学生网课需求，某商店购进型和型两种型号的学生机平板电脑已知每台型学生机平板电脑的进价比每台型学生机平板电脑的进价多元，且用元购进型学生机平板电脑与用元购进型学生机平板电脑的数量相同求每台型学生机平板电脑的进价．

18.  本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．

在图中，画等腰三角形，使其面积为．
在图中，画等腰直角三角形，使其面积为．
在图中，画平行四边形，使．

19.  本小题分
如图，在中，，、分别是边、的中点，连接并延长到点，使，连接、、、．
求证：四边形是菱形．
若，，则的长为        ．

20.  本小题分
为了提高学生的安全意识，某校开展了安全教育课程，并在全校实施为了检验此课程的效果，随机抽取了名学生在开展此课程前进行了第一次安全常识测试，课程开展一段时间后，对这些学生又进行了第二次安全常识测试，获得了他们的成绩，并对数据成绩进行整理、描述和分析下面给出了部分信息：
第一次安全常识测试成绩统计表：

第二次安全常识测试成绩扇形统计图：
：
：
：
：
两次成绩的平均数、中位数、众数如表：

第一次安全常识测试成绩在这一组的数据是：，，，，，．
第二次安全常识测试成绩在：这一组的数据是：，，，，．
请根据以上信息，回答下列问题：
       ，        ．
下列推断合理的是        填写序号．
第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过参加此课程一段时间后成绩提升了．
被抽测的学生小明的第二次测试成绩是分，他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高．
若第二次安全常识测试成绩不低于分为优秀，根据统计结果，估计全校名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数．

21.  本小题分
在中小学生科技节中，某校展示了学生自主研制的甲、乙两种电动车搬运货物的能力这两种电动车充满电后都可以连续搬运货物分钟甲种电动车先开始搬运，分钟后，乙种电动车开始搬运线段、分别表示两种电动车的搬运货物量千克与时间分从甲种电动车开始搬运时计时的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：
甲种电动车每分钟搬运货物量为        千克，乙种电动车每分钟笒运货物量为        千克．
当时，求乙种电动车的搬运货物量千克与时间分之间的函数关系式．
在甲、乙两车同时搬运货物的过程中，直接写出二者搬运量相差千克时的值．

22.  本小题分
已知是的中线，点是线段上一点，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连结．
【方法感知】如图，当点与点重合时，易证：≌不需证明
【探究应用】如图，当点与点不重合时，求证：四边形是平行四边形．
【拓展延伸】如图，记与的交点为，的延长线与的交点为，且为的中点．
       ；
若，时，则的长为        ．
 

23.  本小题分
如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，到点停止当点与、两点不重合时，作交于点，作交于点为射线上一点，且设点的运动时间为秒．
的长为        ．
求的长用含有的代数式表示
线段将矩形分成两部分图形的面积比为：时，求的值．
当为某个值时，沿将以、、、为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形请直接写出所有符合上述条件的值．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线是常数的对称轴为直线，点在这个抛物线上，且点的横坐标为．
求该抛物线对应的函数表达式，并写出顶点的坐标．
点在这个抛物线上点在点的左侧，点的横坐标为．
当是以为底的等腰三角形时，求的面积．
将此抛物线、两点之间的部分包括、两点记为图象，当顶点在图象上，记图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式．
设点的坐标为，点的坐标为，点在坐标平面内，以、、、为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有个交点时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最小的实数是，
故选：．
根据实数的大小比较法则正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可．
本题考查了实数的大小比较法则的应用，主要考查学生的理解能力和比较能力，注意：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为，其中是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：该几何体的俯视图如图，

故选：．
根据俯视图是从上面看到的图形解答即可．
本题考查判断简单几何体的三视图．掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
移项得：，
解得：，
所以原不等式得解集：．
把解集在数轴上表示如下：

故选：．
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，掌握“画图时，小于向左拐，大于向右拐”是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

则米，米，
设米，
米，
在中，，
，
，即米，
故选：．
过点作，垂足为，米，米，从而求出米，然后在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，
，
，
．
故选：．
连接，如图，先利用圆周角定理得到，则利用邻补角计算出，然后再利用圆周角定理计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
由作图可知为的平分线，
，
，
故A正确，不符合题意；
，
，
故B正确，不符合题意；
，，
，
，
故C正确，不符合题意；
，，
，
，，
，
，
故D错误，符合题意．
故选：．
由三角形内角和定理可求出由角平分线的作图方法可知为的平分线，即得出，从而可求出，故A正确；由等角对等边可知，故B正确；由含度角的直角三角形的性质可得出，进而得出，故C正确；结合勾股定理可求出，故D错误．
本题考查作图角平分线，角平分线的定义，三角形内角和定理，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，根据基本作图方法判断出为的平分线是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作轴于，
，
、，
，，
由旋转的性质可得，，
，
，
≌，
，，
，
，
反比例函数为常数的图象经过点，
．
故选：．
如图所示，过点作轴于，先求出、，然后根据一线三垂直模型证明≌得到，，进而求出，则，然后把点代入反比例函数解析式中求出的值即可．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取公因式即可得到结果．
此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
 

10.【答案】答案不唯一 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
且，
的值可以是．
故答案为：．
根据一元二次方程其判别式时有两个不相等的实数根和一元二次方程的定义即可求出的取值范围，进而即可任意写出的值．
本题考查根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
故答案为：．
设甲带了钱，乙带了钱，根据题意可得，甲的钱乙的钱的一半，乙的钱甲所有钱的，据此列方程组可得．
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
，
，
，
故答案为：．
先利用直角三角形两个锐角互余求出和的度数，然后利用平行线的性质求出，最后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，

，，
，
四边形是矩形，
点是的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
矩形是正方形，
，
，，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
先证明四边形是矩形，再证明≌得到，得到矩形是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形面积减去正方形的面积即可得到答案．
本题主要考查了不规则图形的面积的计算，勾股定理，圆心角与弧之间的关系，矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线解析式为．
一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，如图，

当时，．
方程在的范围内有实数根，即函数的图象在的范围内与的图象有交点，
．
故答案为：．
利用待定系数法求出抛物线解析式，再根据将一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，结合图象，在的范围确定的取值范围即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，从而借助数形结合解题是关键．
 

15.【答案】解：

．
当时，原式． 

【解析】根据整式的混合运算法则计算即可化简，再将代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的化简求值，实数的混合运算．掌握整式的混合运算法则，实数的混合运算法则是解题关键．
 

16.【答案】解：根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中两次摸出的围棋子颜色都是黑色的有种，
则两次摸出的围棋子颜色都是黑色的概率是． 

【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图可求得所有等可能的结果与两次摸出的围棋子颜色都是黑色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：设每台型学生机平板电脑的进价为元，
由题意知：，
化为整式方程为，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
因此每台型学生机平板电脑的进价为元． 

【解析】设每台型学生机平板电脑的进价为元，则每台型平板电脑的进价为元，根据所给等量关系列分式方程，解方程即可．
本题考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键，求出解后注意检验．
 

18.【答案】解：如图，即为所求；

理由：由图可知，，，
，；
如图，即为所求；

理由：由图可知，，，
，且，
为等腰直角三角形，；
如图，平行四边形即为所求；

理由：连接，
由图可知，，
四边形是平行四边形，，
为等腰直角三角形，
，，
． 

【解析】取格点，连接，，得到即为所求，再利用三角形的面积计算方法求得到符合题意的图形，即可；
取格点，连接，，得到即为所求，再根据勾股定理逆定理，即可证明；
取格点，，连接，，，即可得到平行四边形，由勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质和平行四边形的判定和性质即可证明．
本题主要考查了作图应用与设计，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握数形结合的思想是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】证明：是边的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，是边的中点，
，
平行四边形是菱形；
解：由可知，四边形是菱形，，
，，，
、分别是边、的中点，
，是的中位线，
，
，
，则，
，
，
在中，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再由三角形中位线定理得，然后由锐角三角函数定义得，进而由勾股定理得，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：，
由中的表格和中的数据，可得，
故答案为：，；
第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，大多数学生通过此种方法锻炼一段时间后成绩提升了，故合理；
被抽测的学生小明的第二次测试成绩是分，第二次的中位数为，他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高，故合理；
故答案为：；
组的人数为人，
人，
答：估计全校名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数为人．
根据题意和题目中的数据，可以计算出和的值；
根据题意和题目中的信息，可以判断和是否合理，本题得以解决；
用总人数乘以不低于分的百分比即可．
本题考查频数分布表、扇形统计图、中位数、平均数以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】   

【解析】解：由图可知，甲种电动车每分钟搬运货物量为千克，
乙种电动车每分钟搬运货物量为千克，
故答案为：，；
设时，乙种电动车的搬运货物量千克与时间分之间的函数关系式为，
由图可知，图象经过，，
，
解得，
时，乙种电动车的搬运货物量千克与时间分之间的函数关系式为；
设甲种电动车的搬运货物量千克与时间分之间的函数关系式为，
将代入，得，
解得，
甲种电动车的搬运货物量千克与时间分之间的函数关系式为，
两种电动车充满电后都可以连续搬运货物分钟，
当时，甲、乙两车同时搬运货物，
若二者搬运量相差千克，则或，
解得或，
因此，二者搬运量相差千克时，的值为或．
由图可知甲、乙两车搬运千克的货物分别用时分，分，由此可解；
函数图象经过，，利用待定系数法即可求解；
时，甲、乙两车同时搬运货物，根据二者搬运量相差千克列方程即可．
本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
 

22.【答案】  

【解析】方法感知，证明：是的中线，
，
，
，
同理，
在与中，
，
≌．
探究应用，证明：如图，延长交于点．

是的中点，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形；
拓展延伸，解：如图中，连接．

，，
，，
：：：，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：；
如图中，连接，延长交于点．

在中，，是的中线
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
∽，
，
，，
是的中点，，
∽，
，
，
．
故答案为：．
方法感知，根据平行线的性质和三角形全等的判定进行证明即可；
探究应用，如图，延长交于点证明≌，推出，可得结论；
拓展延伸，利用平行线分线段成比例定理求解即可；
如图中，连接，延长交于点证明四边形是平行四边形，由∽，求出，，再证明∽，推出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

23.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
故答案为：；

，，
，
四边形是矩形，
；

如图中，当点在线段上时，

，，
∽，
，
，
，
由题意，，
，
解得，．
如图中，当点落在的延长线上时，设交于点．

当时，满足条件，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．

如图中，当时，满足条件，能拼成此时，
．

如图中，当，重合时，能拼成，此时，
．

图中，当时，能拼成，此时，
．

综上所述，满足条件的的值为或或．
利用勾股定理求出，可得结论；
证明四边形是矩形，求出，可得结论；
分两种情形：点在线段时，点在的延长线上时，分别构建方程求解即可；
分四种情形，分别画出图形，构建方程求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：抛物线是常数的对称轴为直线，
，
，
抛物线对应的函数表达式为：，
，
顶点的坐标为；
当时，，
，
当是以为底的等腰三角形时，
则，
点在抛物线对称轴上，
点、点关于直线对称，
，
点的横坐标为，
，
解得：，
，，
由得，，
；
，，点在点的左侧，
，
，
顶点在图象上，
，
，
当点是最高点，即时，
则


；
当点是最高点，即时，
则

，
综上，与之间的函数关系式为：或；
点在直线上运动，
由，
当 时，则，，如图：

此时矩形与抛物线有个交点；
当时，有个交点，不符合题意．
当时，则，，如图：

此时矩形与抛物线有个交点；
当时，则，，如图：

此时矩形与抛物线有个交点；
当时，则，，如图：

此时矩形与抛物线有个交点；
当时，点在抛物线上，此时矩形与抛物线有个交点；
当时，则，，如图：

此时矩形与抛物线有个交点；
当时，则，，如图：

此时矩形与抛物线有个交点经过抛物线的顶点；
当时，则，，如图：

此时矩形与抛物线有个交点．
综上，当或或时，抛物线与矩形有个交点． 

【解析】根据对称轴方程求出的值，求出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式化成顶点式，即可求解；
先根据等腰三角形的性质求出、、三点坐标，再根据三角形面积公式求解即可；按第一种情况：当点是最高点，可得，第二种情况：当点是最高点，得的取值范围，再计算纵坐标的差即可解答；
分情况讨论：当时，当时时，当时，当时，当，当时，当时，当时，分别画出图形求解即可．
本题考查二次函数的综合应用，掌握矩形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键．