2023届高三2月大联考（全国乙卷）理数试卷【含答案】

这是一份2023届高三2月大联考（全国乙卷）理数试卷【含答案】，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 理数试卷一、单选题1．若复数z满足（其中是虚数单位），则z的共轭复数（　　）A． B． C． D．2．若集合，，则（　　）A． B． C． D．3．已知命题p：，，则为（　　）A．， B．，C．， D．，4．已知空间四条直线a，b，m，n和两个平面，满足，，，，则下列结论正确的是（　　）A．若，则 B．若且，则C．若且，则 D．若且，则5．已知角，且，则（　　）A． B． C． D．6．若函数的部分图象如图，则的解析式可能是（　　）A． B．C． D．7．2022年4月，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准（2022版）》，将劳动教育作为义务教育阶段一门独立的课程.劳动教育将成为学生成长成才的必修课与基础课.某学校准备开设4项劳动课程：“蔬菜种植”“绿植修剪”“糕点制作”“自行车修理”.开课之前，要安排4男2女共6名教师参加这4项劳动课程的技术培训，要求：每一项培训都要有教师参加，每位教师只能参加其中一项培训，其中“蔬菜种植”必须安排2位教师，“自行车修理”不安排女教师，“糕点制作”不安排男教师，则不同的安排方法有（　　）A．132种 B．112种 C．96种 D．84种8．对于函数，下列结论中正确的是（　　）A．的最大值为B．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到C．在上单调递减D．的图象关于点中心对称9．若非负数x，y满足，则事件“”发生的概率为（　　）A． B． C． D．10．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（　　）A． B． C． D．11．已知椭圆C：的左､右焦点分别为，.若椭圆C上存在一点M，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）A． B． C． D．12．若，，，则a，b，c的大小关系为（　　）A． B． C． D．二、填空题13．已知平面向量，，则与的夹角为　     　.14．已知双曲线M：的左､右焦点分别为，，点P为双曲线M右支上一点，且满足，则双曲线M的渐近线方程为　        　.15．已知定义在上的函数满足，且的图象关于直线对称.若时，，则　     　.16．如图是水平放置的三棱锥的三视图，其中正视图为正三角形.记经过棱PA的平面截三棱锥的外接球所得圆面的面积为S.若S的最大值为，则三棱锥的体积的最大值为　     　.三、解答题17．某种植大户购买了一种新品种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm）序号（i）12345678910长度（）11.613.012.811.812.012.811.512.713.412.4序号（i）11121314151617181920长度（）12.912.813.213.511.212.611.812.813.212.0参考数据：.（1）估计该种植大户收获的果实长度的平均数和方差；（2）若这种蔬菜果实的长度不小于12cm，就可以标为“AAA”级.该种植大户随机从收获的果实中选取4个，其中可以标为“AAA”级的果实数记为X.若收获的果实数量巨大，并以样本的频率估计总体的概率，估计X的数学期望与方差.18．已知数列满足对任意m，都有，数列是等比数列，且，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.19．如图，已知四棱锥的底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，，E为CD的中点.（1）求证：；（2）若，，求平面PBC与平面PAE所成锐二面角的余弦值.20．已知抛物线，圆与抛物线有且只有两个公共点.（1）求抛物线的方程；（2）设为坐标原点，过圆心的直线与圆交于点，直线分别交抛物线于点（点不与点重合）.记的面积为，的面积为，求的最大值.21．已知函数，是的导函数.（1）若，求证：当时，恒成立；（2）若存在极小值，求的取值范围.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）写出直线l的直角坐标方程；（2）设曲线C与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），若直线l上存在点M，满足，求实数m的取值范围.23．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得，求a的取值范围.
 1．B2．A3．B4．C5．D6．B7．C8．C9．A10．D11．A12．B13．14．15．-116．17．（1）解：由题意知，，所以，.所以估计该种植大户收获的果实长度的平均数和方差分别为12.5，0.43.（2）解：由表中数据得，样本中果实长度不小于12cm的频率为.由于收获的果实数量巨大，所以X近似服从二项分布，即，所以，.所以据此可以估计，X的数学期望与方差分别为3，.18．（1）解：因为对任意m，，，所以，所以数列是公差的等差数列，.设等比数列的公比为q，因为，，，所以.又因为，解得，，所以，.（2）解：因为，所以，，两式相减，得，所以.19．（1）解：如图，取AD的中点F，连接PF，EF.∵，∴.∵平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，∴平面ABCD.又平面ABCD，∴.∵四边形ABCD为菱形，∴.∵点E，F分别为CD，AD的中点，∴，∴.∵，，，PF，平面PEF，∴平面PEF.又平面PEF，∴.（2）解：记，则.由（1）知，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，则，.过点O作，则OA，OB，OQ两两垂直.如图，以OA，OB，OQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，因为，，所以，所以，，所以，∴，，，.设平面PAE的法向量为，由，令，则，，所以.设平面PBC的法向量为，由， 令，则，，所以.设平面PBC与平面PAE所成锐二面角为，则，所以平面PBC与平面PAE所成锐二面角的余弦值为.20．（1）解：由，得，即.由对称性可得关于的方程有两个相等的正的实数根，所以，且，解得，所以抛物线C的方程为.（2）解：由题意，知直线的斜率不为，故设直线的方程为，如图，设，，，.将直线的方程代入圆的方程中，消去，得，所以，所以，且.直线的方程为，代入抛物线方程，消去，得，解得或，所以.同理，得，所以，所以当时，取得最大值，为.21．（1）解：∵的定义域为，，∴，.令，则.令，则.由，得，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴当时，，即当时，，∴在上单调递增.∵，∴，∴当时，恒成立.（2）解：由（1）知，.设，则.①当时，恒成立，∴在上单调递增.∵，∴当时，，从而；当时，，从而.又∵，∴，都有，所以在上单调递增，此时无极值；②当时，由，得，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴当时，取得最小值，且最小值为.令，，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减.∵，∴当时，，即当时，（当且仅当时等号成立）.（i）当时，，且当时，都有，∴，且当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在处取得极小值，符合题意.（ii）当时，，且.∵，∴，∴的图象大致如图（1）.图（1）由函数的单调性及零点存在定理，得在内存在唯一的实数，使得，∴当时，，从而；当时，，从而；当时，，从而，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在处取得极小值，符合题意.（iii）当时，，且.∵，由（1）知，，∴的图象大致如图（2）.图（2）由函数的单调性及零点存在定理，得在内存在唯一的实数，使，∴当时，，从而；当时，，从而；当时，，从而，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在处取得极小值，符合题意.综上，当存在极小值时，的取值范围为.22．（1）解：∵，∴，即.又∵，，∴，即直线l的直角坐标方程为；（2）解：由，且，则曲线C的普通方程为，其与x轴的交点分别为，.设点，由，得，即，∴，它表示圆心为，半径为的圆.∵点既在直线l上，又在圆E上，∴，即，∴，即实数m的取值范围为.23．（1）解：当时，原不等式可化为.当时，原不等式可化为，整理得，所以.当时，原不等式可化为，整理得，所以此时不等式的解集是空集.当时，原不等式可化为，整理得，所以.综上，当时，不等式的解集为.（2）解：若存在，使得，即存在，使得①.①式可转化为，即②.因为，所以②式可化为③，若存在使得③式成立，则，即，所以，即a的取值范围为.