2023年高三2月大联考（全国乙卷）文数试卷【含答案】

 文数试卷

一、单选题

1．已知复数，则（　　）

A． B． C． D．

2．若集合，，则（　　）

A． B．

C． D．

3．已知命题p：，，则为（　　）

A．， B．，

C．， D．，

4．下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的为（　　）

A． B．

C． D．

5．如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．

6．已知数列的前项和为，且，则的值为（　　）

A． B． C． D．

7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若是函数的一个极值点，则的值为（　　）

A． B． C． D．

8．已知函数是偶函数，当时，．若曲线在点处的切线方程为，则实数a的值为（　　）

A．4 B．2 C．1 D．

9．克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（　　）

A． B． C． D．

10．如图，已知线段AD的长为3，B，C是线段AD上的两点，则线段AB，BC，CD能构成三角形的概率为（　　）

A． B． C． D．

11．已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

12．已知，，，则下列判断正确的是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知双曲线上一点到两个焦点的距离之差为，且双曲线E的离心率为2，则双曲线E的方程为　         　．

14．已知，平面向量，．若，则实数的取值范围是　          　．

15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积等于　     　．

16．在四面体ABCD中，，，．若四面体ABCD的体积为，则四面体ABCD外接球的表面积的最小值为　     　．

三、解答题

17．希望种子公司销售一种新品种蔬菜种子，其说明书标明：此品种蔬菜果实的平均长度为11.5cm．某种植大户购买了这种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm）

参考数据：，，，．

（1）估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差；

（2）判断说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法是否成立．

（记，其中为蔬菜果实长度的平均数，s为蔬菜果实长度的标准差，n是选取蔬菜果实的个数．当时，．若，则说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立）

18．已知数列满足对任意m，都有，数列是等比数列，且，，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

19．如图，多面体ABCDEF的面ABCD是正方形，其中心为M．平面平面ABCD，，，．

（1）求证：平面AEFB；

（2）在内（包括边界）是否存在一点N，使得平面CEF？若存在，求点N的轨迹，并求其长度；若不存在，请说明理由．

20．已知抛物线，圆与抛物线有且只有两个公共点.

（1）求抛物线的方程；

（2）设为坐标原点，过圆心的直线与圆交于点，直线分别交抛物线于点（点不与点重合）.记的面积为，的面积为，求的最大值.

21．已知函数，是的导函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，若函数在上存在小于1的极小值，求实数a的取值范围．

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

（1）写出直线l的直角坐标方程；

（2）设曲线C与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），若直线l上存在点M，满足，求实数m的取值范围.

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若存在，使得，求a的取值范围.

1．D

2．C

3．B

4．D

5．B

6．A

7．A

8．C

9．A

10．B

11．C

12．D

13．

14．

15．

16．

17．（1）解：由题意知，

，

所以，

．

所以估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差分别为12.5，0.43．

（2）解：结合已知，由（1）得，，

所以说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立．

18．（1）解：因为对任意m，，，所以，

所以数列是公差的等差数列，.

设等比数列的公比为q，因为，，，

所以.

又因为，解得，，

所以，.

（2）解：因为，

所以，

，

两式相减，得

，

所以.

19．（1）解：如图，取AE的中点G，连接GF，DG，

因为，，所以，，

所以四边形ABFG是平行四边形，所以，，

又因为，，所以，，

所以四边形CDGF是平行四边形，所以，

因为，平面平面ABCD，平面ABCD，平面平面，

所以平面ADE，

又平面ADE，所以，

因为，G为AE的中点，所以，

又AE，平面AEFB，且，所以平面AEFB，

所以平面AEFB；

（2）解：如图，连接BD，BG，

由（1）知，，，所以，，

所以四边形BGEF是平行四边形，所以，

因为平面CEF，平面CEF，

所以平面CEF，

又由（1）知，，平面，平面CEF，

所以平面CEF，

因为DG，平面，且，

所以平面平面CEF，

设点N为线段DG上任意一点，则平面BDG，平面CEF，

所以点N的轨迹为线段DG，长度为．

20．（1）解：由，

得，即.

由对称性可得关于的方程有两个相等的正的实数根，

所以，且，

解得，

所以抛物线C的方程为.

（2）解：由题意，知直线的斜率不为，故设直线的方程为，

如图，设，，，.

将直线的方程代入圆的方程中，消去，得，

所以，所以，且.

直线的方程为，代入抛物线方程，

消去，得，解得或，所以.

同理，得，

所以

，

所以当时，取得最大值，为.

21．（1）解：由题意，知的定义域为，．

令，则，

∴，且当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，，从而，，

∴在上单调递增．

（2）解：由题意，得，，．

①当时，，．

由（1）知，，且当时，；当时，，

∴仅在处取得极小值，且极小值为，不符合题意．

②当时，令，则．

（i）若，即，则，，所以恒成立，此时无极值，不符合题意．

（ii）若，即，则图象的对称轴为，所以在上单调递增．

∵，，由函数单调性和零点存在性定理得，在上存在唯一的实数，使得，从而，

且当时，，从而；当时，，从而．

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴仅在处取得极小值，极小值为．

∵在上单调递减，且，∴，符合题意．

综上，实数a的取值范围为．

22．（1）解：∵，∴，

即.又∵，，

∴，即直线l的直角坐标方程为；

（2）解：由，且，则曲线C的普通方程为，

其与x轴的交点分别为，.

设点，由，得，

即，

∴，它表示圆心为，半径为的圆.

∵点既在直线l上，又在圆E上，∴，即，

∴，

即实数m的取值范围为.

23．（1）解：当时，原不等式可化为.

当时，原不等式可化为，整理得，所以.

当时，原不等式可化为，整理得，所以此时不等式的解集是空集.

当时，原不等式可化为，整理得，所以.

综上，当时，不等式的解集为.

（2）解：若存在，使得，即存在，使得①.

①式可转化为，即②.

因为，所以②式可化为③，

若存在使得③式成立，则，即，

所以，即a的取值范围为.