2023年山东省济南市历城区三校中考数学第二次联考试卷(含解析)
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一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 实数的绝对值是( )
A. B. C. D.
2. 两个完全相同的长方体,按如图方式摆放,其主视图为( )
A.
B.
C.
D.
3. 据旅游研究院最新数据显示,今年中秋节国庆节假期,全国实现旅游收入元,将旅游收入元用科学记数法表示为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
4. 如图,直线,点在直线上,且,,那么的度数是( )
A.
B.
C.
D.
5. 下列运算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
7. 化简的结果为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数的图象如图所示,则函数的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图,等腰中,,,点是底边的中点,以、为圆心,大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点、,若直线上有一个动点,则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
10. 定义:在平面直角坐标系中,若点满足横、纵坐标都为整数,则把点叫做“整点”如:、都是“整点”抛物线与轴交于点,两点,若该抛物线在、之间的部分与线段所围的区域包括边界恰有个整点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)
11. 分解因式:______.
12. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动,并随机停留在某块地砖上,每块地砖的大小、质地完全相同,那么该小球停留在黑色区域的概率是______.
13. 若的值在两个整数与之间,则______.
14. 如图,在正六边形内,以为边作正五边形,则的度数为:______.
15. 已知是方程的一个根,则方程的另一个根为______.
16. 如图,在中,,点在边上.将沿直线翻折,点落在点处,连接,交于点若,,则的值为______.
三、解答题(本大题共10小题,共80.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. 本小题分
计算:.
18. 本小题分
求不等式组的正整数解.
19. 本小题分
如图,菱形中,点,分别在边,上,,求证:.
20. 本小题分
某市为了调查居民的用电情况.有关部门对某小区的户居民的七月用电量进行了调查,数据如下:单位:度
,,,,,,,,,
,,,,,,,,,
整理数据按如下分段整理样本数据并补至表格:表
用水量 | ||||
人数 |
分析数据,补全下列表格中的统计量:表
平均数 | 中位数 | 众数 |
得出结论:
表中的______,______,______,______.
若用表中的数据制作一个扇形统计图,则所表示的扇形圆心角的度数为______度.
如果该小区有住户户,请根据样本估计用水量在的居民户数?
21. 本小题分
如图,已知是的直径,点在的延长线上,切于点,过点作,垂足为,交的延长线于点.
求证:;
连接,如果,,求的长.
22. 本小题分
年月日,举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕.本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮.图、图分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图,已知运动员的小腿与斜坡垂直,大腿与斜坡平行,为头部,假设,,三点共线且头部到斜坡的距离为,上身与大腿夹角,膝盖与滑雪板后端的距离长为,.
求此滑雪运动员的小腿的长度;
求此运动员的身高.参考数据:,,
23. 本小题分
为落实“数字中国”的建设工作,市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造,现安排两个安装公司共同完成,已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的倍,乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天.
求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室?
已知甲公司安装费每天元,乙公司安装费每天元,现需安装教室间,若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过元,则最多安排甲公司工作多少天?
24. 本小题分
如图,矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上,点在反比例函数的第一象限内的图象上,,,动点在轴的上方,且满足.
若点在这个反比例函数的图象上,求点的坐标;
连接、,求的最小值;
若点是平面内一点,使得以、、、为顶点的四边形是菱形,则请你直接写出满足条件的所有点的坐标.
25. 本小题分
【问题发现】
如图所示,和均为正三角形,、、三点共线猜想线段、之间的数量关系为 ; ;
【类比探究】
如图所示,和均为等腰直角三角形,,,,、、三点共线,线段、交于点此时,线段、之间的数量关系是什么?请写出证明过程并求出的度数;
【拓展延伸】
如图所示,在中,,,,为的中位线,将绕点顺时针方向旋转,当所在直线经过点时,请直接写出的长.
26. 本小题分
已知,抛物线经过、、三点,点是抛物线上一点.
求抛物线的解析式;
当点位于第四象限时,连接,,,若,求直线的解析式;
如图,当点位于第二象限时,过点作直线,分别交轴于,两点,请问的值是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了实数的性质,正确掌握相关定义是解题关键.
直接利用实数的性质得出答案.
【解答】
解:实数的绝对值是:.
故选:.
2.【答案】
【解析】解:,根据所学知识可得:其主视图是,
故选:.
根据主视图的定义即可得到结果.
此题考查了三视图主视图、正确记忆三视图的概念是解题关键.
3.【答案】
【解析】解:,
故选:.
科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数.确定的值时,要看把原数变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于或等于时,是正整数;当原数的绝对值小于时,是负整数.
此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数,表示时关键要正确确定的值以及的值.
4.【答案】
【解析】解:
,
,
,
,
.
故选:.
由垂线的性质和平角的定义求出的度数,再由平行线的性质即可得出的度数.
本题考查了平行线的性质、垂线的性质;熟练掌握平行线的性质,求出的度数是解决问题的关键.
5.【答案】
【解析】解:、,原计算正确,故此选项不符合题意;
B、,原计算错误,故此选项不符合题意;
C、,原计算错误,故此选项不符合题意;
D、,原计算错误,故此选项不符合题意.
故选:.
根据合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法的运算法则、完全平方公式分别进行计算,即可得出答案.
本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式,熟练掌握运算法则和公式是解题的关键.
6.【答案】
【解析】解:、不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项不符合题意;
B、不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项不符合题意;
C、既是中心对称图形又是轴对称图形,故本选项符合题意;
D、不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项不符合题意.
故选:.
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转度后两部分重合.
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分式的加减,能正确根据分式的加减法则进行计算是解此题的关键.根据同分母的分式相加减法则进行计算即可.
【解答】
解:
,
故选:.
8.【答案】
【解析】解:函数的图象经过第一、三、四象限,
,,
,
函数的图象经过第一、二、三象限.
故选:.
根据一次函数与系数的关系,由函数的图象位置可得,,然后根据系数的正负判断函数的图象位置.
本题考查了一次函数与系数的关系:由于与轴交于,当时,在轴的正半轴上,直线与轴交于正半轴;当时,在轴的负半轴,直线与轴交于负半轴.
,的图象在一、二、三象限;
,的图象经过一、三、四象限;
,的图象经过一、二、四象限;
,的图象经过二、三、四象限.
9.【答案】
【解析】解:连接、,如图,
由作法得垂直平分,
,
,
当且仅当、、共线时取等号,
的最小值为,
,点为的中点,
,
在中,,,
,
的最小值为.
故选:.
连接、,如图,利用基本作图可判断垂直平分,根据线段垂直平分线的性质得到,由于当且仅当、、共线时取等号,所以的最小值为,接着利用等腰三角形的性质得到,然后利用勾股定理计算出即可.
本题考查了作图基本作图:熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质和最短路径问题.
10.【答案】
【解析】解:抛物线化为顶点式为,故函数的对称轴:,和两点关于对称,根据题意,抛物线在、之间的部分与线段所围的区域包括边界恰有个整点,这些整点是,,,,,
如图所示:
当时,
当时,
即:,
解得
故选:.
画出图象,找到该抛物线在、之间的部分与线段所围的区域包括边界恰有个整点的边界,利用与交点位置可得的取值范围.
本题考查抛物线与轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识,利用函数图象确定与轴交点位置是本题的关键.
11.【答案】
【解析】解:原式.
故答案为:.
找到公因式,提取公因式即可.
本题考查了整式的因式分解,掌握提公因式法是解决本题的关键.
12.【答案】
【解析】解:若将每个方格地砖的面积记为,则图中地砖的总面积为,其中阴影部分的面积为,
所以该小球停留在黑色区域的概率是.
故答案为:.
若将每个方格地砖的面积记为,则图中地砖的总面积为,其中阴影部分的面积为,再根据概率公式求解可得.
本题考查的是几何概率,用到的知识点为:几何概率相应的面积与总面积之比.
13.【答案】
【解析】解:,
的值在两个整数与之间,
可得.
故答案为:.
利用”夹逼法“得出的范围,继而也可得出的值.
此题考查了估算无理数的大小的知识,属于基础题,解答本题的关键是掌握夹逼法的运用.
14.【答案】
【解析】解:在正六边形内,正五边形中,,,
,
故答案为:.
分别求出正六边形,正五边形的内角可得结论.
本题考查正多边形与圆,解题的关键是求出正多边形的内角,属于中考常考题型.
15.【答案】
【解析】解:设另外一根为,
由根与系数的关系可知:,
,
故答案为:
根据根与系数的关系即可求出答案.
本题考查根与系数,解题的关键是熟练运用根与系数的关系,本题属于基础题型.
16.【答案】
【解析】解:,
,
,
,
,
由折叠性质可得,
,
,
设,则,
由折叠性质可得,
,
,
为等腰直角三角形,
,
,
,
,
在等腰中,,
,
,
故答案为:.
由可得,从而可得,可得,由折叠性质可得,从而可得,设,则,由折叠性质可得,从而可得,可得,则,从而可得,在等腰中,可得,即可求解.
本题考查折叠的性质,勾股定理,解直角三角形等知识点,解题的关键是利用折叠性质得到为等腰直角三角形,从而求出与的关系.
17.【答案】解:
.
【解析】先化简各式,然后再进行计算即可解答.
本题考查了实数的运算,负整数指数幂,零指数幂,特殊角的三角函数值,准确熟练地化简各式是解题的关键.
18.【答案】解:解不等式,得,
解不等式,得,
所以不等式组的解集是,
其正整数解是,.
【解析】先解不等式组中的每一个不等式,再把各个不等式的解集的公共部分表示出来,就是不等式组的解集.再写出解集中的正整数即可.
本题考查了不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.
19.【答案】证明:解法一:
四边形是菱形,
,
又,
,
,
在和中,
,
≌,
.
解法二:
连接,
四边形是菱形,
,
,
在和中,
,
≌,
.
【解析】解法一:由菱形的性质和已知可得,,再证明≌即可;
解法二:连接,由菱形的性质可得,根据等边对等角得出,再证明≌即可.
本题考查菱形的性质,三角形全等的判定和性质,等边对等角,运用了一题多解的思路.灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键.
20.【答案】
【解析】解:具体统计用水量在范围的有户,用水量在范围的有户,因此,,
将这户的用水量按从小到大排列,处在中间位置的两个数都是,因此中位数是,
出现次数最多的是,共出现次,因此众数是,
故答案为:,,,;
,
故答案为:;
户,
答:该小区户住户中水量在的有户.
具体统计各组的频数可得、的值,根据中位数、众数的意义可求出、的值;
用水量在范围的占调查户数的,因此相应的圆心角占的五分之一;
样本估计总体,样本中用水量在的居民户数占调查户数的,估计总体户的五分之三是用水量在的居民户数.
本题考查频数分布表的意义和制作方法,中位数、众数的意义,理解各个数量之间的关系是正确解答的前提.
21.【答案】证明:连接,
切于点,
,
,
,
,
,
,
,
;
解:连接,
,
,
,即,
解得:,
由勾股定理得:,
,
,
,
,
.
【解析】连接,根据切线的性质得到,证明,根据平行线的性质、等腰三角形的性质与判定定理证明即可;
连接,根据平行线的性质得到,根据正弦的定义求出,根据勾股定理求出,再根据正弦的定义求出,进而求出,根据勾股定理计算,得到答案.
本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.
22.【答案】解:在中,,,
,
解得,
此滑雪运动员的小腿的长度为.
由得,,
,
,
,
在中,,,
,
,
,,
运动员的身高为.
【解析】在中,,,,即可得出.
由得,,则,在中,,,解得,,根据运动员的身高为可得出答案.
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题,掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.
23.【答案】解:设乙公司每天安装间教室,则甲公司每天安装间教室,
根据题意得:,
解得:,
经检验,是所列方程的解,且符合题意,
则,
答:甲公司每天安装间教室,乙公司每天安装间教室;
设安排甲公司工作天,则乙公司工作天,
根据题意得:,
解得:,
答:最多安排甲公司工作天.
【解析】设乙公司每天安装间教室,则甲公司每天安装间教室,由题意:乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天.列出分式方程,解方程即可;
设安排甲公司工作天,则乙公司工作天,由题意:甲公司安装费每天元,乙公司安装费每天元,想尽快完成安装工作且安装总费用不超过元,列出一元一次不等式,解不等式即可.
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:找准等量关系,正确列出分式方程;找出数量关系,正确列出一元一次不等式.
24.【答案】解:四边形是矩形,,,
点的坐标为,
点在反比例函数的第一象限内的图象上
,
,
设点的纵坐标为,
.
,
,
当点在这个反比例函数图象上时,则,
,
点的坐标为.
过点,作直线轴.
由知,点的纵坐标为,
点在直线上,
作点关于直线的对称点,则,
连接交直线于点,此时的值最小,
则的最小值.
如图中,当四边形是菱形时,,
作轴,,
,
,
,同理可得.
,,
,.
如图中,当四边形是菱形时,同利用勾股定理可得继而求出.
,,
,.
综上所述,点的坐标为,,,.
【解析】首先根据点坐标,确定反比例函数的解析式,设点的纵坐标为,根据,构建方程即可解决问题;
过点,作直线轴.由知,点的纵坐标为,推出点在直线上作点关于直线的对称点,则,连接交直线于点,此时的值最小;
分四种情形分别求解即可解决问题;以为菱形边向两侧斜向上作两个菱形,确定两个点位置.以为菱形边向两侧斜向下作两个菱形,确定两个点位置.
本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会理由轴对称解决最短问题,学会用分类讨论的首先思考问题,属于中考压轴题.
25.【答案】
【解析】解:和均为等边三角形,
,,,,
,
即,
在和中,
,
≌,
,,
点,,在同一直线上,
,
,
,
综上所述,的度数为,线段与之间的数量关系是,
故答案为:,;
结论:,,理由如下:
和均为等腰直角三角形,
,,
,,
和中,,,,
,
,
又,
∽,
,,
,
,
,
,
;
分两种情况:
如图,
,,,
,
,
为的中位线,
,,,,
,,
由旋转的性质得:,
∽,
,,
,
,
设,则,,
在中,由勾股定理得:,
解得:或舍去
;
如图,同得:∽,
则,,
设,则,,
在中,由勾股定理得:,
解得:或舍去,
;
综上所述,的长为或.
证≌,得,,进而判断出的度数为即可;
证∽,得,,则,再求出,即可得出结论;
分两种情况,根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出的长即可.
本题考查几何变换综合题,考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
26.【答案】解:将、、代入,
,
,
;
过点作交于点,过点作轴交于点,
、,,
,,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
设直线的解析式为,
,
,
直线的解析式为;
的值是为定值,理由如下:
设,
设直线的解析式为,
,
,
,
,
,
设直线的解析式为,
,
,
,
,
,
,
的值是为定值.
【解析】本题是二次函数的综合题,熟练掌握二次函数的图象及性质,用待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键.
将、、代入,即可求解;
过点作交于点,过点作轴交于点,由题意可得,求出,再由,求出点,求直线的解析式即为所求;
设,分别由待定系数法求出直线的解析式,直线的解析式,就能求出和的长,即可求解.
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