初中数学人教版八年级上册13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时教案

第十三章  轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.理解线段垂直平分线的性质和判定．

2.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及进行应用;

3.能够利用尺规过直线外一点作该直线的垂线.

【过程与方法】

经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.

【情感、态度与价值观】

在数学活动中体会获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立学习的自信心.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时，共2课时。

四、教学重难点

【教学重点】 

线段的垂直平分线性质定理和判定定理证明及其应用.

【教学难点】 

线段的垂直平分线判定定理的证明.

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺等。

学生：三角尺、直尺、剪刀。

六、教学过程

（一）导入新课

甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点B处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗?（出示课件2-3）

（二）探索新知

1.创设情境，探究线段垂直平分线的性质定理

教师问1：在某路段的同侧，有两个工厂A，B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？

本问题学生独立思考，但不要求学生能解答问题.

观察下边的图形

教师问2：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3……到A与点B的距离，你有什么发现？

先让学生量一下并猜想P1A与P1B的数量关系，再量一下并猜想P2A与P2B及P3A与P3B的数量关系后回答：P1A=P1A，P2A=P2B，P3A=P3B.

教师问3：猜想线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离有何数量关系？

学生回答：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

教师问4：我们如何证明猜想是否正确呢？

师生共同讨论如下：（出示课件6）

已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上.

求证：PA＝PB.

师生共同解答如下：（出示课件7）

证明：∵　l⊥AB，

       ∴  ∠PCA =∠PCB．

　　   又  AC =CB，PC =PC，

　　   ∴  △PCA ≌△PCB（SAS）．

　　   ∴  PA =PB．

证明完成后，老师用多媒体展示线段垂直平分线的性质应用时的符号语言(即解题时的书写步骤)，并强调学生注意.

教师总结如下：（出示课件8）

语言表示：

线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

几何语言：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ PA =PB．

2.    探究线段垂直平分线的判定定理

教师问5：把线段垂直平分线的性质1反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？

学生讨论后回答：点P在线段AB的垂直平分线上.

教师问6：如何证明我们的猜想是否正确呢？

师生共同讨论后总结如下：（出示课件11）

已知线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.

求证：P点在线段AB的垂直平分线上.

师生共同解答如下：（出示课件12）

证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，

垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．

在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，

∵  PA =PB，PC =PC，

∴  Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．

∴  AC =BC．

又  PC⊥AB，

∴  点P 在线段AB 的垂直平分线上．

总结点拨：（出示课件13）

用数学符号表示为：

∵　PA =PB，

∴　点P 在AB 的垂直平分线上．

文字语言：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

教师问7：你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？

学生讨论后回答：到线段AB 两端点的距离相等的点有无数个.

教师问8：这些点能组成什么几何图形？

学生回答：这些点组成一条直线.

总结点拨：（出示课件14）

在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；

反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A，B 的距离相等的所有点的集合．

例1：如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.（出示课件15）

师生共同解答如下：

证明：∵OB＝OC，

     ∴点O在BC的垂直平分线上.

      又AB＝AC，

      ∴点A在BC的垂直平分线上，

       即A，O均在BC的垂直平分线上，       

       ∴AO⊥BC.

3.探究线段垂直平分线的作法

教师问9：已知直线上一点P,如何过点P作直线的垂线呢？

师生共同探究后解答如下：

如图,以点P为圆心,合适长为半径,画弧与直线交于两点,分别以这两点为圆心,同样长度为半径,画弧,交于点C,过点C,P做直线即可.

教师问10：如果这一点不在直线上，在直线外如何作图呢？

师生共同探究后解答如下：（出示课件18）

作法：

（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.

（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.

（3）分别以点D和点E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点F.

（4）作直线CF.

直线CF就是所求作的垂线.

（三）课堂练习（出示课件22-27）

1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(　　)

A．5 cm　　                      B．10 cm　　

C．15 cm　　                    D．17.5 cm

2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是(　　)

A．锐角三角形                      B．钝角三角形

C．直角三角形                      D．不能确定

3．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.3 cm，则四边形ACBD的周长为 ________cm.

4.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段 __________ 的垂直平分线上．

5.如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在什么位置？

6.如图，已知E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证：OE垂直平分CD.

7.如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．

参考答案：

1.C

2.C

3.7.8

4.AC  解析：∵BC=BD+AD，

又∵BC=BD+DC，

∴AD=DC.

∴点D在线段AC的垂直平分线上.

5.答：△ABC 三边垂直平分线的交点上.

6.证明：∵E在∠AOB的平分线上，ED⊥OB于D，EC⊥OA于C，

∴ED＝EC

在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE，

∴Rt△EDO≌Rt△ECO.（HL）

∴OD＝OC.

∴O，E都在CD的垂直平分线上.

∴OE垂直平分CD.

7.解：∵DE垂直平分BC，

∴DB＝DC.

∵AC＋AD＋DC＝14 cm，

∴AC＋AD＋BD＝14 cm.

即AC＋AB＝14 cm.

设AB＝x cm，AC＝y cm.

根据题意，得 解得

∴AB长为8 cm，AC长为6 cm.

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

1.性质1：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

用符号语言表示为：

∵PC垂直平分AB(CA＝CB，PC⊥AB)，∴PA＝PB.

2.性质2：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

用符号语言表示为：

∵PA＝PB，

∴点P在线段AB的垂直平分线上.

3.利用尺规过直线外一点作已知直线的垂直平分线

（五）课前预习

预习下节课（13.1.2）教材62页到63页的相关内容。

知道如何作出轴对称图形的对称轴和轴对称的对称轴.

七、课后作业

1、教材62页随堂练习1,2

2、如图,兔子的三个洞口A,B,C构成△ABC,猎狗想捕捉兔子,必须到三个洞口的距离都相等,则猎狗应蹲守在(　　)

A.三条边的垂直平分线的交点

B.三个角的角平分线的交点

C.三角形三条高的交点

D.三角形三条中线的交点

八、板书设计：

九、教学反思：

这节课在设计过程中有几个特色：

1.每个探究活动都能至少针对一个教学目标，各探究衔接自然，前后呼应.

2.活动中多媒体展示学生的解答过程，既有利于提高学生解题的严密性，又能充分利用多媒体资源.

3.本节是线段的垂直平分线的性质的教学,在教学中要善于引导学生从问题出发,根据观察、实验的结果,先得出猜想性质以及判定,然后再进行证明,要求学生掌握证明的基本要求和方法,注意数学思想方法的强化和渗透,从集合的观点理解线段的垂直平分线.