四川省凉山州2023届高三下学期理数二诊试卷【含答案】

 高三下学期理数二模试卷

一、单选题

1．已知复数，则z的虚部是（　　）

A． B． C． D．

2．集合，，则（　　）

A． B．

C． D．

3．已知满足约束条件，则目标函数的最小值是（　　）

A．1 B．2 C．11 D．无最小值

4．表示生物体内碳14的初始质量，经过t年后碳14剩余质量（，h为碳14半衰期）．现测得一古墓内某生物体内碳14含量为，据此推算该生物是距今约多少年前的生物（参考数据）．正确选项是（　　）

A． B． C． D．

5．执行如图所示程序框图，则输出的S的值是（　　）

A． B． C． D．

6．小明买了4个大小相同颜色不同的冰墩墩（北京冬奥会吉祥物）随机放入3个不同袋子中，则每个袋子至少放入一个冰墩墩的概率是（　　）

A． B． C． D．

7．已知是定义域为的偶函数且，则函数零点个数是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

8．已知抛物线的焦点为F，点，点P为该抛物线上一动点，则周长的最小值是（　　）

A． B．3

C． D．

9．在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题，命题为等腰三角形．则p是q的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．如图，在直角梯形中，，D为边中点，将沿边折到．连接得到四棱锥，记二面角的平面角为，下列说法中错误的是（　　）

A．若，则四棱锥外接球表面积

B．无论为何值，在线段上都存在唯一一点H使得

C．无论为何值，平面平面

D．若，则异面直线所成角的余弦值为

11．已知，则a，b，c大小关系是（　　）

A． B． C． D．

12．如图所示，正方体棱长为2，点P为正方形内（不含边界）一动点，角平分线交于点Q，点P在运动过程中始终满足．

①直线与点P的轨迹无公共点；②存在点P使得；③三棱锥体积最大值为；④点P运动轨迹长为．

上述说法中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

13．已知的展开式中二项式系数和为32，则项系数是　     　．

14．若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率是　     　．

15．已知正实数，称为的算术平均数，为的几何平均数，为的希罗平均数．为的边上异于的动点，点满足且，则正数的希罗平均数的最大值是　     　．

16．已知函数，则下列说法中正确的是　     　．

①一条对称轴为；

②将图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到的新函数为奇函数；

③若，则；

④若函数在区间上恰有2个极大值点，则实数的取值范围是．

三、解答题

17．已知对于任意函数在点处切线斜率为，正项等比数列的公比，且，又与的等比中项为2．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

18．如图，在直三棱柱中，点E，F分别是，中点，平面平面．

（1）证明：；

（2）若，平面平面，且，求直线l与平面所成角的余弦值．

19．2022年12月6日全国各地放开对新冠疫情的管控，在强大的祖国庇护下平稳抗疫三年的中国人民迎来了与新冠变异毒株奥密克戎的首次正面交锋．某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源．从全市中小学生中随机抽取了100名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格：

其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者．

（1）统计学中常用表示在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取名学生，记事件：该名学生为有症状感染者，事件：该名学生为重症感染者，求似然比的值；

（2）若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数近似的服从正态分布，且．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为，求的分布列及数学期望．

20．已知椭圆左右焦点分别为，上顶点为C，，过点作的垂线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）已知点为椭圆E上一动点，过点P作E的切线其斜率记为k，当直线斜率存在时分别记为，探索是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21．已知函数．

（1）为函数的导函数，对任意的恒成立，求实数a的取值范围；

（2）若函数有两个不同的极值点，证明：．

22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设点，直线l与曲线C交于点A，B．求证：．

23．已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）函数最小值为，求的最小值．

1．C

2．B

3．A

4．C

5．B

6．D

7．A

8．C

9．D

10．B

11．D

12．C

13．10

14．2

15．3

16．①③

17．（1）解：由题意，

∴；

由题可得，

所以或（舍）

所以，；

（2）解：由题可知，

所以，

，

所以，

，即.

18．（1）证明：取中点G，连接，，

∵E，G分别是，中点，∴且，

又∵且，∴且，

∴四边形为平行四边形，∴，

又平面，平面，∴EF∥平面，

∵平面，平面平面，∴．

（2）解：由三棱柱为直棱柱，∴平面，∴，，

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，∴，

故以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

设，则，，，，

所以，，

又，则，解得，

所以，，则，，

设平面法向量为，

所以，即，取，得，

由（1）知直线，则l方向向量为，

设直线l与平面所成角为，

则，则，

所以直线l与平面所成角的余弦值为．

19．（1）解：由题意得：，，，，，

，，

.

（2）解：，，则，

可能的取值为，

；；；；

的分布列为：

数学期望.

20．（1）解：∵，∴为正三角形，∴为的中垂线

∴，∴与周长相等，

由椭圆的定义知，即

∴，∴E标准方程为；

（2）解：设切线方程为，由题意知，

，

由①，

过点得代入①得②，

又点在椭圆上，∴代入②，

得，将代入，

得，再将代入，

整理得，

由，得．

∴．

21．（1）解：依题意得对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

所以，

又，当且仅当时取“=”，所以．

（2）解：由（1）知当时单调递减，无极值点，不满足条件．

当时，令，

得，则，所以其两根为，

由韦达定理得，

又∵，∴，满足条件，

令，则，

∴，∴，

要证只需证，

即证，即证，即，

令，即证，

令，，

则，

所以在单增，，

故结论得证．

22．（1）解：将直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程为．∵

∴直线l的极坐标方程为

∴由曲线C的极坐标方程

化为直角坐标方程为.

（2）证明：将代入得

设点A、B对应的参数为，则

∵

∴.

∴.

23．（1）解：时，，

当时，，

当时，，

，

由图可知：当时，或，

所以的解集为；

（2）解：由图可知，∴，

由柯西不等式得

，

∴，当且仅当时取等号，

∴的最小值为12.