内蒙古2023届高三理数仿真模拟试卷【含答案】

 高三理数仿真模拟试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B． C． D．

2．若复数满足，则（　　）

A． B． C．5 D．17

3．在中，内角所对应的边分别是，若，，，则（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知直线被圆截得的线段长为，则（　　）

A．2 B．4 C． D．5

5．已知函数的图象关于直线对称，则的最小值是（　　）

A． B． C． D．

6．在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线BE与DF所成角的余弦值是（　　）

A． B． C． D．

7．某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，8.7，9.3，x，y.已知这5名参赛选手的得分的平均数为9，方差为0.1，则（　　）

A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8

8．设函数的导函数为，若在其定义域内存在，使得，则称为“有源”函数.已知是“有源”函数，则a的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

9．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（　　）

A． B． C． D．

10．如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种颜色可供选择，则恰用4种颜色的概率是（　　）

A． B． C． D．

11．已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，且直线分别与抛物线交于和，则的最小值是（　　）

A．64 B．72 C．144 D．128

12．设函数的定义域为，且满足，，当时，，则（　　）

A．是周期为的函数

B．

C．的值域是

D．方程在区间内恰有个实数解

二、填空题

13．已知向量，，若，则　     　．

14．已知是第二象限角，且，则　     　．

15．设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别是，若双曲线的离心率为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则　     　．

16．在棱长为3的正方体中，点P在平面上运动，则的最小值为　     　.

三、解答题

17．设数列的前n项和为，且，.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

18．某企业为鼓励员工多参加体育锻炼，举办了一场羽毛球比赛，经过初赛，该企业的A，B，C三个部门分别有3，4，4人进入决赛.决赛分两轮，第一轮为循环赛，前3名进入第二轮，第二轮为淘汰赛，进入决赛第二轮的选手通过抽签确定先进行比赛的两位选手，第三人轮空，先进行比赛的获胜者和第三人再打一场，此时的获胜者赢得比赛.假设进入决赛的选手水平相当（即每局比赛每人获胜的概率都是）.

（1）求进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率；

（2）记进入决赛第二轮的选手中来自B部门的人数为X，求X的数学期望.

19．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值．

20．已知椭圆C：的离心率是，点在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，在y轴上是否存在点P（点不与原点重合），使得直线PA，PB与x轴交点的横坐标之积的绝对值为定值？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由.

21．已知函数．

（1）求在上的极值；

（2）若，求的最小值．

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是.

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值.

23．已知函数.

（1）求的最小值；

（2）若，不等式恒成立，求a的取值范围.

1．A

2．C

3．D

4．B

5．A

6．A

7．D

8．A

9．D

10．C

11．B

12．D

13．

14．

15．

16．

17．（1）解：因为，

所以，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以，则，

当时，，

两式相减得，即，

所以数列为常数列，且，

所以；

（2）解：由（1）得，

所以，

所以.

18．（1）解：设进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门为事件，

则.

故进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率为.

（2）解：X的可能取值为，

，

，

，

，

则X的分布列为：

所以.

19．（1）证明：连接，

，，，又，，

为棱中点，，又，，平面，

平面，又平面，；

在直角梯形中，取中点，连接，

，，又，，，

四边形为正方形，，，

，又，，，

，平面，平面，

平面，；

，，，，

又，平面，平面.

（2）解：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，则，，，，，

，，，；

，，；

设平面的法向量为，

则，令，解得：，，

；

轴平面，平面的一个法向量，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则

当时，，，

即平面与平面所成的锐二面角余弦值的最大值为.

20．（1）解：由题意可得，解得，

所以椭圆C的标准方程为；

（2）解：假设存在，

设，则，

联立，消得，

则，即，

，

则直线的方程为，

令，则，

直线的方程为，

令，则，

则

，

则要使直线PA，PB与x轴交点的横坐标之积的绝对值为定值，

则，解得，

所以存在，且.

21．（1）解：，令，得，

在为负，单调递减，

在为正，单调递增，

故为极小值，无极大值.

（2）解：由题知 ，令，

令，则 ，

设 则 ，

，为正，在单调递增，

，为负，在单调递减，

故为极大值，

若，即，此时，则在单调递减，

又，所以时，在单调递增，

时，，在单调递减，

故为极大值，所以，则当时，符合条件；

，即 此时，

存在，在上；，则在单调递增，

又，则在区间上

所以在区间上，单调递减，则，不满足条件.

综上所述的最小值为.

22．（1）解：，得，

根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l的直角坐标方程为：.

（2）解：由（1）可知点过直线l，故直线l的参数方程可写为（t为参数），

代入曲线C的普通方程得，

由韦达定理可知：，，

所以.

23．（1）解：当时，

当时，

当时，

综上，由此可知

（2）解：由（1）可知

解得，当时，欲使不等式恒成立，则，解得