第17讲 动量定理在电磁感应中的应用（原卷版）

第17讲 动量定理在电磁感应中的应用

【方法指导】

一、动量定理在电磁感应现象中的应用

导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为：

二、动量守恒定律在电磁感应现象中的应用

在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便。

【例题精析】

[例题1]             （2022•浙江）舰载机电磁弹射是现代航母最先进的弹射技术，我国在这一领域已达到世界先进水平。某兴趣小组开展电磁弹射系统的设计研究，如图1所示，用于推动模型飞机的动子（图中未画出）与线圈绝缘并固定，线圈带动动子，可在水平导轨上无摩擦滑动。线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度大小均为B。开关S与1接通，恒流源与线圈连接，动子从静止开始推动飞机加速，飞机达到起飞速度时与动子脱离；此时S掷向2接通定值电阻R0，同时施加回撤力F，在F和磁场力作用下，动子恰好返回初始位置停下。若动子从静止开始至返回过程的v﹣t图如图2所示，在t1至t3时间内F＝（800﹣10v）N，t3时撤去F。已知起飞速度v1＝80m/s，t1＝1.5s，线圈匝数n＝100匝，每匝周长l＝1m，飞机的质量M＝10kg，动子和线圈的总质量m＝5kg，R0＝9.5Ω，B＝0.1T，不计空气阻力和飞机起飞对动子运动速度的影响，求

（1）恒流源的电流I；

（2）线圈电阻R；

（3）时刻t3。

[练习1]             （2022•浙江）如图所示，水平固定一半径r＝0.2m的金属圆环，长均为r，电阻均为R0的两金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定在过圆心的导电竖直转轴OO′上，并随轴以角速度ω＝600rad/s匀速转动，圆环内左半圆均存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场。圆环边缘、与转轴良好接触的电刷分别与间距l1的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容C＝0.09F的电容器，通过单刀双掷开关S可分别与接线柱1、2相连。电容器左侧宽度也为l1、长度为l2、磁感应强度大小为B2的匀强磁场区域。在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒ab，磁场区域外有间距也为l1的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段上放置“[”形金属框fcde。棒ab长度和“[”形框的宽度也均为l1、质量均为m＝0.01kg，de与cf长度均为l3＝0.08m，已知l1＝0.25m，l2＝0.068m，B1＝B2＝1T、方向均为竖直向上；棒ab和“[”形框的cd边的电阻均为R＝0.1Ω，除已给电阻外其他电阻不计，轨道均光滑，棒ab与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。开始时开关S和接线柱1接通，待电容器充电完毕后，将S从1拨到2，电容器放电，棒ab被弹出磁场后与“[”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将S与2断开，已知框abcd在倾斜轨道上重心上升0.2m后返回进入磁场。

（1）求电容器充电完毕后所带的电荷量Q，哪个极板（M或N）带正电？

（2）求电容器释放的电荷量ΔQ；

（3）求框abcd进入磁场后，ab边与磁场区域左边界的最大距离x。

[练习2]             （2022•温州二模）如图所示，间距L＝0.2m的两平行金属导轨由倾斜部分与水平部分平滑连接而成。倾斜部分MN、M'N′粗糙，与水平面夹角θ＝30°；水平部分NP、N'P'光滑。PP'间接有电容器和二极管，电容器电容CF，二极管正向电阻为零，反向电阻无穷大。虚线区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ内有垂直于导轨平面的匀强磁场，方向如图所示，磁感应强度大小均为B＝1T。区域Ⅰ、Ⅱ沿导轨长度均为d＝0.5m，区域Ⅱ下边界与NN'齐平。区域Ⅱ沿导轨长度足够长。现有两根完全相同的导体棒ab、cd，每根导体棒质量m＝0.01kg，电阻R＝1Ω，长度L＝0.2m，始终与导轨垂直且接触良好。开始时，cd棒静止在区域Ⅱ左侧的水平导轨上，让ab棒从区域Ⅰ上边界上方某处无初速度释放。已知ab棒与倾斜导轨动摩擦因数μ，ab棒从释放到抵达NN'的时间t＝2s。ab棒与cd棒碰撞后立即粘在一起继续运动。导轨电阻不计。求：

（1）ab棒在倾斜轨道上运动过程中，通过cd棒的电荷量q；

（2）两棒碰撞后瞬间的速度v的大小；

（3）若电容器储存的电能满足ECU2（U为电容器两极板间电压），进入水平导轨后ab棒产生的焦耳热Qab。

【强化专练】

1. （2022•浙江模拟）如图所示，边长为L＝1m、质量为m＝1kg、电阻为R＝1Ω的匀质正方形刚性导体线框ABCD和直角坐标系xOy（x轴水平，y轴竖直）均处于竖直平面内．在第一象限的空间内存在垂直于纸面向里的磁场，磁感应强度在x方向均匀分布，y方向上满足B＝2+ky（各量均采用国际单位，k为大于0的未知量）。初始时，线框的A点与坐标原点O重合，AB边与x轴重合（记为位置1）．现给线框一个沿着x轴正方向的速度v0＝1m/s，并且给线框一个竖直向上的恒力，当线框A点下降的高度为H＝1.25m（记为位置2）时，可以认为线框恰好达到最大速度，且线框中的电流I＝2.5A．此后恒力F保持大小不变，方向改为x方向，线框继续运动到位置3（位置3和位置2中A点的横坐标相距3.5L），此后轨迹是抛物线．若整个运动过程中，线框始终处于同一竖直平面内，AB边始终保持水平，不计空气阻力，重力加速度为g，求：

（1）k的数值；

（2）线框从位置1到位置2的时间t1；

（3）线框从位置2运动到位置3的竖直高度差h．

2. （2022•浙江模拟）冲击电流计属于磁电式检流计，它可以测量短时间内通过冲击电流计的脉冲电流所迁移的电量，以及与电量有关的其他物理量测量（如磁感应强度）。已知冲击电流计D的内阻为R，通过的电量q与冲击电流计光标的最大偏转量dm成正比，即q＝kdm（k为电量冲击常量，是已知量）。如图所示，有两条光滑且电阻不计的足够长金属导轨MN和PQ水平放置，两条导轨相距为L，左端MP接有冲击电流计D，EF的右侧有方向竖直向下的匀强磁场。现有长度均为L、电阻均为R的导体棒ab与cd用长度也为L的绝缘杆组成总质量为m的“工”字型框架。现让“工”字型框架从EF的左边开始以初速度v0（大小未知）进入磁场，当cd导体棒到达EF处时速度减为零，冲击电流计光标的最大偏转量为d，不计导体棒宽度，不计空气阻力，试求：

（1）在此过程中，通过ab导体棒的电荷量qab和磁场的磁感应强度B的大小；

（2）在此过程中，“工”字型框架产生的总焦耳热Q；

（3）若“工”字型框架以初速度2v0进入磁场，求冲击电流计光标的最大偏转量d′。

3. （2022•浙江模拟）如图所示，AD与A1D1为水平放置的无限长平行金属导轨，DC与D1C1为倾角为θ＝37°的平行金属导轨，两组导轨的间距均为l＝1.5m，导轨电阻忽略不计。质量为m1＝0.35kg、电阻为R1＝1Ω的导体棒ab置于倾斜导轨上，质量为m2＝0.4kg、电阻为R2＝0.5Ω的导体棒cd置于水平导轨上，轻质细绳跨过光滑滑轮一端与cd的中点相连、另一端悬挂一轻质挂钩。导体棒ab、cd与导轨间的动摩擦因数相同，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B＝2T．初始时刻，棒ab在倾斜导轨上恰好不下滑。（g取10m/s2，sin37°＝0.6）

（1）求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ；

（2）在轻质挂钩上挂上物体P，细绳处于拉伸状态，将物体P与导体棒cd同时由静止释放，当P的质量不超过多大时，ab始终处于静止状态？（导体棒cd运动过程中，ab、cd一直与DD1平行，且没有与滑轮相碰。）

（3）若P的质量取第（2）问中的最大值，由静止释放开始计时，当t＝1s时cd已经处于匀速直线运动状态，求在这1s内ab上产生的焦耳热为多少？

4. （2021•浙江模拟）两光滑导轨平行放置，间距为L，在导轨上有O、O'两点，OO'连线与轨道垂直。OO'将导轨分为左右两部分，OO'左边的轨道由绝缘材料做成，右边轨道由导电材料做成，不计导轨的电阻。OO'左边有宽度为d的等间距交替出现的方向竖直向上或竖直向下的磁场，磁感应强度大小为B。在OO'的右侧有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小也为B。在OO'处放置有质量为2m的金属棒a，离a棒距离为s处放置一质量也为2m的金属棒b，a、b两棒的电阻均为R。现将一质量为m，电阻值也为R，宽为d，长为L的金属线框ABCD，从AB边离OO'距离为4d的左侧以一定的初速度向右运动，在OO'处与a棒发生弹性碰撞后，线框返回且恰好停在出发处。而b棒与障碍物发生弹性碰撞后会以大小不变的速度返回。b棒到达障碍物时的速度已经稳定。

（1）判断线框开始运动时，CD边中电流的方向及CD边受力的方向；

（2）求线框初速度的大小；

（3）求线框中产生的热量；

（4）若b棒在与障碍物相碰后能够与a棒再相遇，求初始a、b两棒的距离s的取值范围。