2022-2023学年四川省南充市嘉陵第一中学高二下学期第一次月考数学(理)试题含解析
展开这是一份2022-2023学年四川省南充市嘉陵第一中学高二下学期第一次月考数学(理)试题含解析,共23页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上,圆的圆心、半径是等内容,欢迎下载使用。
2022—2023学年高二下期第一次月考
理科数学试题
考试范围:立体几何、直线与圆、圆锥曲线、导数
考试时间:120分钟;总分:150分
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知,则的值为( )
A. B.– C. D.–
2.已知,则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3.与椭圆有公共焦点,且离心率的双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知,是椭圆的两个焦点,P是C上一点(端点除外),则的周长为( )
A.14 B.16 C. D.
5.下列各组方程中,表示相同曲线的一组方程是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
6.已知函数的图象如图所示.设函数从-1到1的平均变化率为,从1到2的平均变化率为,则与的大小关系为( )
A. B. C. D.不能确定
7.已知函数的导函数的图象如图所示,那么函数( )
A.在上单调递增 B.在上单调递减
C.在上单调递增 D.在上单调递减
8.圆的圆心、半径是( )
A.,4 B.,2 C.,4 D.,2
9.过圆上的动点作圆的两条切线,则连接两切点线段的长为( )
A.2 B.1 C. D.
10.2022年卡塔尔世界杯会徽(如图)正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系中,把到定点,距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点,有如下说法:
①双纽线关于原点中心对称;
②;
③双纽线上满足的点有两个;
④的最大值为.
其中所有正确的说法为( )
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④
11.已知抛物线的焦点为F,直线l过焦点F且与抛物线交于点,,与抛物线C的准线交于点Q,若(O为坐标原点),,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.已知,,,则()
A. B. C. D.
第II卷(非选择题)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知抛物线的焦点在直线上,则______.
14.质点M按规律做直线运动(位移单位:m,时间单位:),则质点M在时的瞬时速度为___________.
15.已知,则直线必过定点_______
16.已知曲线,直线,曲线上恰有3个点到直线的距离为1,则的取值范围是_____________.
三、解答题:本题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分.
17.已知椭圆经过点,.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线交椭圆于,两点,是坐标原点,求的面积.
18.圆的圆心为,且过点.
(1)求圆的标准方程;
(2)直线与圆交两点,且,求.
19.如图,直三棱柱的底面为正三角形,,点分别在上,且, ,.
(1)证明:平面平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
20.已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若在上单调递减,求实数的取值范围.
21.已知椭圆,四点,,,中恰有三点在C上.
(1)求C的方程;
(2)若圆的切线l与C交于点A,B,证明为定值,并求出定值.
(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点,且三个内角满足关系式.
(1)求线段的长度;
(2)求顶点的轨迹方程.
23.已知二次函数.
(1)判断与的大小;
(2)判断在区间与的平均变化率的大小.
2022—2023学年高二下期第一次月考
理科数学试题参考答案
1.C
【分析】求导,再令即可得解.
【详解】,
所以.
故选:C.
2.D
【分析】求出在点处的导数即为切线的斜率,直接写出切线方程即可.
【详解】因为,所以,,
所以切线的斜率,
所以曲线在点处的切线方程为,
故选:D.
3.B
【分析】根据已知条件求得双曲线的实半轴、虚半轴,从而求得双曲线方程.
【详解】椭圆的焦点为.
因为所求双曲线的离心率,
所以其实半轴长为2,虚半轴长为,
故所求双曲线的方程为.
故选:B
4.C
【分析】根据椭圆的定义和标准方程求得正确答案.
【详解】由题可知,,的周长为.
故选:C
5.C
【分析】根据的范围以及曲线方程确定正确答案.
【详解】A选项,中,中,所以不是相同曲线.
B选项,中,中,所以不是相同曲线.
C选项,,是相同曲线,C选项正确.
D选项,中,中,,所以不是相同曲线.
故选:C
6.C
【分析】根据平均变化率的计算公式即可得出结果.
【详解】记,,
由图易知,所以.
故选:C.
7.D
【分析】根据导函数图象判断出原函数的单调性.
【详解】根据导函数的图象可知,在区间上递减,
在区间上,递增,
所以D选项正确,ABC选项错误.
故选:D
8.D
【分析】利用圆的标准方程的性质求解.
【详解】圆的圆心为半径
故选:D
9.D
【分析】根据给定条件,确定动点和两个切点为顶点的三角形形状,求出切线长即可作答.
【详解】令点P是圆上的动点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,如图,
则,而,于是,又,
因此为正三角形,,
所以连接两切点线段的长为.
故选:D
10.D
【分析】对于①,根据双纽线的定义求出曲线方程,然后将替换方程中的进行判断,对于②,根据三角形的等面积法分析判断,对于③,由题意得,从而可得点在轴上,进行可判断,对于④,由向量的性质结合余弦定理分析判断,据此可求出选项.
【详解】对于①,因为定义在平面直角坐标系中,把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线,所以,
用替换方程中的,原方程不变,所以双纽线关于原点中心对称,所以①正确;
对于②,根据三角形的等面积法可知,
即,所以,所以②正确;
对于③,若双纽线上的点满足,则点在轴上,即,
所以,得,所以这样的点只有一个,所以③错误;
对于④,因为,
所以,
由余弦定理得,
所以,
所以的最大值为,所以④正确,
故选:D
11.B
【分析】将三角形面积间的数量关系转化为线段长之间的数量关系,求得有关线段的数量关系,并根据三角形相似建立方程,解方程得到结果.
【详解】对于△OQN和△OFN,底边QN和FN上的高均为点O到直线l的距离,故由可得,
如图,分别过点M,N作准线的垂线,垂足分别为点,,
设,则,,故.
因为,所以.
在直角三角形中,,,,所以,所以,解得.
设抛物线的准线与x轴交于点,则,所以,
即,解得,
故选:B.
【点睛】思路点睛:求解本题的关键是观察两个三角形间的关系,将三角形的面积间的关系转化为线段长之间的关系,并利用抛物线的定义及平面几何的知识求解.
12.C
【分析】构造函数,利用导数研究其单调性,从而得到;再直接计算,从而得到,进而得到;由此得解.
【详解】令,,
则,故在上单调递减,
所以,即,即,故;
因为,,
所以,故,即,即;
综上:.
故选:C.
【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:
一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
13.6
【分析】根据抛物线的方程写出焦点坐标即可.
【详解】抛物线的焦点为;
焦点在直线上
故答案为:0
14.
【分析】对进行求导,再将的值代入,即可得答案.
【详解】因为,所以,所以,
所以质点在时的瞬时速度为.
故答案为:.
15.
【分析】将已知条件代入直线方程即可求出定点.
【详解】因为,所以,
整理得,
即直线必过定点.
故答案为:.
16.
【分析】根据曲线的表达式画出半圆图象,再利用直线与曲线的临界位置讨论的取值范围,由于曲线上恰有3个点到直线的距离为1,根据两平行线间的距离公式并结合图象即可确定实数的取值范围.
【详解】由,得曲线是以为圆心,半径为2的圆的上半部分.
在曲线中,令,得或4,将代入直线得,
将代入直线得,
当直线与曲线相切时,由圆心到直线的距离为2,得,
所以当或时,直线与曲线有一个公共点;
当时,直线与曲线有两个公共点.如下图所示:
记与曲线相切的直线为,
过且斜率为1的直线记为.
当直线与距离为1时,即,∴或,
取,此时曲线上有2个点到直线距离为1;
当直线与距离为1时,即,∴或,
取,此时恰有3个点到直线的距离为1.
∴.
故答案为:.
17.(1)
(2)
【分析】(1)根据椭圆经过的两点可求,即可得椭圆方程;
(2)联立直线和椭圆方程,求出交点坐标即可求面积.
【详解】(1)因为椭圆经过点,所以,
把点的坐标代入方程,得,解得.
所以椭圆的方程为.
(2)联立方程组消去,得.
解得或不妨设,,则.
18.(1)
(2)或
【分析】(1)利用两点间距离公式求出圆的半径,写出圆的标准方程;
(2)求出圆心到直线的距离,利用垂径定领列出方程,求出.
【详解】(1)设圆的半径为,则,
故圆的标准方程为:;
(2)设圆心到直线的距离为,
则,
由垂径定理得:,
即,解得:或.
19.(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)取,中点设为,连接,以为原点,为轴建立坐标系,设平面的法向量为,平面的法向量为,利用即可证明平面平面;
(2)设平面的法向量,平面与平面夹角为,利用求解即可.
【详解】(1)取,中点设为,连接,
因为直三棱柱,所以平面平面,,
又为正三角形,,平面平面,面,
所以平面,因为平面,所以两两垂直,
以为原点,为轴建立如图所示坐标系,
则由题意可得,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,
则,取,
设平面的法向量为,
则,取,
因为,所以平面平面.
(2)由(1)得,
设平面的法向量,
则,取,
设平面与平面夹角为,
则.
20.(1)
(2)
【分析】(1)根据导数的几何意义即可;
(2)根据导数和函数单调性之间的联系即可.
【详解】(1)因为,所以,所以.
因为,所以,
所以所求切线方程为,
即.
(2)因为在上单调递减,所以在上恒成立.
因为,
所以,即.
令,则,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,故实数a的取值范围是.
21.(1)
(2)证明见解析,定值为
【分析】(1)利用对称性可以判断经过,两点,与的纵坐标相同可以判断在上,进而求出结果;
(2)先讨论切线的斜率不存在时,求出,再讨论切线的斜率存在时,利用相切得到,进而联立直线与椭圆可以判断,从而求出结果.
【详解】(1)由,两点关于轴对称,可得经过,两点.
与的纵坐标相同,且都位于第一象限,不可能都在上,所以不在上.
所以在上.
则,解得,
故的方程为.
(2)当切线的斜率不存在时,得.
当时,可得,.
,则.
当时,同理可证.
当切线的斜率存在时,设.
因为与圆相切,
所以圆心到的距离为,
即,
联立得.
设,,则,.
.
由,得,则.
综上,若圆的切线与交于点A,B,则,
所以由等面积法可得,
所以为定值,定值为.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.
22.(1)
(2)
【分析】(1)根据椭圆中的关系直接求解;
(2)利用正弦定理角化边,结合双曲线的定义确定的轨迹,根据双曲线中之间的关系求解.
【详解】(1)椭圆的方程为,
椭圆的方程为,
分别为椭圆的左焦点和右焦点,
,
,线段的长度;
(2)中根据正弦定理得:(为外接圆半径),
,
,
,
.
点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支,且不包含右顶点,
设该双曲线方程为
且,
顶点的轨迹方程为
23.(1)<
(2)在区间的平均变化率小于在的平均变化率
【分析】(1)将自变量代入函数式直接运算再比较大小;(2)直接根据平均变化率的定义求解并比较大小即可.
(1)
因为,所以,,所以<.
(2)
在区间的平均变化率为(1),
在区间的平均变化率,
所以在区间的平均变化率小于在的平均变化率.
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