2022-2023学年四川省南充市嘉陵第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题含解析

2022—2023学年高二下期第一次月考

文科数学试题

考试范围：考试范围：立体几何、直线与圆、圆锥曲线、导数

考试时间：120分钟；总分：150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 

1．已知，则的值为（    ）

A．             B．–                C．               D．–

2．已知，则曲线在点处的切线方程为（   ）

A．         B．            C．           D．

3．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（    ）

A．       B．         C．       D．

4．已知，是椭圆的两个焦点，P是C上一点（端点除外），则的周长为（    ）

A．14            B．16                C．          D．

5．下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（    ）

A．与                         B．与

C．与                     D．与

6．已知函数的图象如图所示.设函数从－1到1的平均变化率为，从1到2的平均变化率为，则与的大小关系为（    ）

A．          B．            C．           D．不能确定

7．已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数（    ）

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递减

8．圆的圆心、半径是（　　）

A．，4         B．，2           C．，4        D．，2

9．过圆上的动点作圆的两条切线，则连接两切点线段的长为（    ）

A．2             B．1               C．                D．

10．如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（    ）

（参考数据：，，）

A．       B．       C．    D．

11．已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线交于点，，与抛物线C的准线交于点Q，若（O为坐标原点），，则（    ）

A．1             B．2                C．3                   D．4

12．已知，则（    ）

A．         B．          C．               D．

第II卷（非选择题）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知抛物线的焦点在直线上，则______.

14．质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：），则质点M在时的瞬时速度为___________．

15．已知，则直线必过定点_______

16．已知曲线，直线，曲线上恰有3个点到直线的距离为1，则的取值范围是_____________.

三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分.

17．已知椭圆经过点，.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积.

18．圆的圆心为，且过点.

(1)求圆的标准方程；

(2)直线与圆交两点，且，求.

19．如图①，在梯形中，，E为中点，现沿将折起，如图②，其中F，G分别是的中点．

(1)求证：平面；

(2)若，求点B到平面的距离．

20．已知函数.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在上单调递减，求实数的取值范围.

21．已知椭圆的离心率为，且过点，．

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式.

(1)求线段的长度；

(2)求顶点的轨迹方程.

23．已知二次函数.

(1)判断与的大小；

(2)判断在区间与的平均变化率的大小.

高二下期文科第一次月考参考答案：

1．C

【分析】求导，再令即可得解.

【详解】，

所以.

故选：C.

2．D

【分析】求出在点处的导数即为切线的斜率，直接写出切线方程即可.

【详解】因为，所以，，

所以切线的斜率，

所以曲线在点处的切线方程为，

故选：D.

3．B

【分析】根据已知条件求得双曲线的实半轴、虚半轴，从而求得双曲线方程.

【详解】椭圆的焦点为．

因为所求双曲线的离心率，

所以其实半轴长为2，虚半轴长为，

故所求双曲线的方程为．

故选：B

4．C

【分析】根据椭圆的定义和标准方程求得正确答案.

【详解】由题可知，，的周长为．

故选：C

5．C

【分析】根据的范围以及曲线方程确定正确答案.

【详解】A选项，中，中，所以不是相同曲线.

B选项，中，中，所以不是相同曲线.

C选项，，是相同曲线，C选项正确.

D选项，中，中，，所以不是相同曲线.

故选：C

6．C

【分析】根据平均变化率的计算公式即可得出结果．

【详解】记，，

由图易知，所以．

故选：C．

7．D

【分析】根据导函数图象判断出原函数的单调性.

【详解】根据导函数的图象可知，在区间上递减，

在区间上，递增，

所以D选项正确，ABC选项错误.

故选：D

8．D

【分析】利用圆的标准方程的性质求解．

【详解】圆的圆心为半径

故选：D

9．D

【分析】根据给定条件，确定动点和两个切点为顶点的三角形形状，求出切线长即可作答.

【详解】令点P是圆上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，

则，而，于是，又，

因此为正三角形，，

所以连接两切点线段的长为.

故选：D

10．A

【分析】根据题意，设双曲线的标准方程为，进而结合题意得，设，则，再待定系数，结合已知数据计算即可.

【详解】解：根据题意，设双曲线的标准方程为，

因为，，，，

所以，设，

则点在双曲线上，

所以，，

因为，，

所以，，

所以，解得，

所以.

故双曲线的方程近似为.

故选：A

11．B

【分析】将三角形面积间的数量关系转化为线段长之间的数量关系，求得有关线段的数量关系，并根据三角形相似建立方程，解方程得到结果.

【详解】对于△OQN和△OFN，底边QN和FN上的高均为点O到直线l的距离，故由可得，

如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点，，

设，则，，故．

因为，所以．

在直角三角形中，，，，所以，所以，解得．

设抛物线的准线与x轴交于点，则，所以，

即，解得，

故选：B．

【点睛】思路点睛：求解本题的关键是观察两个三角形间的关系，将三角形的面积间的关系转化为线段长之间的关系，并利用抛物线的定义及平面几何的知识求解．

12．B

【分析】易得，构造函数，利用导数可求得单调性，从而可比较，即可得出答案.

【详解】令，则，

在上单调递增，

，即，，即，

又，∴，

所以.

故选：B.

13．6

【分析】根据抛物线的方程写出焦点坐标即可.

【详解】抛物线的焦点为；

焦点在直线上

故答案为：0

14．

【分析】对进行求导，再将的值代入，即可得答案.

【详解】因为，所以，所以，

所以质点在时的瞬时速度为.

故答案为：.

15．

【分析】将已知条件代入直线方程即可求出定点.

【详解】因为，所以，

整理得，

即直线必过定点．

故答案为：．

16．

【分析】根据曲线的表达式画出半圆图象，再利用直线与曲线的临界位置讨论的取值范围，由于曲线上恰有3个点到直线的距离为1，根据两平行线间的距离公式并结合图象即可确定实数的取值范围.

【详解】由，得曲线是以为圆心，半径为2的圆的上半部分.

在曲线中，令，得或4，将代入直线得，

将代入直线得，

当直线与曲线相切时，由圆心到直线的距离为2，得，

所以当或时，直线与曲线有一个公共点；

当时，直线与曲线有两个公共点.如下图所示：

记与曲线相切的直线为，

过且斜率为1的直线记为.

当直线与距离为1时，即，∴或，

取，此时曲线上有2个点到直线距离为1；

当直线与距离为1时，即，∴或，

取，此时恰有3个点到直线的距离为1.

∴.

故答案为：.

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆经过的两点可求，即可得椭圆方程；

（2）联立直线和椭圆方程，求出交点坐标即可求面积.

【详解】（1）因为椭圆经过点，所以，

把点的坐标代入方程，得，解得.

所以椭圆的方程为.

（2）联立方程组消去，得.

解得或不妨设，，则.

18．(1)

(2)或

【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程；

（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定领列出方程，求出.

【详解】（1）设圆的半径为，则，

故圆的标准方程为：；

（2）设圆心到直线的距离为，

则，

由垂径定理得：，

即，解得：或.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，证明，可得平面，再根据线面垂直的性质可得，在证明，再根据线面垂直的判定定理即可得证；

（2）先利用勾股定理可得，从而可得面，再根据线面垂直的性质可得，设H是中点，连接，证明，再在三棱锥中，利用等体积法即可得解.

【详解】（1）连接，

在图①中，因为，E为中点，

所以且，

所以四边形为正方形，

则和都是等腰直角三角形，

在图②中，由且F是的中点，

则，

又平面，

所以平面，

又平面，所以，

又因为，所以，

因为，且G是的中点，所以，

又因为平面，

所以平面；

（2）在图②中，因为，所以，

又因为，

所以，所以，

又由（1）知面，

所以面，

又面，所以，

设H是中点，连接，

因为，

所以，又平面，

所以平面，

又平面，所以，

由题易得，

，

所以的面积为，

的面积为，

设点B到平面的距离为d，

由有，

即，所以，

所以点B到平面的距离为.

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义即可;

（2）根据导数和函数单调性之间的联系即可.

【详解】（1）因为，所以，所以.

因为，所以，

所以所求切线方程为，

即.

（2）因为在上单调递减，所以在上恒成立.

因为，

所以，即.

令，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，故实数a的取值范围是.

21．(1)

(2)存在，或．

【分析】（1）由离心率的值，可得，的关系，设椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆的方程，可得的值，进而求出椭圆的方程；

（2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由四边形为平行四边形可得的坐标，将的坐标代入椭圆的方程，可得参数的关系，求出直线，的斜率之积，由直线，，的斜率依次成等比数列可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出直线的方程．

【详解】（1）由离心率，可得，所以椭圆的方程为：，

将点，代入椭圆的方程可得：，

解得，

所以椭圆的方程为；

（2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设，，，，

联立，整理可得：，

，即，

且，，，

因为四边形为平行四边，与互相平分，所以，

因为在椭圆上，则，

整理可得：，①

又因为直线，，的斜率依次成等比数列，即，

即，

而，

可得，②

由①②可得：，，符合△，

可得，，

所以直线的方程为：或．

【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，等比数列的性质的应用，属于中档题,本题的关键是韦达定理求得根与系数的关系，求得点的坐标，以及表示写了的关系.

22．(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆中的关系直接求解；

（2）利用正弦定理角化边，结合双曲线的定义确定的轨迹，根据双曲线中之间的关系求解.

【详解】（1）椭圆的方程为，

椭圆的方程为，

分别为椭圆的左焦点和右焦点，

，

，线段的长度；

（2）中根据正弦定理得：(为外接圆半径)，

，

，

,

．

点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，

设该双曲线方程为

且，

顶点的轨迹方程为

23．(1)<

(2)在区间的平均变化率小于在的平均变化率

【分析】（1）将自变量代入函数式直接运算再比较大小；（2）直接根据平均变化率的定义求解并比较大小即可.

(1)

因为，所以，，所以<.

(2)

在区间的平均变化率为（1），

在区间的平均变化率，

所以在区间的平均变化率小于在的平均变化率.