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    2022-2023学年四川省南充市嘉陵第一中学高二下学期第一次月考数学(理)试题含解析

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    2022-2023学年四川省南充市嘉陵第一中学高二下学期第一次月考数学(理)试题含解析

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    这是一份2022-2023学年四川省南充市嘉陵第一中学高二下学期第一次月考数学(理)试题含解析,共23页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上,圆的圆心、半径是等内容,欢迎下载使用。


    2022—2023学年高二下期第一次月考

    理科数学试题

    考试范围:立体几何、直线与圆、圆锥曲线、导数

    考试时间:120分钟;总分:150分

    注意事项:

    1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

    2.请将答案正确填写在答题卡上

    第I卷(选择题)

    一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 

    1.已知,则的值为(    

    A             B                C               D

    2.已知,则曲线在点处的切线方程为(   

    A         B            C           D

    3.与椭圆有公共焦点,且离心率的双曲线的方程为(    

    A       B         C       D

    4.已知是椭圆的两个焦点,PC上一点(端点除外),则的周长为(    

    A14            B16                C          D

    5.下列各组方程中,表示相同曲线的一组方程是(    

    A                         B

    C                     D

    6.已知函数的图象如图所示.设函数从-11的平均变化率为,从12的平均变化率为,则的大小关系为(    

     

     

     

     

     

     

    A          B            C           D.不能确定

     

     

     

    7.已知函数的导函数的图象如图所示,那么函数    

     

    A.在上单调递增 B.在上单调递减

    C.在上单调递增 D.在上单调递减

     

    8.圆的圆心、半径是(  )

    A4         B2           C4        D2

    9.过圆上的动点作圆的两条切线,则连接两切点线段的长为(    

    A2             B1               C                D

    102022年卡塔尔世界杯会徽(如图)正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系中,把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点,有如下说法:

    双纽线关于原点中心对称;

    双纽线上满足的点有两个;

    的最大值为.

    其中所有正确的说法为(    

     

    A①②             B①③            C①②③               D①②④

    11.已知抛物线的焦点为F,直线l过焦点F且与抛物线交于点,与抛物线C的准线交于点Q,若O为坐标原点),,则    

    A1             B2                C3                   D4

    12.已知,则()

    A         B             C          D

     

    第II卷(非选择题)

    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

    13.已知抛物线的焦点在直线上,则______.

    14.质点M按规律做直线运动(位移单位:m,时间单位:),则质点M时的瞬时速度为___________

    15.已知,则直线必过定点_______

    16.已知曲线,直线,曲线上恰有3个点到直线的距离为1,则的取值范围是_____________.

     

    三、解答题本题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

    (一)必考题:共60分.

    17.已知椭圆经过点.

    (1)求椭圆的方程;

    (2)若直线交椭圆两点,是坐标原点,求的面积.

     

     

     

     

    18.圆的圆心为,且过点.

    (1)求圆的标准方程;

    (2)直线与圆两点,且,求.

     

     

     

     

     

    19.如图,直三棱柱的底面为正三角形,,点分别在上,且, .

     

    (1)证明:平面平面

    (2)求平面与平面夹角的余弦值.

     

     

     

     

     

     

    20.已知函数.

    (1),求曲线在点处的切线方程;

    (2)上单调递减,求实数的取值范围.

     

     

     

    21.已知椭圆,四点中恰有三点在C.

    (1)C的方程;

    (2)若圆的切线lC交于点AB,证明为定值,并求出定值.

     

     

     

     

     

    (二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

    22.已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点,且三个内角满足关系式.

    (1)求线段的长度;

    (2)求顶点的轨迹方程.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    23.已知二次函数.

    (1)判断的大小;

    (2)判断在区间的平均变化率的大小.

     


    2022—2023学年高二下期第一次月考

    理科数学试题参考答案

    1C

    【分析】求导,再令即可得解.

    【详解】

    所以.

    故选:C.

    2D

    【分析】求出在点处的导数即为切线的斜率,直接写出切线方程即可.

    【详解】因为,所以

    所以切线的斜率

    所以曲线在点处的切线方程为

    故选:D.

    3B

    【分析】根据已知条件求得双曲线的实半轴、虚半轴,从而求得双曲线方程.

    【详解】椭圆的焦点为

    因为所求双曲线的离心率

    所以其实半轴长为2,虚半轴长为

    故所求双曲线的方程为

    故选:B

    4C

    【分析】根据椭圆的定义和标准方程求得正确答案.

    【详解】由题可知的周长为

    故选:C

    5C

    【分析】根据的范围以及曲线方程确定正确答案.

    【详解】A选项,,所以不是相同曲线.

    B选项,,所以不是相同曲线.

    C选项,,是相同曲线,C选项正确.

    D选项,,,所以不是相同曲线.

    故选:C

    6C

    【分析】根据平均变化率的计算公式即可得出结果.

    【详解】记

    由图易知,所以

    故选:C

    7D

    【分析】根据导函数图象判断出原函数的单调性.

    【详解】根据导函数的图象可知,在区间递减,

    在区间上,递增,

    所以D选项正确,ABC选项错误.

    故选:D

    8D

    【分析】利用圆的标准方程的性质求解.

    【详解】圆的圆心为半径

    故选:D

    9D

    【分析】根据给定条件,确定动点和两个切点为顶点的三角形形状,求出切线长即可作答.

    【详解】令点P是圆上的动点,过点P作圆的两条切线,切点分别为AB,如图,

    ,而,于是,又

    因此为正三角形,

    所以连接两切点线段的长为.

    故选:D

    10D

    【分析】对于,根据双纽线的定义求出曲线方程,然后将替换方程中的进行判断,对于,根据三角形的等面积法分析判断,对于,由题意得,从而可得点轴上,进行可判断,对于,由向量的性质结合余弦定理分析判断,据此可求出选项.

    【详解】对于,因为定义在平面直角坐标系中,把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线,所以

    替换方程中的,原方程不变,所以双纽线关于原点中心对称,所以正确;

    对于,根据三角形的等面积法可知

    ,所以,所以正确;

    对于,若双纽线上的点满足,则点轴上,即

    所以,得,所以这样的点只有一个,所以错误;

    对于,因为

    所以

    由余弦定理得

    所以

    所以的最大值为,所以正确,

    故选:D

    11B

    【分析】将三角形面积间的数量关系转化为线段长之间的数量关系,求得有关线段的数量关系,并根据三角形相似建立方程,解方程得到结果.

    【详解】对于OQNOFN,底边QNFN上的高均为点O到直线l的距离,故由可得

    如图,分别过点MN作准线的垂线,垂足分别为点

    ,则,故

    因为,所以

    在直角三角形中,,所以,所以,解得

    设抛物线的准线与x轴交于点,则,所以

    ,解得

    故选:B

    【点睛】思路点睛:求解本题的关键是观察两个三角形间的关系,将三角形的面积间的关系转化为线段长之间的关系,并利用抛物线的定义及平面几何的知识求解.

    12C

    【分析】构造函数,利用导数研究其单调性,从而得到;再直接计算,从而得到,进而得到;由此得解.

    【详解】令

    ,故上单调递减,

    所以,即,即,故

    因为

    所以,故,即,即

    综上:.

    故选:C.

    【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:

    一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;

    二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

    136

    【分析】根据抛物线的方程写出焦点坐标即可.

    【详解】抛物线的焦点为

    焦点在直线

    故答案为:0

    14

    【分析】对进行求导,再将的值代入,即可得答案.

    【详解】因为,所以,所以

    所以质点时的瞬时速度为.

    故答案为:.

    15

    【分析】将已知条件代入直线方程即可求出定点.

    【详解】因为,所以

    整理得

    即直线必过定点

    故答案为:

    16

    【分析】根据曲线的表达式画出半圆图象,再利用直线与曲线的临界位置讨论的取值范围,由于曲线上恰有3个点到直线的距离为1,根据两平行线间的距离公式并结合图象即可确定实数的取值范围.

    【详解】由,得曲线是以为圆心,半径为2的圆的上半部分.

    在曲线中,令,得4,将代入直线

    代入直线

    当直线与曲线相切时,由圆心到直线的距离为2,得

    所以当时,直线与曲线有一个公共点;

    时,直线与曲线有两个公共点.如下图所示:

    记与曲线相切的直线为

    且斜率为1的直线记为.

    当直线距离为1时,即

    ,此时曲线上有2个点到直线距离为1

    当直线距离为1时,即

    ,此时恰有3个点到直线的距离为1.

    .

    故答案为:.

    17(1)

    (2)

     

    【分析】(1)根据椭圆经过的两点可求,即可得椭圆方程;

    2)联立直线和椭圆方程,求出交点坐标即可求面积.

    【详解】(1)因为椭圆经过点,所以

    把点的坐标代入方程,得,解得.

    所以椭圆的方程为.

    2)联立方程组消去,得.

    解得不妨设,则.

    18(1)

    (2)

     

    【分析】(1)利用两点间距离公式求出圆的半径,写出圆的标准方程;

    2)求出圆心到直线的距离,利用垂径定领列出方程,求出.

    【详解】(1)设圆的半径为,则

    故圆的标准方程为:

    2)设圆心到直线的距离为

    由垂径定理得:

    ,解得:.

    19(1)证明见解析

    (2)

     

    【分析】(1)取中点设为,连接,以为原点,轴建立坐标系,设平面的法向量为,平面的法向量为,利用即可证明平面平面

    2)设平面的法向量,平面与平面夹角为,利用求解即可.

    【详解】(1)取中点设为,连接

    因为直三棱柱,所以平面平面

    为正三角形,,平面平面

    所以平面,因为平面,所以两两垂直,

    为原点,轴建立如图所示坐标系,

    则由题意可得

    所以

    设平面的法向量为

    ,取

    设平面的法向量为

    ,取

    因为,所以平面平面.

    2)由(1)得

    设平面的法向量

    ,取

    设平面与平面夹角为

    .

    20(1)

    (2)

     

    【分析】(1)根据导数的几何意义即可;

    2)根据导数和函数单调性之间的联系即可.

    【详解】(1)因为,所以,所以.

    因为,所以

    所以所求切线方程为

    .

    2)因为上单调递减,所以上恒成立.

    因为

    所以,即.

    ,则

    所以上单调递增,在上单调递减,

    所以,故实数a的取值范围是.

    21(1)

    (2)证明见解析,定值为

     

    【分析】(1)利用对称性可以判断经过两点,的纵坐标相同可以判断上,进而求出结果;

    (2)先讨论切线的斜率不存在时,求出,再讨论切线的斜率存在时,利用相切得到,进而联立直线与椭圆可以判断,从而求出结果.

    【详解】(1)由两点关于轴对称,可得经过两点.

    的纵坐标相同,且都位于第一象限,不可能都在上,所以不在.

    所以.

    ,解得

    的方程为.

    2)当切线的斜率不存在时,得.

    时,可得.

    ,则.

    时,同理可证.

    当切线的斜率存在时,设.

    因为与圆相切,

    所以圆心的距离为

    联立.

    ,则.

    .

    ,得,则.

    综上,若圆的切线交于点AB,则

    所以由等面积法可得

    所以为定值,定值为.

    【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.

    (2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.

     

    22(1)

    (2)

     

    【分析】(1)根据椭圆中的关系直接求解;

    2)利用正弦定理角化边,结合双曲线的定义确定的轨迹,根据双曲线中之间的关系求解.

    【详解】(1椭圆的方程为

    椭圆的方程为

    分别为椭圆的左焦点和右焦点,

    线段的长度

    2中根据正弦定理得:(外接圆半径)

    ,

    点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支,且不包含右顶点,

    设该双曲线方程为

    顶点的轨迹方程为

    23(1)<

    (2)在区间的平均变化率小于在的平均变化率

     

    【分析】(1)将自变量代入函数式直接运算再比较大小;(2直接根据平均变化率的定义求解并比较大小即可.

    (1)

    因为,所以,所以<.

    (2)

    在区间的平均变化率为1

    在区间的平均变化率

    所以在区间的平均变化率小于在的平均变化率.

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