2022-2023学年贵州省凯里市第一中学高二下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年贵州省凯里市第一中学高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．设集合，集合N为函数的定义域，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数的真数为正数化简集合，进而由集合的交运算即可求解.

【详解】由，所以，

又，所以，

故选:D

2．若，则（    ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】C

【分析】根据共轭复数与模长的求解计算即可.

【详解】因为,故.

故选：C.

3．已知椭圆中，长轴长为10，离心率为，则焦距为（   ）

A．5 B．10 C．5 D．5

【答案】A

【分析】根据椭圆长轴和离心率的概念即可求解.

【详解】，所以；又因为，

得，所以.

故选：A.

4．设是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】D

【解析】由线面平行的性质和面面平行的判定可判断选项A；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质可判断选项B；由面面垂直的性质定理和线面位置关系可判断选项C；由线面平行的性质和面面垂直的判定定理可判断选项D；

【详解】对于选项A：若，，则或与相交，故选项A不正确；

对于选项B：若，，则或，故选项B不正确；

对于选项C：若，，则或或与相交，故选项C不正确；

对于选项D：若，由线面平行的性质定理可得过的平面，设，则，所以，再由面面垂直的判定定理可得，故选项D正确；

故选：D

5．已知{}是等差数列，且，则=（   ）

A．2 B．0 C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.

【详解】设等差数列的首项为，公差为，由，即，解得.

所以，所以.

故选：B

6．已知点P（x,y）是曲线上的一动点，则点P（x,y）到直线的距离的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】当曲线在点P处的切线与已知直线平行时点P到该直线的距离最小，结合导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解.

【详解】当曲线在点P处的切线与直线平行时，点P到该直线的距离最小，

，

由直线的斜率，则，

得，有，所以，

∴到直线距离.

故选：C.

7．如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用赋值法，结合图形和排除法即可判断ABC；利用导数和零点的存在性定理研究函数的单调性，结合图形即可判断D.

【详解】A：设，由得，

则，结合图形，不符合题意，故A错误；

B：设，则，结合图形，不符合题意，故B错误；

C：设，当时，，，

所以，即，

当且仅当时等号成立，结合图形，不符合题意，故C错误；

D：设，则，

设，则，

所以函数在上单调递减，且，

故存在，使得，

所以当时，即，当时，即，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，结合图形，符合题意，故D正确.

故选：D.

8．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且满足，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理及余弦定理表示，结合基本不等式求得的取值范围，从而求得的取值范围，即得.

【详解】依题意，

由余弦定理得，，

所以

，当且仅当时等号成立，

即为锐角，，，

，

所以的最大值为.

故选：B.

二、多选题

9．下列说法正确的是（     ）

A．直线在y轴上的截距为2

B．直线必过定点（2,0）

C．直线的倾斜角为

D．过点且垂直于直线的直线方程为

【答案】BD

【分析】根据直线的截距式方程即可判断A，根据直线恒过定点的求法即可判断B，根据直线斜率的定义即可判断C，根据垂直直线斜率之积为-1，结合直线的点斜式方程即可判断D.

【详解】A：直线在轴上的截距为，所以A不正确；

B：由，得，

令，解得：，所以该直线恒过定点，故B正确；

C：设直线的倾斜角为，，斜率为，

由，解得：，故C错误；

D：由直线，得该直线的斜率为，

所以过点且垂直于直线的直线斜率为，

故其方程为，即，故D正确.

故选：BD.

10．斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于两点则下列结论正确的有（   ）

A． B．抛物线的准线方程为

C． D．

【答案】AC

【分析】由抛物线的性质判断AB；联立直线l和抛物线方程，利用韦达定理，以及数量积公式、抛物线的定义判断CD.

【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为，所以A正确，B不正确.

由，消去得：，所以，

所以，所以C正确；

所以，所以D不正确.

故选：AC

11．已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是奇函数，则下列判断正确的是（   ）

A．函数f（x）的最小正周期为 B．函数f（x）的图像关于点（，0）对称

C．函数f（x）在上单调递增 D．函数f（x）的图像关于直线对称

【答案】ABD

【分析】利用函数图像相邻两条对称轴之间的距离为和函数是偶函数，求出，从而可判断选项A正确；再利用余弦函数的图像与性质，可以判断出选项BCD的正误.

【详解】因为函数图像相邻两条对称轴之间的距离为，则，

又，

又函数是偶函数，因为，

所以，即，

又，，则.

函数最小正周期，故选项A正确；

函数图像对称点的横坐标为：，即，

令时，，故选项B正确；

又由：，得到

所以函数的单调增区间为：，

令时，得到一个增区间为：

故选项C错误；

函数图像的对称所在直线方程为；，

令时，，故选项D正确.

故选：ABD

12．将全体正整数按照以下排列的规律排成一个三角形数阵，下列结论正确的是（   ）

A．第8行最右边的数为38

B．第10行从右向左第个5数为51

C．第10行所有数的和为505

D．第64行从左向右第7个数为2023

【答案】BCD

【分析】根据三角数阵可知第行共有个数，且第行的最后一个数字是：，即为.结合等差数列前n项求和公式计算，依次判断选项即可.

【详解】由三角形数阵可知，

①第行共有个数；

②第行的最后一个数字是：，即为.

A：因为，故A错误；

B：因为，

所以第行中的个数字依次为.故B正确；

C：由，故C正确；

D：由，知第行最后的一个数为；

所以第行中的数字从左到右依次为

2017,2018,2019,2020,2021,2022,2023,2024，，第7个数为2023，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知函数的最小正周期为，则___________.

【答案】

【分析】利用正弦型函数的周期公式可求得的值.

【详解】因为函数的最小正周期为，则.

故答案为：.

14．已知直线和圆相交于、两点，则弦长__________．

【答案】

【详解】由圆方可知其圆心坐标为，半径，弦心距，∴，故答案为.

点睛：本题主要考查了直线与圆相交求截得弦长问题，属于基础题；求直线被圆所截得的弦长时，根据圆的性质通常考虑由弦心距，弦长的一般作为直角边，圆的半径作为斜边，利用勾股定理来解决问题，通常还会用到点到直线的距离公式.

15．已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据题意可知双曲线的渐近线方程的斜率需小于直线的斜率，得，结合和离心率的定义即可求解.

【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为，

要使直线与双曲线的右支有两个交点，

需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率，

即，即，由，

得，整理得，所以，

因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是，

故答案为：．

16．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______．

【答案】36π

【详解】三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，

若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，

可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，

可得 ，解得r=3.

球O的表面积为： .

点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

四、解答题

17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足，.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若等差数列{bn}的前n项和为Tn，且，，求数列的前n项和Qn．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据数列的通项与的关系，化简求得，得到数列是首项为3、公比为3的等比数列，即求解通项公式；

（2）由（1）可得，得到，利用裂项法，即可求解．

【详解】（1）当时，得，

由，得，

两式相减得，又，∴，

又，∴，显然，

即数列是首项为3、公比为3的等比数列，∴；

（2）设数列的公差为，则有，

由得，解得，∴，

又，

∴==．

【点睛】本题主要考查等比数列的定义及通项公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项法”之后求和时，弄错项数导致错解，能较好的考查逻辑思维能力及基本计算能力等.

18．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.

(1)求角A；

(2)若，求△ABC周长的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由余弦定理即可求解，

（2）根据正弦定理得，由内角和关系以及和差角公式可得，进而由三角函数的性质即可求解.

【详解】（1）由正弦定理可得：，

，，

（2）因为，，所以，故

由正弦定理得：

所以，

所以周长

因为，则，所以

故

求周长的取值范围为.

19．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．

（1）求，，，；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.

（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.

【详解】（1），

，

，

.

（2）依题意，，，

，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

20．设函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.

【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.

【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为，

又，

因为，故，

当时，；当时，；

所以的减区间为，增区间为.

（2）因为且的图与轴没有公共点，

所以的图象在轴的上方，

由（1）中函数的单调性可得，

故即.

【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.

21．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)当三棱锥体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正切值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)2.

【分析】（1）证得平面，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；

（2）当在的中点位置时体积最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.

【详解】（1）由题设知，平面平面，交线为.

因为，平面，

所以平面，平面，

故,因为是上异于，的点，且为直径，

所以，又，平面，

所以平面，而平面，

故平面平面；

（2）以D为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点.

由题设得，

设是平面MAB的法向量，则

即，可取，

又是平面的一个法向量，因此

，，

得，所以，，

所以面与面所成二面角的正切值是.

22．已知椭圆的左，右焦点分别为、，离心率为，直线l经过点且与椭圆C交于不同两点A，B，当A是椭圆C上顶点时，l与圆相切.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可；

（2）当直线的斜率不存在时，易得；当直线的斜率存在时，设直线方程为，，，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示可得，令得，结合不等式的性质计算即可求解.

【详解】（1）当A为椭圆的上顶点时，直线l与圆相切，

则圆心到直线l的距离为，此时，

有，得，

则，解得，

所以椭圆的标准方程是；

（2）由（1）知，则椭圆的左焦点，当直线的斜率不存在时，

易求得，，则；

当直线的斜率存在时，设直线方程为，，.

由，消得，，

，

，

令，则，

，，，

综上可知，的取值范围是.